[摘 要] 教師利用新教材中的例題和習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，無(wú)疑是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效途徑. 研究者以本校月考中的立體幾何考試題為例，闡述直觀想象素養(yǎng)如何貫穿教材習(xí)題并“走”出教材，以及考試題與教材習(xí)題如何做到雙向融通.

[關(guān)鍵詞] 教材習(xí)題;考試題;立體幾何;直觀想象

高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)以學(xué)生發(fā)展為本，以立德樹人為根本任務(wù)[1] 在此背景下，高中數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容和教學(xué)方法上做了一些調(diào)整和改變，高考命題參考教材內(nèi)容，與教材思想高度契合，因此，教材的重要性不言而喻. 教材中的例題和習(xí)題作為教材的重要構(gòu)成部分，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的重要資源，一線教師應(yīng)該通研新教材，把握變化規(guī)律，將教材習(xí)題與考試題做到雙向融通.

問(wèn)題提出

高考數(shù)學(xué)命題遵循“題在書外，根在書內(nèi)”的原則，教材中的定理或例題、習(xí)題經(jīng)過(guò)加工、重組和發(fā)展等變身成試卷中的考題，“源于教材，且高于教材”不僅是教師平時(shí)考試命題的依據(jù)，也是高考命題的基礎(chǔ). 為此，在平時(shí)的期中、期末考試講評(píng)課中，應(yīng)當(dāng)注重考試題與教材習(xí)題或定理之間的緊密聯(lián)系，給每一道考試題都找到教材中的“源頭”. 通過(guò)梳理教材習(xí)題與考試題之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生重溫教材，深化理解教材中關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的知識(shí)內(nèi)容，感受數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是如何從教材中走出來(lái)的. 這樣不僅能促使學(xué)生遷移知識(shí)，還能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)能力螺旋上升. 因此，廣大一線教師要善用教材. 教材是領(lǐng)航燈，能給教師和學(xué)生指引正確的方向. 在復(fù)習(xí)課中，學(xué)生容易進(jìn)入題海，反復(fù)刷題，而這只XghYe00OXdQ7iTPv52KFmw==會(huì)導(dǎo)致思維僵化，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和數(shù)學(xué)思維的提高沒有任何作用. 只有在解題過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生掌握本源知識(shí)，才可能引來(lái)“活水”，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)實(shí)踐

1. 試卷講評(píng)課模式的新探索

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要課型之一就是試卷講評(píng)課，尤其在高三總復(fù)習(xí)階段. 試卷講評(píng)能有效實(shí)施的保證就是科學(xué)的試卷分析，常規(guī)來(lái)看，試卷分析與試卷講評(píng)課之間的關(guān)系如圖1所示. 試卷講評(píng)備課，一般是分析試卷成績(jī)和總結(jié)試卷典型答案，基本能保證講評(píng)課有效進(jìn)行. 但基于高考試題與教材習(xí)題雙向融通的探索，在原有的備課流程下，加入“與教材習(xí)題的聯(lián)系”和“教材習(xí)題的衍生”這兩個(gè)環(huán)節(jié)，使得試卷講評(píng)備課流程形成閉環(huán)（如圖2所示）. 這樣不僅使試卷講評(píng)課發(fā)揮了反饋練習(xí)、糾正錯(cuò)誤、提升解題能力的作用，還明確了試卷所考查的知識(shí)點(diǎn)在教材中的地位和難易程度，以及不同題型對(duì)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查要求，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步形成正確的價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力.

數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一的直觀想象，不僅與“形”有關(guān)，而且與“數(shù)”和“形”之間的關(guān)系也有關(guān)！數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用于生活. 生活中的問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，而這個(gè)過(guò)程離不開直觀想象，以及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力.從圖形的觀察中，抽象出圖形所隱藏的數(shù)量關(guān)系;從代數(shù)表達(dá)式的觀察中，發(fā)現(xiàn)其所蘊(yùn)含的圖形表示;把復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未解決過(guò)的問(wèn)題變動(dòng)為解決過(guò)的問(wèn)題，這些都需要腦力智力的深度參與，思維的深度調(diào)動(dòng). 在培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性的同時(shí)，讓直觀想象慢慢生根.下面筆者以本校高一年級(jí)學(xué)生月考中的立體幾何試題的講評(píng)課為例，探索如何在試卷講評(píng)課中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，以及如何實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)考試題與教材習(xí)題雙向融通.

