[摘 要] 2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷依托高考評(píng)價(jià)體系，創(chuàng)新試卷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，深化基礎(chǔ)性考查，突出思維能力考查，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的深刻理解，繼續(xù)在反套路、反機(jī)械刷題上下功夫，創(chuàng)新人才選拔，引導(dǎo)教師轉(zhuǎn)變教學(xué)重點(diǎn)，從解題技巧總結(jié)轉(zhuǎn)向?qū)W科核心素養(yǎng)培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 2024年高考;新課標(biāo)卷;命題風(fēng)格;試題評(píng)析

高考評(píng)價(jià)體系中的“四翼”考查要求立足素質(zhì)教育應(yīng)達(dá)成的內(nèi)容表現(xiàn)與形式表現(xiàn)，是高考對(duì)素質(zhì)教育進(jìn)行評(píng)價(jià)的基本維度[1]. 2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷和Ⅱ卷繼續(xù)在反套路、反機(jī)械刷題上下功夫，強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握，注重考查學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，落實(shí)中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系中“四翼”的考查要求. 命題可歸納為三個(gè)“堅(jiān)持”：堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向，緊扣時(shí)代發(fā)展，設(shè)置真實(shí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)學(xué)習(xí)與實(shí)踐應(yīng)用相結(jié)合，在解決實(shí)際問題的過程中發(fā)展核心素養(yǎng);堅(jiān)持考教銜接，依據(jù)新課標(biāo)設(shè)計(jì)命題內(nèi)容，注重考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的理解和掌握，打牢發(fā)展的根基;堅(jiān)持面向未來，聚焦高校人才選拔要求，加強(qiáng)思維品質(zhì)考查，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才自主培養(yǎng).

試卷整體風(fēng)格的變化

（1）從卷面風(fēng)格來看，新課標(biāo)卷試題從往年的22道減至今年的19道，其中多選題、填空題和解答題各減少1題. 在考試時(shí)間不變的情況下，減少試題數(shù)量是強(qiáng)化思維考查的必要措施. 數(shù)學(xué)高考一直強(qiáng)調(diào)“多想一點(diǎn)，少算一點(diǎn)”的理念，減少試題數(shù)量能夠增加學(xué)生思考時(shí)間，考查學(xué)生的思考方式和過程，讓思維能力較強(qiáng)的學(xué)生展現(xiàn)素養(yǎng)，發(fā)揮潛力，脫穎而出.

（2）從考點(diǎn)布局來看，由于試題數(shù)量減少了，因此考查的知識(shí)內(nèi)容的覆蓋面受到了一定影響. 新課標(biāo)卷打破了以往的命題模式，靈活、科學(xué)地確定試題內(nèi)容和順序，不受限于對(duì)某些具體知識(shí)內(nèi)容的考查. 靈活改變?cè)囶}順序有助于打破機(jī)械應(yīng)試套路，以及教學(xué)中僵化、刻板的訓(xùn)練模式，防止猜題押題，消除應(yīng)試教育的弊端. 如新課標(biāo)Ⅱ卷，函數(shù)題曾作為壓軸題，現(xiàn)調(diào)整為解答題的第2題;概率與統(tǒng)計(jì)題加大了能力考查力度，安排在解答題的倒數(shù)第2題.又如新課標(biāo)Ⅰ卷，將解析幾何題安排在解答題的第2題，數(shù)列知識(shí)則結(jié)合新情境安排在壓軸題的位置.

（3）從命題意圖來看，《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》對(duì)中高考命題提出了明確要求：改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題開放性，減少死記硬背和機(jī)械刷題現(xiàn)象. 也就是說，高考命題必須更靈活，去模式化. 新課標(biāo)卷根據(jù)試卷結(jié)構(gòu)調(diào)整后整卷題量減少的客觀情況，提高了最后兩道壓軸題的分值，創(chuàng)新能力考查策略，提升了壓軸題的思維量，突出理性思維和科學(xué)探究，把考查重點(diǎn)放在學(xué)生的思維品質(zhì)和綜合應(yīng)用能力上，不斷完善人才選拔標(biāo)準(zhǔn)和方式方法，服務(wù)高校招生和人才培養(yǎng)改革.

