[摘 要] “直線的傾斜角與斜率”是解析幾何的重要章節(jié)，也是研究直線的知識(shí)基礎(chǔ). 在實(shí)際教學(xué)中，教師要深入解讀知識(shí)內(nèi)容，圍繞知識(shí)重點(diǎn)來探究教學(xué)策略，分環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)探究過程，合理設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生逐步探究. 研究者深入解讀章節(jié)知識(shí)，探索教學(xué)過程，并提出相應(yīng)教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 直線;傾斜角;斜率;探究教學(xué)

教學(xué)解讀

“直線的傾斜角與斜率”是人教A版（2019）選擇性必修第一冊教材中的第二章“直線和圓的方程”的第二節(jié)內(nèi)容，探究核心是直線的傾斜角和斜率的概念，以及直線的斜率公式. “直線的傾斜角與斜率”的前一章內(nèi)容，主要是利用空間向量來研究立體幾何，如位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系等. 可以說，這兩章的研究核心是幾何圖形的探究方法.

關(guān)于幾何圖形的探究方法（如圖1所示），小學(xué)歸納實(shí)驗(yàn)，初中過渡到綜合法，包括直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等，而高中則涉及向量法和坐標(biāo)法，即利用向量法探究向量幾何，利用坐標(biāo)法探究解析幾何. 在教學(xué)中，教師可以介紹解析幾何的發(fā)展背景和思想方法，簡單講解本章節(jié)的研究重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生整體把握單元知識(shí)框架.

綜上分析，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)主要有三個(gè)：一是讓學(xué)生了解解析幾何發(fā)展史、坐標(biāo)法思想，掌握整個(gè)章節(jié)的探究方法;二是讓學(xué)生理解傾斜角、斜率的概念，并掌握斜率公式;三是讓學(xué)生掌握直線斜率與方向向量之間的內(nèi)在聯(lián)系.

教學(xué)過程

在教學(xué)中，教師采用“設(shè)問引導(dǎo)，過程探究”的方式，讓學(xué)生充分參與課堂討論，體驗(yàn)探究過程，體會(huì)知識(shí)生成. 教師要合理設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，隨時(shí)關(guān)注學(xué)生的思維變化，適時(shí)設(shè)問引導(dǎo)，確保教學(xué)順利推進(jìn). 本節(jié)課的內(nèi)容承接前面的知識(shí)，學(xué)生雖具有一定的知識(shí)基礎(chǔ)，但不熟悉如何利用坐標(biāo)法來刻畫直線的幾何要素，因此教師要滲透坐標(biāo)法思想，引導(dǎo)學(xué)生探究如何用坐標(biāo)系來表示傾斜角. 雖然過程較簡潔，但對(duì)學(xué)生的抽象思維的要求較高. 教師應(yīng)在傾斜角概念的基礎(chǔ)上歸納確定直線的方式，并以坐標(biāo)法思想來啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí). 后續(xù)分別從幾何和代數(shù)兩大角度進(jìn)一步探究直線的斜率，并構(gòu)建兩者的聯(lián)系.

作為高中解析幾何板塊的起始課，探究的首要內(nèi)容是直線的幾何要素，對(duì)其刻畫445425c868e9019a9d7f620a4a8438d35540fea0cbb65e393f4343385638ea4b需要按照“方向→傾斜角→傾斜角的正切值→斜率”的思路來完成，逐步實(shí)現(xiàn)化“形”為“數(shù)”，利用“代數(shù)”相關(guān)知識(shí)來表示幾何圖形的內(nèi)在聯(lián)系.

上述解讀了“直線的傾斜角與斜率”的核心知識(shí)內(nèi)容和教學(xué)方法，下面具體講解教學(xué)環(huán)節(jié).

1. 情境引入

教師采用情境教學(xué)的方式，以生活中的實(shí)例作為問題背景，如給出圖2（工程上常用“坡度”來描述一段道路相對(duì)于水平方向的傾斜程度），引導(dǎo)學(xué)生思考如何在平面內(nèi)確定一條直線.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)的知識(shí)內(nèi)容，整體把握本節(jié)課的探究內(nèi)容和重點(diǎn)，深化學(xué)生對(duì)解析幾何思想和直線幾何要素的理解，便于學(xué)生構(gòu)建和完善單元知識(shí)體系，抓住知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.