2. 尋知識(shí)之源，識(shí)命題背景

例1 （試卷第6題）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形的棱臺(tái)稱為芻童.如圖3所示的芻童ABCD-ABCD ， AB=AD=2，AB=AD=4，側(cè)棱長(zhǎng)均為2，則芻童ABCD-ABCD的體積為（ ）

A. 28 B.C. D.

分析 本題不僅考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)（四棱臺(tái)的體積），還考查學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 在求棱臺(tái)的高的時(shí)候，若能通過(guò)直觀想象確定高的位置在對(duì)角線AC上，然后構(gòu)造直角三角形求解其高，再將高代入公式V=h（s+s′+）得到結(jié)果，可使本題的難度降低很多. 根據(jù)題意，棱臺(tái)上、下底面均為正方形，AH=OA-OH，OA=2，OH=.在Rt△AAH中，AH=，AA=2，所以AH==. 所以V=h（s+s′+）=××（4+16+）=.

溯源 （人教A版必修第二冊(cè)教材第116頁(yè)練習(xí)1）如圖4所示，正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2 cm和6 cm，側(cè)棱長(zhǎng)是5 cm，求它的表面積.

這是教材原題，求出側(cè)面小梯形的面積是題眼. 顯然，如若學(xué)生掌握了本題的解題思路，應(yīng)當(dāng)能理解側(cè)面小梯形的高與幾何體的高的區(qū)別. 因此，這類題除了考查學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用能力外，其命題本源還引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分側(cè)面的高和幾何體的高，并正確求解. 而正六棱臺(tái)的高的求解方法，需要學(xué)生運(yùn)用直觀想象素養(yǎng)，根據(jù)正六棱臺(tái)的對(duì)稱性等幾何特征，直觀得到其位置.

想要上好一堂課，當(dāng)以教材為“金”，課標(biāo)為“銀”，以發(fā)展學(xué)生思維能力為目標(biāo)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向. 但大多數(shù)學(xué)生卻把高中數(shù)學(xué)教材當(dāng)做“無(wú)用”之物，而把教輔資料當(dāng)做“法寶”，刷題不亦樂乎，殊不知走了不少?gòu)澛? 溯源題目是教材第116頁(yè)的練習(xí)1，在試卷講解中，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)考試題與教材習(xí)題之間竟有如此緊密的聯(lián)系，一方面突出教材的主體地位，另一方面規(guī)范學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，引領(lǐng)學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)途徑，強(qiáng)調(diào)直觀想象素養(yǎng)在解題教學(xué)中的重要地位.

3. 尋方法之源，揭數(shù)學(xué)本質(zhì)

例2 （試卷第17題）如圖5所示，在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，AB=AA=2，AD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AA的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)，C∈α，請(qǐng)畫出截面α.

分析 對(duì)于簡(jiǎn)單的畫截面的問(wèn)題，常用相交線法和平行線法解決. 其中相交線法作圖的關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，即借助圖形直觀，確定在多面體的同一表面上有兩個(gè)截點(diǎn)可連成截線，畫出截面.

解法1 （相交線法）如圖6所示，作EF，BA的延長(zhǎng)線，相交于點(diǎn)P;連接PC，與直線AD相交于點(diǎn)Q;連接FQ，則直線FQ即截面α與平面ADDA的交線. 同理延長(zhǎng)直線BB，交直線EF于點(diǎn)R;連接CR，交直線BC于點(diǎn)T;連接ET，則直線ET，CT分別為截面α與平面ABCD和平面BCCB的交線. 連接CQ，則平面EFQC1T即截面α.

解法2 （平行線法）如圖7所示，過(guò)點(diǎn)C作直線EF的平行線LK，連接FL交AD于點(diǎn)Q，連接EK交BC于點(diǎn)T，則平面EFQC1T即截面α.

培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)不僅包含空間想象，還有大膽猜想，以及深入探索和研究.

溯源 （人教A版必修第二冊(cè)教材第138頁(yè)例3）如圖8所示的一塊木料中，棱BC平行于平面A′C′.

（1）要經(jīng)過(guò)面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線？

（2）所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系？

分析 要經(jīng)過(guò)面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開，實(shí)際上是經(jīng)過(guò)BC及BC外一點(diǎn)P作截面，也就需要找出所作的截面與相關(guān)平面的交線. 我們可以依據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理、基本事實(shí)4和推論1畫出所需要的線段.