試題呈現(xiàn)特點(diǎn)的變化

1. 強(qiáng)化基礎(chǔ)性要求，注重學(xué)習(xí)過程

基礎(chǔ)性包括學(xué)科內(nèi)容的基本性和通用性，深化基礎(chǔ)性就是加強(qiáng)對(duì)基本概念、基本原理、基本思想方法的考查，引導(dǎo)學(xué)生重視基礎(chǔ)，將所學(xué)的知識(shí)、思想方法內(nèi)化為能力和素養(yǎng)[2]. 新課標(biāo)卷命題遵循教育規(guī)律，注重考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的理解，強(qiáng)調(diào)在理解的基礎(chǔ)上融會(huì)貫通、靈活應(yīng)用，避免死記硬背，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)回歸課標(biāo)和課堂，重視概念教學(xué)，夯實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，把教學(xué)重點(diǎn)從解題技巧總結(jié)轉(zhuǎn)向?qū)W科核心素養(yǎng)培養(yǎng).

例1 （新課標(biāo)Ⅰ卷第12題）設(shè)雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，過F作平行于y軸的直線交C于A，B兩點(diǎn). 若FA=13，AB=10，則C的離心率為________.

評(píng)析 由雙曲線的定義可知，2a=AF-AF=13-5=8. 又由勾股定理可知，2c=FF==12. 所以離心率e==. 應(yīng)用雙曲線的定義和性質(zhì)求解，可以避免較為復(fù)雜的坐標(biāo)計(jì)算，從而有效地減少計(jì)算量，節(jié)省考試時(shí)間.

例2 （新課標(biāo)Ⅱ卷第8題）設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，則a2+b2的最小值為（ ）

A. B. C. D. 1

評(píng)析 此題的函數(shù)模型簡(jiǎn)單、基本，要求學(xué)生推斷兩個(gè)參數(shù)平方和的最小值. 由f（x）≥0可知，ln（x+b）與（x+a）始終同號(hào). 當(dāng)ln（x+b）=0時(shí)，考慮x+a=0，所以1-b=-a，即b=1+a. 所以a2+b2=a2+（a+1）2=2a++≥，當(dāng)且僅當(dāng)a= -，b=時(shí)取等號(hào). 通過分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)直接得到答案，不需要求導(dǎo)，不需要分類討論. 用創(chuàng)新設(shè)計(jì)考查學(xué)生真實(shí)的數(shù)學(xué)能力，而非刷題和訓(xùn)練的技巧.

例3 （新課標(biāo)Ⅰ卷第16題）已知A（0，3）和P3，為橢圓C：+=1（a>b>0）上兩點(diǎn).

（1）求C的離心率;

（2）若過P的直線l交C于另一點(diǎn)B，且△ABP的面積為9，求l的方程.

評(píng)析 易求得橢圓C：+=1. 因?yàn)镾=×3×3=，所以S△ABP=2S△AOP. 由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)D（0，-3），連接PD，延長(zhǎng)PO交橢圓C于點(diǎn)E，連接AE，則E-3，-，從而S△ADP=2S△AOP=9，S△AEP=2S△AOP=9，即當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)D和E時(shí)，△ABP的面積為9.

因?yàn)锳P=，所以橢圓C上點(diǎn)B到直線AP的距離為. 所以滿足題意的點(diǎn)B最多只有兩個(gè)（點(diǎn)D和點(diǎn)E）. 因?yàn)閗=，所以直線PD的方程為y=x-3，即3x-2y-6=0. 因?yàn)閗=，直線PE的方程為y=x，即x-2y=0. 所以直線l的方程為3x-2y-6=0和x-2y=0.