2. 設(shè)問引導(dǎo)，過程探究

本節(jié)課的探究內(nèi)容共三大項(xiàng)：一是直線的傾斜角;二是直線的斜率;三是方向向量與斜率的聯(lián)系. 教師采用“設(shè)問引導(dǎo)，過程探究”的方式，引導(dǎo)學(xué)生參與課堂教學(xué)，完成知識(shí)的探究學(xué)習(xí).

探究1 直線的傾斜角.

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧前面學(xué)習(xí)的知識(shí)，思考如何確定一條直線，引導(dǎo)學(xué)生指出“點(diǎn)”和“方向”是確定直線的兩個(gè)核心要素. 教師進(jìn)一步提出如何將“方向”代數(shù)化，設(shè)置如下兩個(gè)探究問題.

問題1：在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)P作任意一條直線，觀察對(duì)比所作出的直線有何差異.

問題2：將直線圍繞點(diǎn)P進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，觀察變化過程，思考如何來描述直線的傾斜程度.

設(shè)計(jì)意圖 利用問題1引導(dǎo)學(xué)生感受過點(diǎn)P的直線的不同，初步了解坐標(biāo)系在方向刻畫中的作用，為后續(xù)的定義探索做鋪墊;借助問題2引導(dǎo)學(xué)生自主歸納，抽象傾斜角的概念.

給出傾斜角的概念后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考兩點(diǎn)，一是傾斜角的概念是否適用于所有直線，二是傾斜角的具體范圍是什么. 通過上述思考來培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，并構(gòu)建如圖3所示的知識(shí)導(dǎo)圖，引導(dǎo)學(xué)生掌握重點(diǎn)知識(shí)：一是兩點(diǎn)可以確定一條直線;二是從幾何視角來看，“點(diǎn)”和“方向”是研究直線的兩個(gè)幾何要素，可利用傾斜角來刻畫直線的方向.

探究2 直線的斜率.

通過知識(shí)內(nèi)容的解讀可知，在坐標(biāo)法思想中，需要對(duì)傾斜角代數(shù)化，引出兩點(diǎn)坐標(biāo)與傾斜角的聯(lián)系——直線的斜率. 教學(xué)中可以呈現(xiàn)如下三個(gè)探究問題，引導(dǎo)學(xué)生思考.

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的傾斜角為α.

問題1：已知直線l過點(diǎn)O（0，0），P（，1），則α與點(diǎn)O，P的坐標(biāo)有何關(guān)系？

問題2：若直線l過點(diǎn)P（-1，1），P（，0），則α與點(diǎn)P，P的坐標(biāo)有何關(guān)系？

問題3：若直線l過點(diǎn)P（x，y），P（x，y），則α與點(diǎn)P，P的坐標(biāo)有何關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)計(jì)上述三個(gè)問題，從特殊到一般逐步引入斜率的概念. 問題1由學(xué)生自主思考，旨在引導(dǎo)學(xué)生回顧正切函數(shù)的概念;問題2由學(xué)生互動(dòng)交流討論，旨在引導(dǎo)學(xué)生使用不同方法去解決，并啟發(fā)學(xué)生結(jié)合平移思想，把向量法加入知識(shí)體系中;在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考問題3，通過小組合作，構(gòu)建傾斜角的正切值與兩點(diǎn)坐標(biāo)的聯(lián)系（具體如下）.

直線l的傾斜角與直線l上的兩點(diǎn)P（x，y），P（x，y）（x≠x）的坐標(biāo)有如下聯(lián)系：tanα=①. 我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，常用小寫字母k來表示，即k=tanα②.

完成上述定義的歸納總結(jié)后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題，讓學(xué)生體會(huì)傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解斜率可以用來刻畫傾斜角的合理性，增強(qiáng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

問題1：傾斜角與斜率是否為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系？

問題2：當(dāng)直線l的傾斜角由0°增大到180°時(shí)，斜率如何變化？

同時(shí)，結(jié)合生活中的坡度，構(gòu)建如圖4所示的知識(shí)導(dǎo)圖，即數(shù)、形視角下的傾斜角與斜率的對(duì)照關(guān)系，以及兩者關(guān)于“直線的方向”的刻畫聯(lián)系.