數(shù)學(xué)概念的抽象，特別是一些具有本源地位的數(shù)學(xué)概念的抽象，在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)中有特別重要的作用. 在立體幾何的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形認(rèn)真細(xì)致的觀察，來(lái)為直觀想象素養(yǎng)的進(jìn)一步發(fā)展提供契機(jī);教師還可以通過(guò)特殊模型的科學(xué)引入，來(lái)為學(xué)生用圖形語(yǔ)言解決問(wèn)題的能力的科學(xué)培養(yǎng)提供支點(diǎn)，也可以進(jìn)一步優(yōu)化幾何圖形與代數(shù)知識(shí)的有機(jī)整合，在學(xué)生引用數(shù)學(xué)語(yǔ)言深入探究解題思路時(shí)，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

“退”是一種策略，退到教材，退回起點(diǎn)，反而能看清問(wèn)題的本質(zhì). 對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題，有時(shí)回歸教材，往往能引導(dǎo)學(xué)生識(shí)得題目所蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)定理.

4. 尋思想之源，悟理性思維

例3 （試卷第19題）如圖9所示，正四棱錐S-ABCD中，SA=4，AB=2，E是SC的中點(diǎn).

（1）求證：SA∥平面BDE;

（2）求三棱錐B-SDC的體積.

解析 （1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE. 在△SAC中，O，E分別為AC，SC的中點(diǎn)，SA∥EO. 又OE∈平面BDE，SA?平面BDE，故SA∥平面BDE.

（2）V=V=hS△BDC=×2×=.

本題綜合考查正四棱錐S-ABCD中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系（位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是研究立體幾何的重點(diǎn)），以及學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 對(duì)于線面平行的證明，相信學(xué)生已經(jīng)歷多次，但是否歸納過(guò)題型呢？是否回歸過(guò)教材找尋題目應(yīng)對(duì)的數(shù)學(xué)定理呢？有理走遍天下，無(wú)理寸步難行，懂其定理，才能舉一反三，暢通思維. 針對(duì)上述例題，筆者引導(dǎo)學(xué)生歸納出如圖10所示的證明線面平行的方法，以此培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.

溯源 （人教A版必修第二冊(cè)教材第138頁(yè)練習(xí)2）如圖11所示，在正方體ABCD-ABCD中，E是DD的中點(diǎn)，判斷BD與平面AEC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

這是教材原題，證明線面平行可通過(guò)線線平行或面面平行的性質(zhì)定理完成. 在歸納線面平行的證明方法后，學(xué)生能形成思維體系，掌握思考問(wèn)題的策略. 本題證明有兩種方法：一是利用EO∥BD，從而證明BD∥平面ACE（如圖12所示）;二是取AA的中點(diǎn)M，取CC的中點(diǎn)N，證明平面BMDN∥平面ACE，通過(guò)面面平行的性質(zhì)定理，證明BD∥平面ACE（如圖13所示）.

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)在本部分要借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由此空間幾何體的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是本部分的研究重點(diǎn)，教學(xué)者也應(yīng)當(dāng)多思考如何在空間幾何體的教學(xué)中讓直觀想象素養(yǎng)落地，如何更好地發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、方程思想和函數(shù)思想，真正落實(shí)“五育并舉”，培養(yǎng)有專業(yè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人才.

幾點(diǎn)思考

1. 回歸教材“活”水來(lái)

教材是教學(xué)的根，是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂. 數(shù)學(xué)問(wèn)題靈活多變，歸其根本是對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)概念、定理和定義的考查，以及對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)概念、定理和定義等知識(shí)來(lái)龍去脈（知識(shí)生成過(guò)程的再現(xiàn)）的靈活變通的應(yīng)用. 在教學(xué)中，要善于運(yùn)用教材、挖掘教材，特別是在試卷講評(píng)課中，要對(duì)試題作分析與反思，在教材中尋找知識(shí)“源頭”，將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想串聯(lián)起來(lái)，學(xué)生才能融會(huì)貫通、舉一反三.如上述例2，學(xué)生若掌握了過(guò)P和棱BC將木料鋸開所依據(jù)的數(shù)學(xué)原理（基本事實(shí)4和推論1），就能夠理解其知識(shí)本質(zhì)，由此順利解決月考試題. 數(shù)學(xué)問(wèn)題不是無(wú)土之木，無(wú)根之水，而是源于教材，衍生于教材. 若高中數(shù)學(xué)一味地采取題海戰(zhàn)術(shù)，則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思維僵化，而只有回歸數(shù)學(xué)知識(shí)、回歸教材，學(xué)生思維才能得以拓展，引得“活水來(lái)”[2].

