[摘 要] 探究性問題在近年高考中出現(xiàn)的頻率越來越高，它對學生的視野、思維有著較高要求，是考核學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要手段之一. 文章認為：嘗試與猜想是解決探究性問題的基礎(chǔ);聯(lián)想是解決探究性問題的核心;轉(zhuǎn)換是解決探究性問題的根本;對比與判斷是解決探究性問題的靈魂.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);探究性問題;解決方法

在以學科核心素養(yǎng)為教學目標的大環(huán)境下，高中數(shù)學教學倡導(dǎo)以不同形式的學習與探究活動來激發(fā)學生的學習興趣，讓學生體會知識形成與發(fā)展的過程. 數(shù)學探究性問題在這種背景下出現(xiàn)的頻率越來越高. 探究性問題是指通過對事物發(fā)展規(guī)律的探索，揭露其產(chǎn)生的因果關(guān)系與本質(zhì)的問題. 縱覽近年高考試題，探究性問題涵蓋了數(shù)列、函數(shù)、三角與幾何等多個分支，給學生思維帶來了挑戰(zhàn).

嘗試與猜想是解決探究性問題的基礎(chǔ)

探究性問題一般都沒有明確的解決方向，學生遇到這一類問題時，最好的解決策略就是從嘗試開始，如特殊值的應(yīng)用或特殊化的嘗試等，從中初步獲得猜想，而后對猜想進行分析驗證.

例1 已知{a}為一個等差數(shù)列，q為等比數(shù)列的公比，且a=b，a=b≠a，將S記為數(shù)列的前n項和.

（1）如果a=b，且m，k為大于2的正整數(shù)，證明：S=a（m-1）;

（2）如果b=a（i為正整數(shù)），證明：q為整數(shù)，同時數(shù)列的每項均為數(shù)列{a}中的項.

（3）有沒有正數(shù)q能讓等比數(shù)列中的三項為等差數(shù)列？若有，請寫出一個q值，并證明;若無，請說明理由.

解析 問題（1）（2）略.

關(guān)于問題（3），其求解關(guān)鍵在于探尋等比數(shù)列中的某三項為等差數(shù)列. 學生初見此題，確實沒有明確的解決方向，最好的辦法就是“嘗試法”，可快速發(fā)現(xiàn)解題端倪.

嘗試1：分析數(shù)列的前三項，即若b，b，b為等差數(shù)列，則2b=b+b，2bq=b（1+q2）. 根據(jù)b≠0，可知q=1. 結(jié)合題設(shè)條件不難獲得“d≠0，且q≠1”，這與“q=1”是矛盾的，由此確定b，b，b并非等差數(shù)列.

嘗試2：若b，b，b為等差數(shù)列，就有2b=b+b，2bq=b（q3+1），2q=q3+1.因為q≠1，所以q不會是整數(shù). 此處可鼓勵學生畫草圖進行分析. 學生在畫圖過程中會發(fā)現(xiàn)y=2q-1（q>0）與y=q3（q>0）有兩個交點，也就是說方程2q=1+q3（q>0）存在兩個解，分別為q1=1與q2（0<q2<1），由此猜想：q極可能為黃金分割比，也就是q=. 驗證發(fā)現(xiàn)：在q=時，q3+1-2q=q（q2-2）+1=+1=0. 基于此，確定存在正數(shù)q，可讓等比數(shù)列中的三項為等差數(shù)列.

評析 兩輪嘗試后，初步猜想得到驗證，問題得以解決. 如果第二次嘗試失敗，那么可取{bn}的第1項、第3項、第5項或第2項、第3項、第5項進行嘗試. 其實本題還可以從“試根”的角度對q3-2q+1進行因式分解，得到q=，但這種解法超出了一般學生的思維范疇，不提倡.

通過本例不難看出，編題者對新課標理念的研究是非常透徹的，將數(shù)學美（黃金分割比）與探究靈活性展現(xiàn)得淋漓盡致. 對該探究性問題的思考，充分體現(xiàn)了學習能力與思維水平.

回顧此題的探究過程，因沒有明確的探究方向，故采用“試一試”的方法去探索. 類似于此的特殊化嘗試與猜想，如賦予特殊值、選擇特殊點或特殊函數(shù)等，是分析探究性問題的重要渠道基礎(chǔ).

聯(lián)想是解決探究性問題的核心

若探究性問題多次嘗試無果，則需及時分析原因，轉(zhuǎn)換思維，避免固執(zhí)己見. 根據(jù)題設(shè)條件進行聯(lián)想與轉(zhuǎn)換是解決探究性問題的重要方法之一.

例2 若函數(shù)f（x）=于[-λ，λ]（λ>0）上的最大值是N，最小值是n，則N+n=______.

解析 此題是一道高三復(fù)習題，學生提出如下兩種思路.