探究3 方向向量與斜率的聯(lián)系.

教學(xué)預(yù)設(shè)：已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P（x，y），P（x，y），且直線斜率為k，試用k表示直線的一個(gè)方向向量.

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)計(jì)思考環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生探究斜率與方向向量之間的關(guān)系，自主思考、總結(jié)歸納知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系. 教師可以通過引導(dǎo)，為學(xué)生提供探究方向. 具體可以構(gòu)建如下知識(shí)內(nèi)容.

（1）若直線的斜率為k，則直線的一個(gè)方向向量為（1，k）;

（2）若直線的方向向量為（x，y）（x≠0），則斜率k=.

教學(xué)建議

1. 整合知識(shí)重點(diǎn)，教學(xué)核心突出

高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容較多，章節(jié)教學(xué)時(shí)需要教師充分備課，整合知識(shí)重點(diǎn)，突出課堂教學(xué)重點(diǎn). 以上述“直線的傾斜角與斜率”為例，圍繞考試大綱，明確教學(xué)探究重點(diǎn)：一是直線的傾斜角;二是直線的斜率;三是方向向量與斜率的聯(lián)系. 同時(shí)分析教學(xué)策略，采用“過程構(gòu)建，引導(dǎo)探究”的教學(xué)方式. 上述策略，同樣適用于解析幾何相關(guān)知識(shí)的教學(xué)，如后續(xù)教學(xué)直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系等，可以適度參考借鑒.

2. 設(shè)置知識(shí)導(dǎo)圖，完善知識(shí)體系

知識(shí)導(dǎo)圖是課堂知識(shí)整合、總結(jié)的重要方式，教學(xué)中合理利用知識(shí)導(dǎo)圖，有利于學(xué)生明晰知識(shí)重點(diǎn)，理清知識(shí)間的關(guān)系，完善知識(shí)體系. 上述課堂教學(xué)中多次借助知識(shí)導(dǎo)圖指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納，如“直線的傾斜角”的探究中，利用知識(shí)導(dǎo)圖歸納直線的幾何要素，梳理“點(diǎn)”和“方向”的內(nèi)在聯(lián)系;“直線的斜率”的探究中，構(gòu)建傾斜角、方向、斜率之間的相互關(guān)系，強(qiáng)化學(xué)生理解直線方向的刻畫. 但實(shí)際教學(xué)中運(yùn)用知識(shí)導(dǎo)圖時(shí)要注意兩點(diǎn)，一是知識(shí)的總結(jié)，建議讓學(xué)生自行歸納;二是導(dǎo)圖結(jié)構(gòu)的簡練，內(nèi)在聯(lián)系的明確，建議引導(dǎo)學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中多練.

3. 設(shè)問引導(dǎo)探究，綜合能力提升

教學(xué)設(shè)計(jì)建議采用“設(shè)問引導(dǎo)，過程探究”的方式，即圍繞知識(shí)重點(diǎn)合理設(shè)計(jì)引導(dǎo)性問題，讓學(xué)生自主思考、猜想，得到結(jié)論，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力. 以上述章節(jié)教學(xué)為例，針對(duì)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)三大探究環(huán)節(jié)，每一個(gè)環(huán)節(jié)結(jié)合操作實(shí)踐，設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生逐步感知概念，生成定義知識(shí)等. 教學(xué)中設(shè)問引導(dǎo)要注意兩點(diǎn)，一是問題設(shè)計(jì)要具有層次性、遞進(jìn)性，逐步深入探究主題;二是問題設(shè)計(jì)要充分圍繞知識(shí)核心，合理設(shè)置問題背景.

寫在最后

“直線的傾斜角與斜率”作為解析幾何板塊的重要知識(shí)內(nèi)容之一，探究教學(xué)中要充分解讀知識(shí)背景，明確核心內(nèi)容，結(jié)合教學(xué)目標(biāo)與重點(diǎn)來設(shè)置探究環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂討論，完成知識(shí)生成、總結(jié)歸納，讓學(xué)生掌握知識(shí)的同時(shí)提升能力.

作者簡介：張恩林（1993—），碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲蘇州市微課比賽三等獎(jiǎng).