此解法利用圖形面積關(guān)系，源于對(duì)圖形特征的“敏感”，平和中有新意，靈活中見潛力. 其他解法諸如設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)，以AP為底，點(diǎn)B到AP的距離為高表示△ABP的面積后解方程，計(jì)算量相對(duì)較大.

2. 彰顯綜合性要求，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)

在知識(shí)交匯點(diǎn)設(shè)問，考查知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)知識(shí)的綜合性. 這種命題方式鼓勵(lì)學(xué)生跨領(lǐng)域思考，建立知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，建構(gòu)完整的知識(shí)體系和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成新的認(rèn)識(shí)和解題思路，達(dá)到融會(huì)貫通和深度理解知識(shí)的目標(biāo).

例4 （新課標(biāo)Ⅰ卷第5題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）

A. 2π B. 3π

C. 6π D. 9π

評(píng)析 由側(cè)面積相等得2πr·=πr·，解得r=3，故圓錐的體積為V=πr2·=3π. 此題考查學(xué)生對(duì)高與母線概念的辨析，對(duì)圓柱與圓錐的側(cè)面積公式的區(qū)分，以及對(duì)圓錐的體積公式的應(yīng)用.

例5 （新課標(biāo)Ⅱ卷第6題）設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）2-1，g（x）=cosx+2ax（a為常數(shù)），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，曲線y=f（x）和y=g（x）恰有一個(gè)交點(diǎn)，則a=（ ）

A. -1 B. C. 1 D. 2

評(píng)析 設(shè)h（x）=f（x）-g（x），曲線y=f（x）和y=g（x）恰有一個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=h（x）有唯一零點(diǎn). 又h（x）=ax2+a-1-cosx為偶函數(shù)，所以h（0）=0，解得a=2. 此題綜合考查冪函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)的概念，以及數(shù)形結(jié)合思想，沒有考查煩瑣的函數(shù)求導(dǎo)計(jì)算，要求學(xué)生在深入理解知識(shí)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通，而非局限于解題技巧.

例6 （新課標(biāo)Ⅱ卷第19題）已知雙曲線C：x2-y2=m（m>0），點(diǎn)P（5，4）在C上，k為常數(shù)，0<k<1. 按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)P（n=2，3，…）：過點(diǎn)P作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Q，令P為Q關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，記P的坐標(biāo)為（x，y）.

（1）若k=，求x，y;

（2）證明：數(shù)列{x-y}是公比為的等比數(shù)列;

（3）設(shè)S為△PnPn+1Pn+2的面積，證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，S=S.

評(píng)析 此題融合解析幾何和數(shù)列，分層設(shè)問，環(huán)環(huán)相扣. 三個(gè)小問利用基本方法可以大幅簡(jiǎn)化計(jì)算過程：第（2）問利用固定斜率直線與雙曲線交點(diǎn)性質(zhì)，可迅速得到結(jié)論;第（3）問可以將證明面積相等轉(zhuǎn)化為證明兩條直線平行.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)P（5，4）在C上，所以m=x2-y2=52-42=9. 所以雙曲線C：x2-y2=9. 又Q（-x，y），當(dāng)k=時(shí)，有x-y=9，y-4=（-x-5），解得x=3y=0 或x=-5y=4（舍去）. 所以x=3，y=0.

（2）由題意得P（x，y），Q（-x，y），直線PnQn的斜率為k. 設(shè)Z=x-y，由x-y=9，x-y=9相減得=1. 又k=，所以y-y=-k（x+x），x-x=-k（y+y）.兩式相減得Z-Z=k（Z+Z），所以=. 故數(shù)列x-y是公比為的等比數(shù)列.

（3）要證S=S，即證S=S，只需證PP∥PP.設(shè)=q，由（2）可知x-y=qn-1，x+y=9·，所以x=qn-1+9·，y=·-qn-1.PP的斜率k===1-=1-=1-.

PnPn+3的斜率k′===1-=1-=1-.

所以k=k′，故PP∥PP.