2. 思維導(dǎo)圖“暢”思路

波利亞曾說(shuō)，“教師的首要職業(yè)之一不是給學(xué)生一種錯(cuò)覺：數(shù)學(xué)題目之間很少有聯(lián)系，和任何其他事務(wù)則完全沒有任何聯(lián)系”. 數(shù)學(xué)問(wèn)題不是憑空產(chǎn)生的，既然如此，研究數(shù)學(xué)問(wèn)題就有必然的途徑，如何尋找解決一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的途徑呢？思維導(dǎo)圖可堪當(dāng)大任. 借助思維導(dǎo)圖可將知識(shí)結(jié)構(gòu)和知識(shí)脈絡(luò)聯(lián)系起來(lái)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這也是教材所提倡的（在每一個(gè)章末總結(jié)編寫者提供了本章知識(shí)結(jié)構(gòu)）. 思維導(dǎo)圖能將碎片化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化、整體化、單元化，能給學(xué)生一種“手中握無(wú)限，剎那成永恒”的滿足感和富有感，學(xué)生思路自然也就暢通了. 如針對(duì)例2繪制思維導(dǎo)圖，將線面平行的證明方法形成脈絡(luò)圖，當(dāng)遇到問(wèn)題時(shí)，腦中提取其五種證明方法，便有了正確快速解題的思路與底氣.

3. 逆向思維“引”思考

學(xué)會(huì)思考是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的命脈，獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是學(xué)生的終極課題，因此教思考，教會(huì)思考，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考是數(shù)學(xué)課堂的靈魂. 其中逆向補(bǔ)償是一種比較好的途徑，它指引學(xué)生“知其然”，也“知其所以然”. 淺層來(lái)看數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)定理等的正向應(yīng)用和逆向應(yīng)用，正向思維一貫比較簡(jiǎn)單，但逆用思維卻很難;深層來(lái)看，逆向思維能指引學(xué)生在課堂中深度思考，如提出一個(gè)問(wèn)題，大部分學(xué)生會(huì)順著教師的思路解決下去，只有少部分學(xué)生會(huì)想為什么這么做，為什么要這樣應(yīng)用已知條件，為何這樣思考成功率會(huì)更高. 這部分學(xué)生的思維在課堂上真實(shí)且深刻地發(fā)生了. “教之道在于度，學(xué)之道在于悟”，“度”與“悟”都離不開思考，因此教師應(yīng)當(dāng)備好一節(jié)精彩的課，引導(dǎo)學(xué)生深度縱向思考.

總之，只會(huì)解答教材例題、習(xí)題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師還要通過(guò)習(xí)題的分析講解培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，例題和習(xí)題所蘊(yùn)含的思想方法是學(xué)生更應(yīng)該關(guān)注的點(diǎn)，只有抓住思想方法才能抓住解決問(wèn)題的核心. 通過(guò)考試題溯源，促使學(xué)生更加重視教材中的例題和習(xí)題，養(yǎng)成主動(dòng)思考并總結(jié)問(wèn)題的習(xí)慣，潛移默化地培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).

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[2] 花奎，張曉飛. 解題反思孕“念頭” 回歸教材尋“源頭”：高三解題教學(xué)中回歸教材的幾則案例及思考[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（8）：30-34+38.

作者簡(jiǎn)介：王一棋（1984—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，廈門市學(xué)科帶頭人培養(yǎng)對(duì)象，廈門市骨干教師，廈門市數(shù)學(xué)中心指導(dǎo)組成員. 曾獲廈門市第六屆課堂創(chuàng)新大賽一等獎(jiǎng)，廈門市第三屆教學(xué)技能大賽二等獎(jiǎng)，廈門市數(shù)字資源評(píng)選一等獎(jiǎng);《第四章 4.1 圓的方程》在第三屆“一師一優(yōu)課、一課一名師”活動(dòng)中被評(píng)為部級(jí)優(yōu)質(zhì)課.