[摘 要] 數(shù)學(xué)學(xué)科層次分明，新知建立在舊知之上. 探索教學(xué)路徑時，需關(guān)注學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu). 文章以“三角函數(shù)的概念”教學(xué)為例，在充分理解教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)特征與學(xué)生實際認知水平的基礎(chǔ)上，分別從“舊知回顧，啟發(fā)思維”“以問促思，探索性質(zhì)”“練習(xí)訓(xùn)練，深化理解”“知識拓展，提煉總結(jié)”四個維度展開研究.

[關(guān)鍵詞] 內(nèi)容本質(zhì);教學(xué)路徑;三角函數(shù)

隨著新課改的深入推進，如今的高中數(shù)學(xué)教學(xué)從注重“知識立意”轉(zhuǎn)化為注重“能力立意”，通過學(xué)科教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)已成為大家的共識. 探索發(fā)現(xiàn)，基于內(nèi)容本質(zhì)的教學(xué)可有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等素養(yǎng)，這些素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素. 究竟何為本質(zhì)？如何把握教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)？筆者以“三角函數(shù)的概念”教學(xué)為例，展開具體研究.

內(nèi)容本質(zhì)的概述

生活中的萬物均包含外在現(xiàn)象與內(nèi)在本質(zhì)兩個層面，其中現(xiàn)象體現(xiàn)的是事物外部聯(lián)系，學(xué)習(xí)者通過感官即能完全感知到它的存在;而內(nèi)在本質(zhì)則為事物的內(nèi)在關(guān)系，屬于現(xiàn)象深層次的結(jié)構(gòu)，本質(zhì)決定事物的走向，學(xué)習(xí)者需要擁有良好的數(shù)學(xué)思維才能從真正意義上把握住數(shù)學(xué)本質(zhì)[1]. 因此，數(shù)學(xué)教學(xué)就是由表及里、去偽求真的過程，學(xué)生的思維在此過程中可實現(xiàn)“現(xiàn)象到本質(zhì)”的轉(zhuǎn)化.

教學(xué)分析

“三角函數(shù)的概念（第2課時）”教學(xué)常以單位圓為起點，即結(jié)合單位圓上點的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，并揭露其周期性等. 研究發(fā)現(xiàn)，揭露圓的對稱性是探索三角函數(shù)概念的核心. 本節(jié)課的重心在于教師帶領(lǐng)學(xué)生通過探索揭露內(nèi)容本質(zhì)，實現(xiàn)教學(xué)相長的同時為學(xué)生后續(xù)探索更多的誘導(dǎo)公式夯實基礎(chǔ).

從研究對象來看，本節(jié)課重點探索三角函數(shù)的周期性，并通過建立函數(shù)周期性對其中所蘊含的變量關(guān)系進行描述，以揭露知識本質(zhì). 關(guān)于教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的探索，可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)定義挖掘三角函數(shù)的符號規(guī)律，難度較小，可讓學(xué)生自主完成. 函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)是誘導(dǎo)公式一的本質(zhì)特征，大部分學(xué)生根據(jù)定義即可獲得.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點在于引導(dǎo)學(xué)生朝向既定目標(biāo)去思考. 因此，課堂上教師可帶領(lǐng)學(xué)生從研究方法著手，借助一些問題啟發(fā)學(xué)生思維，幫助學(xué)生探尋相應(yīng)的研究路徑. 為了揭露本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，教師可遵循以下路徑實施教學(xué)：確定探索內(nèi)容—分析對應(yīng)關(guān)系的特點—抽象概念—揭露性質(zhì).

教學(xué)過程簡錄

1. 舊知回顧，啟發(fā)思維

問題1 借助多媒體展示三組三角函數(shù)，要求學(xué)生從三角函數(shù)的定義出發(fā)，對每一組三角函數(shù)值進行大小比較（具體問題略）.

問題2 已知α為一個銳角，請用單位圓來證明sinα+cosα>1.

問題3 若點P（3a，4a）（a≠0）為角α終邊上的一點，則sinα，cosα，tanα的值分別是多少？

設(shè)計意圖 這組問題旨在測試學(xué)生對三角函數(shù)定義的理解和應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生思考并感悟三角函數(shù)值的符號，為接下來探索三角函數(shù)的性質(zhì)做鋪墊. 學(xué)生反饋顯示，舊知回顧啟UmXx90aJEAHC9JZVcJDfKw==發(fā)了他們的思維. 基于自身經(jīng)驗，學(xué)生探索這三個問題，展現(xiàn)了獨特智慧，使課堂充滿了活力.