3. 注重應(yīng)用性要求，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人

試題突出素養(yǎng)導(dǎo)向，緊扣時(shí)代發(fā)展，設(shè)置真實(shí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)學(xué)習(xí)與實(shí)踐應(yīng)用相結(jié)合，在解決實(shí)際問題的過程中發(fā)展核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)從“解題”到“解決問題”的轉(zhuǎn)變已經(jīng)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要趨勢(shì).這種轉(zhuǎn)變不僅有助于學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，還能培養(yǎng)他們實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.

例7 （新課標(biāo)Ⅱ卷第14題）在下圖（圖3）的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有________種選法;在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是________.

評(píng)析 每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，共有4×3×2×1=24種選法. 要使4個(gè)數(shù)之和最大，先看十位上的數(shù)，其和一定是10+20+30+40=100，再選個(gè)位上最大的數(shù)，其和為5+3+3+1=12，所以4個(gè)數(shù)之和的最大值是112.此題考查排列組合，是推理型分割問題，思維量大，體現(xiàn)多思少算，區(qū)分度佳.

例8 （新課標(biāo)Ⅰ卷第14題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8. 兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為________.

評(píng)析 表格或樹狀圖是分析排列組合問題常用的工具. 問題等價(jià)于從圖4①中的16個(gè)方格中任取4個(gè)，4個(gè)方格既不同行也不同列，求“1”的個(gè)數(shù)大于等于2的概率. 為了表述方便，現(xiàn)重新編號(hào)（如圖4②所示）.

①3個(gè)“1”的情況：C-B-A，1種.

②2個(gè)“1”的情況：C-B-A，1種;C-A-B/B，2種;C-A-B，1種;A-B-C/C，2種;A-B-C/C，2種;A-B-C/C，2種;A-B-C，1種.

合計(jì)共12種情況，所以甲的總得分不小于2的概率為P==.

本題考查學(xué)生的理性思維和探究能力，套路和模板失效，死記硬背不再適應(yīng)高考新要求.

4. 突出創(chuàng)新性要求，助力人才選拔

試題強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新，設(shè)計(jì)新穎情境和設(shè)問方式，加強(qiáng)基本能力考查，提升解答題思維量，強(qiáng)調(diào)理性思維和數(shù)學(xué)探究，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，要求學(xué)生融合知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法，并遷移轉(zhuǎn)化運(yùn)用，為全面發(fā)展奠定基礎(chǔ).

例9 （新課標(biāo)Ⅰ卷第11題）設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶，其造型φ可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于-2，到點(diǎn)F（2，0）的距離與到定直線x=a（a<0）的距離之積為4，則（ ）

A. a=-2

B. 點(diǎn)（2，0）在C上

C. C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1

D. 當(dāng)點(diǎn)（x，y）在C上時(shí)，y≤

評(píng)析 由題意得曲線C的軌跡方程為·x-a=4，原點(diǎn)（0，0）在C上，所以a=2. 又a<0，故a=-2. 選項(xiàng)A正確. 因?yàn)椤+2=4，令y=0，解得x=0或2.選項(xiàng)B正確. 當(dāng)x>0時(shí)，y2=-（x-2）2，令g（x）=-（x-2）2，顯然g（2）=1，且g′（2）<0，所以g（x）>g（2）=1. 選項(xiàng)C錯(cuò)誤. 由y2=-（x-2）2≤得y≤=（x>-2）. 選項(xiàng)D正確. 故正確的選項(xiàng)有ABD.

此題背景為有理曲線，可由笛卡兒葉形線旋轉(zhuǎn)得到，常見的還有蔓葉線、馬利克曲線、環(huán)索線等有理曲線. 新定義試題屬于傳統(tǒng)開放性試題，實(shí)質(zhì)是原認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)之間的遷移. 解決此類問題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義，確定探究方向，運(yùn)用類比與歸納的方法尋找合理的解題思路.

例10 （新課標(biāo)Ⅰ卷第19題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a，a，…，a是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)a和a（i<j）后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a，a，…，a是（i，j）—可分?jǐn)?shù)列.