思路1：鑒于這是一道填空題，學生首先想到的是取特殊值，如x=0，x=，x=π進行計算，實踐發(fā)現(xiàn)這些特殊值并不能明確最值N，n，這種方法失敗.

思路2：借助導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性進行判斷，實踐發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)過程異常繁雜，無法順利獲得f′（x）=0的值x.

至此，這兩種思路均宣告失敗，于是轉(zhuǎn)換思維方向：分析分子、分母的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)可通過常數(shù)分離，結(jié)合函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求得函數(shù)最值.即=1-. 因為y=sinx是奇函數(shù)，所以g（x）=也是奇函數(shù). 根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)g（-x）=-g（x），得g（x）+g（x）=0，而g（x）=1-f（x），所以1-N+（1-n）=0，即N+n=2.

評析 所謂的聯(lián)想是指根據(jù)某事物而想到其他相關(guān)事物的過程，因此聯(lián)想是聯(lián)結(jié)新舊知識的重要方式之一. 當遇到探究性問題時，若結(jié)合已知與未知之間的聯(lián)系產(chǎn)生聯(lián)想，可實現(xiàn)知識的正遷移，將未知問題轉(zhuǎn)化成學生認知領(lǐng)域內(nèi)的已知問題，從而順利解決.

聯(lián)想存在接近和對立兩大類，學生兩次嘗試失敗后，聯(lián)想到最值與奇偶性、單調(diào)性的相近性，最終成功解決了問題.

轉(zhuǎn)換是解決探究性問題的根本

轉(zhuǎn)換在數(shù)學中的應(yīng)用較多，最常見的是當問題中出現(xiàn)兩種標準量時，無法判別它們之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，則可以根據(jù)標準量之間的內(nèi)在聯(lián)系，將它們轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的標準單位，即將復(fù)雜關(guān)系轉(zhuǎn)換成簡單關(guān)系，為解題服務(wù). 高中階段的數(shù)學轉(zhuǎn)換包含數(shù)形轉(zhuǎn)換、邏輯轉(zhuǎn)換等，這是解決探究性問題的根本，它能讓復(fù)雜問題簡單化.

例3 若函數(shù)f（x）位于區(qū)間（-1，1）中，且f

的值為-1，當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f

，已知數(shù)列{a}滿足a=，a=.

（1）證明：f（x）于區(qū)間（-1，1）中為奇函數(shù);

（2）f（a）的表達式是什么？

解析 遇到此類抽象的函數(shù)探究性問題時，常采用賦值法來分析. 以下為幾位學生的解題思路.

（1）賦值法：令x=y=0，則f（0）=0;令x=0，則f（-y）=-f（y），即f（-x）= -f（x），確證.

（2）根據(jù)遞推關(guān)系a=，求出{a}的通項公式而獲得f（a）的表達式，具體嘗試如下.

方法1：取倒數(shù)進行分析，即=+，失敗告終.

方法2：取特殊值進行分析，如取a=，a=，a=，這組數(shù)據(jù)沒有規(guī)律，學生思維卡殼.

為了啟發(fā)學生的思維，教師帶領(lǐng)學生反思：以上兩種方法均為了發(fā)現(xiàn)a與a之間的關(guān)系，而本題的解題任務(wù)是獲得f（a）的表達式，故探索a與a之間的關(guān)系就不是必不可少的環(huán)節(jié)，再觀察條件f（x）-f（y）=f

，可考慮從賦值角度進行分析.

方法3：將x=a，y=a代入f（x）-f（y）=f

，可得f（a）-f（a）=f. 又f=…=f（a），所以f（a）-f（a）=f（a），即f（a）=2f（a）. 由此確定{f（a）}是一個公比為2的等比數(shù)列，則f（a）= -2n-1. 解題成功！

評析 所謂的轉(zhuǎn)換就是換一個角度來思考與分析問題，高中階段常用的數(shù)學轉(zhuǎn)換包括逆向、數(shù)形和邏輯轉(zhuǎn)換. 此例中，第（1）問的賦值法是學生熟悉的，而第（2）問的賦值法則難以想到，因此需要轉(zhuǎn)換思維.

對比與判斷是解決探究性問題的靈魂

核心素養(yǎng)背景下的解題講究簡潔、明了，同一道題的解法有多種，究竟哪種更便利，錯誤率更低呢？這就需要應(yīng)用到對比與判斷手法，不斷優(yōu)化解題思路，提升解題技巧，發(fā)展學力.

例4 如圖1所示，已知平面直角坐標系xOy中存在兩個圓，分別為圓C：（x+3）2+（y-1）2=4和圓C：（x-4）2+（y-5）2=4.

假設(shè)點P是該平面上的一點，且滿足：過點P的無窮多對互相垂直的直線l，l，分別和圓C，C成相交的關(guān)系，已知直線l被圓C截得的弦長與直線l被圓C截得的弦長相等，請寫出滿足條件的所有點P的坐標.