2. 以問促思，探索性質(zhì)

師：在之前的課程中，大家已了解三角函數(shù)的定義，結(jié)合之前的探索習(xí)慣與經(jīng)驗，你們覺得接下來該探索三角函數(shù)的哪些內(nèi)容？

結(jié)合原有的探索習(xí)慣與經(jīng)驗，大部分學(xué)生快速想到探索三角函數(shù)的圖象與定義域，很少有學(xué)生想到通過單位圓來挖掘三角函數(shù)的性質(zhì). 想要在此環(huán)節(jié)有所突破，教師可設(shè)問誘導(dǎo)學(xué)生思維.

問題4 能否借助已有的認知經(jīng)驗來填寫表1？

設(shè)計意圖 用填表的方式協(xié)助學(xué)生感受三角函數(shù)的特性，旨在引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到用單位圓探索其性質(zhì). 因此，這是為學(xué)生思維定向的設(shè)計，承上啟下，激活學(xué)生的思維，引領(lǐng)他們進入深度探索.

問題5 明確三角函數(shù)的定義域后，接下來探索什么內(nèi)容呢？

設(shè)計意圖 此問依據(jù)學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗設(shè)計，多數(shù)學(xué)生會迅速對后續(xù)探索內(nèi)容做出反應(yīng).

問題6 根據(jù)任意角終邊與單位圓的交點的位置（象限），以及三角函數(shù)定義，將正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號填入圖1中的括號，同時用集合描述相應(yīng)規(guī)律.

設(shè)計意圖 將三角函數(shù)值在各個象限的符號填入圖1中的括號，促使學(xué)生從單位圓的視角發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的特殊性，為揭露誘導(dǎo)公式一夯實基礎(chǔ). 要求學(xué)生用集合描述相應(yīng)規(guī)律，意在幫助學(xué)生鞏固終邊相同的角和象限角的集合表達方法，這是提高學(xué)生符號意識的過程.

3. 練習(xí)訓(xùn)練，深化理解

練習(xí)1 判斷下列說法是否正確.

（1）若三角形的一個內(nèi)角為α，則sinα必然大于0.

（2）如果sinα>0，就能確定角α處于第一或第三象限.

（3）關(guān)于任意角α，其正弦值、余弦值、正切值均有實際意義.

練習(xí)2 已知sinα<0，tanα>0，那么角α處于第______象限.

練習(xí)3 證明sinβ<0，

tanβ>0是角β位于第三象限的充要條件.

練習(xí)4 快速說出下列三角函數(shù)值的符號：①sin-;②cos255°;③tan5π;④tan（-675°）.

設(shè)計意圖 從學(xué)生已有的認知水平出發(fā)，鼓勵學(xué)生應(yīng)用課堂所構(gòu)成的新知來分析與解決問題，不僅能強化學(xué)生對三角函數(shù)的理解，還能促進學(xué)生進一步認識角的終邊位于坐標(biāo)軸上時的取值規(guī)律，進而全面認識三角函數(shù). 練習(xí)3引導(dǎo)學(xué)生基于不等式組進行思考，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與邏輯推理能力.練習(xí)4旨在檢驗學(xué)生對三角函數(shù)的掌握與應(yīng)用情況.

在師生雙邊互動下，通過上述四個練習(xí)提煉出兩個結(jié)論：①如果確定一個角的終邊所處的象限，就能根據(jù)這個條件確定各三角函數(shù)值的符號;②如果明確一個角的正弦值、余弦值和正切值中的任意兩個值的符號，那么可據(jù)此分析出這個角的終邊所在的位置.

問題7 還有哪些特殊情況值得我們?nèi)ヌ剿髋c分析呢？

問題8 通過上述探索，大家能說出三角函數(shù)取值相等的條件嗎？

設(shè)計意圖 問題7與問題8意在引導(dǎo)學(xué)生將視線從探索三角函數(shù)特性轉(zhuǎn)向研究三角函數(shù)取值相等、相反，以及三角函數(shù)間的關(guān)系，進一步深化學(xué)生對三角函數(shù)的認識. 此處，教師要求學(xué)生用自己的語言對三角函數(shù)的取值規(guī)律展開闡述. 例如，分析圓的特性，讓學(xué)生討論誘導(dǎo)公式一的作用，促使學(xué)生進一步體會利用單位圓的周期性，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成“0～2π”角的三角函數(shù). 這在一定意義上縮小了學(xué)生探索三角函數(shù)定義域的范疇.