（1）寫出所有的（i，j），1≤i≤j≤6，使數(shù)列a，a，…，a是（i，j）—可分?jǐn)?shù)列.

（2）當(dāng)m≥3時(shí)，證明：數(shù)列a，a，…，a是（2，13）—可分?jǐn)?shù)列.

（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j（i<j），記數(shù)列a，a，…，a是（i，j）—可分?jǐn)?shù)列的概率為P，證明：P>.

評(píng)析 此題以等差數(shù)列為知識(shí)背景，創(chuàng)新設(shè)問方式，設(shè)置數(shù)學(xué)新定義，搭建思維平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，在思考過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法，自主選擇路徑和策略分析問題、解決問題. 第（1）問和第（2）問根據(jù)題意容易解決，同時(shí)為第（3）問提供了解決思路.

對(duì)于第（3）問，其基本事件的總數(shù)為C. 受第（1）問和第（2）問的啟發(fā)，分兩種情況：

第一，如圖6所示，刪除第4n+1和4k+2項(xiàng)，其中0≤n≤k≤m+1. 此時(shí)前4n項(xiàng)、中4（k-n）項(xiàng)、后4（m-k）項(xiàng)按原順序4項(xiàng)一組都能構(gòu)成等差數(shù)列，即（4n+1，4k+1）—可分?jǐn)?shù)列.

當(dāng)n=k時(shí)，這樣的（n，k）有m+1組;當(dāng)n<k時(shí)，這樣的（n，k）有C組. 因此，滿足條件的（n，k）共有m+1+C=m2+m+1組.

第二，如圖7所示，刪除第4n+2和4k+1項(xiàng)，其中0≤n≤k≤m+1，k-n≥2. 此時(shí)前4n項(xiàng)、后4（m-k）項(xiàng)按原順序4項(xiàng)一組都能構(gòu)成等差數(shù)列，中間4（k-n）項(xiàng)同樣可構(gòu)成等差數(shù)列，即（4n+2，4k+1）—可分?jǐn)?shù)列.這樣的（n，k）共有（m-1）+（m-2）+…+1=m2-m組.

綜合上述分析，P≥=>>.

理解數(shù)列特性，從特殊到一般尋求解法是解決此題的關(guān)鍵.

2024年高考綜合改革適應(yīng)性測(cè)試卷公布后，各地模擬卷充斥著以高等數(shù)學(xué)為背景的新定義壓軸題，試圖通過超綱知識(shí)投機(jī)取巧，這顯然不符合高考命題改革要求. 壓軸題考查的并非學(xué)生的“知識(shí)量”，而是其“思維量”. 教師應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、探究能力和解決問題能力，避免超綱學(xué)、超量學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考和深度學(xué)習(xí).

結(jié)束語(yǔ)

2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷嚴(yán)格依據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn)，通過命題創(chuàng)新，提高試題靈活度，豐富試卷內(nèi)容與形式，優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，突出考查學(xué)生的理性思維和探究能力，切實(shí)改變機(jī)械刷題和套路訓(xùn)練的現(xiàn)象，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的思維過程，積極引導(dǎo)教學(xué)回歸育人本位，發(fā)揮正向積極的導(dǎo)向作用. 高考改革后，機(jī)械刷題和套路訓(xùn)練已不合時(shí)宜，無(wú)法滿足新高考對(duì)關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的考查需求. 新課標(biāo)卷打破了固化的應(yīng)試思維，引導(dǎo)教學(xué)重視情境創(chuàng)設(shè)，關(guān)注知識(shí)的生成過程，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考、探究構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力;引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注思維深刻性，在學(xué)生掌握“四基”后，通過問題引導(dǎo)和深化提升，促進(jìn)學(xué)生思考，實(shí)現(xiàn)從“學(xué)科知識(shí)”到“學(xué)科育人”的轉(zhuǎn)變.

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：雷波（1981—），中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作.