解析 乍眼一看，本題的點P無跡可尋，究竟該如何獲得它的坐標呢？

思路1：特殊化法.將圓心C，C連接起來，鑒于兩圓半徑相同，過點P的兩條直線分別截得兩圓的弦長相等，由此猜想點P有可能位于CC的垂直平分線上.

根據(jù)題設(shè)條件明確直線l1，l2為互相垂直的關(guān)系，因此可假設(shè)直線方程，但截距式與一般式都不合適.

思路2：設(shè)兩點式.假設(shè)有一條直線過兩點（x，y），（x，y），且點P位于該直線上，結(jié)合垂直關(guān)系，可用四個參數(shù)表示另一條直線，但運算復(fù)雜.

思路3：設(shè)斜截式. 假設(shè)l：y=kx+b，則l：y=-x+b，根據(jù)條件“截得的弦長相等”，輕易獲得b，b，k之間的關(guān)系式，但求b，b需聯(lián)立方程組.

思路4：設(shè)點斜式. 設(shè)點P（m，n），則l：y-n=k（x-m），l：y-n=-（x-m），即x+ky-m-nk=0. 根據(jù)條件“截得的弦長相等”，獲得m，n，k之間的關(guān)系式為=（*）.

思路5：平面幾何法.弦長相等與半徑相等?PC=PC?點P位于線段CC的垂直平分線上;l⊥l?PC⊥PC?△PCC為一個等腰直角三角形. 聯(lián)立方程組可得P，P，同時四邊形PCPC為正方形.

評析 思路1是一個大致的解題方向，想要求解還需從一般方法著手. 思路2涉及多個參數(shù)，運算復(fù)雜. 思路3需要聯(lián)立方程組，運算繁雜，不易成功. 思路4中，若能發(fā)現(xiàn)式子（?）中的k是變量，m，n為常數(shù)，便可將問題轉(zhuǎn)化成一個恒成立的問題，獲得m，n之間的關(guān)系式，這是一種相對簡單的解題思路. 根據(jù)式子（*），得（m-n+8）k=m+n-5或（2-m-n）k=m-n-3，由于關(guān)于k的方程有無窮多個解，因此2-m-n=0，

. 思路5在思路1的基礎(chǔ)上，結(jié)合平面幾何來分析，屬于數(shù)形轉(zhuǎn)換.

此題以兩圓為背景，以對比的方式探究點P的坐標，獲得了一個等腰直角三角形與一個正方形，構(gòu)成了一幅對稱的幾何圖形. 此題展示了數(shù)學的獨特魅力：設(shè)“元”的差異性導(dǎo)致運算量不同，凸顯其在解決探究性問題中的關(guān)鍵作用.

例5 已知數(shù)列{a}中的a=-1，a=2a+3n-3（n∈N*）.

（1）證明：{a+3n}是一個等比數(shù)列;

（2）數(shù)列{a}的前n項和S的值是多少？

（3）若b=，分析有沒有實數(shù)k，可讓數(shù)列成為一個等差數(shù)列？若有，分析k值;若無，說明理由.

解析 問題（1）（2）略.

關(guān)于問題（3），把式子S=2n+1-2-代入b=，整理得b=，而后從如下幾種思路去分析.

思路1：設(shè)有實數(shù)k可讓數(shù)列成為一個等差數(shù)列，則有b-b=-. 面對該式，沒有學生愿意繼續(xù)往下計算，失敗告終！

思路2：特殊化法. 分別將n=1，2， 3代入b，但冗長繁雜的運算使學生望而卻步. 即使有少部分學生按照這種思路解題，正確率也很低.

思路3：從結(jié)論出發(fā)去分析——既然常數(shù)k滿足為等差數(shù)列，則可確定數(shù)列的通項公式b=-3n-3+為關(guān)于n的一次函數(shù)，所以必然等于0. 又2n+1-2是變化的，所以2-k=0，k=2. 驗證發(fā)現(xiàn)，當k=2時，b=-3n-3，b-b=-3是常數(shù)，結(jié)論成立.

評析 數(shù)學解題以簡潔美優(yōu)先，前兩種解題思路因為冗長的計算量而宣告失敗. 面對這樣的問題，我們需要轉(zhuǎn)換視角來分析，那么解題就會變得簡潔明了.

例4與例5的解題思路存在顯著差異，不同方法導(dǎo)致解題過程大相徑庭. 實踐證明，通過對比來優(yōu)化解題路徑是提升解題效率，優(yōu)化解題思維的重要方法. 正如龐加萊所言：創(chuàng)造的核心在于甄別與選擇.

總之，核心素養(yǎng)引導(dǎo)數(shù)學教學重視探究性思維. 教師應(yīng)帶領(lǐng)學生開闊視野，探尋解題方法，締造數(shù)學美.

作者簡介：袁海勇（1980—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學工作.