接下來，教師與學(xué)生繼續(xù)探討幾個典型練習(xí)，如提供幾個式子，要求學(xué)生用誘導(dǎo)公式一判斷正誤，以引發(fā)學(xué)生對其他性質(zhì)的聯(lián)想;提供一些三角函數(shù)，要求學(xué)生用誘導(dǎo)公式一判斷其符號，并用計算器對自己的判斷進行驗證……多個練習(xí)的提出，旨在深化學(xué)生對誘導(dǎo)公式一的認識.

隨著探索的深入，學(xué)生一致認為，關(guān)于三角函數(shù)求值問題的解決需要經(jīng)歷以下流程：定形→轉(zhuǎn)化→求值（如圖2所示）.

設(shè)計意圖 練習(xí)深入為學(xué)生搭建了廣闊的思維平臺，通過問題解決，學(xué)生對三角函數(shù)求值流程有了更深刻的認識. 這種循序漸進提煉知識結(jié)構(gòu)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的過程是幫助學(xué)生知識結(jié)構(gòu)化和培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)和重要途徑.

4. 知識拓展，提煉總結(jié)

為了更好地揭露內(nèi)容本質(zhì)，教師在此環(huán)節(jié)設(shè)計了以下問題串以引發(fā)學(xué)生思考.

問題串1：通過對誘導(dǎo)公式一的探索，明確了終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，那么，終邊具有對稱關(guān)系的角的同一三角函數(shù)值存在什么關(guān)系呢？

問題串2：探索發(fā)現(xiàn)三個三角函數(shù)值均與角的終邊和單位圓交點相關(guān)，這里面是否存在什么聯(lián)系？

問題串3：你們覺得三角函數(shù)的性質(zhì)可從哪些方面著手探索？

設(shè)計意圖 問題串的提出，意在進一步幫助學(xué)生鞏固內(nèi)容本質(zhì)，深化學(xué)生對三角函數(shù)的理解，為提煉其他誘導(dǎo)公式夯實基礎(chǔ)，也為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)探索精神做鋪墊.

幾點思考

1. 關(guān)注教學(xué)導(dǎo)向，揭露知識本質(zhì)

研究三角函數(shù)的性質(zhì)是本節(jié)課教學(xué)的重中之重. 想要從真正意義上揭露知識本質(zhì)，讓學(xué)生掌握核心知識與關(guān)鍵能力，并在研究過程中自主形成良好的探究意識，教師在教學(xué)設(shè)計時就需著重關(guān)注教學(xué)導(dǎo)向，避免應(yīng)用“注入式”教學(xué)模式導(dǎo)致學(xué)生機械地被動接受知識[2]. 在本節(jié)課中，教師以三角函數(shù)的概念作為學(xué)生思維起點，引導(dǎo)學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)并獲得三角函數(shù)的性質(zhì). 隨著由淺入深的問題串的應(yīng)用，學(xué)生思維有了明確的方向，內(nèi)容本質(zhì)也在逐層遞進的探索中浮出了水面.

2. 注重教學(xué)生成，促進“四能”發(fā)展

在教學(xué)中，教師重視知識生成，促使學(xué)生從真正意義上領(lǐng)略內(nèi)容本質(zhì)，獲得探索路徑. 如引入環(huán)節(jié)中的舊知回顧，教師用三個問揭露了單位圓的重要性，深化了學(xué)生對三角函數(shù)的理解，為本節(jié)課教學(xué)夯實了基礎(chǔ). 值得注意的是，當(dāng)教師提出問題后，為學(xué)生留下了充足的探索空間和時間，以激發(fā)學(xué)生的潛能，提升學(xué)生的“四能”.

3. 緊跟時代步伐，實現(xiàn)教學(xué)相長

隨著新課改浪潮的推進，教師應(yīng)充分認識到當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo)，以立德樹人為根本的教學(xué)任務(wù). 因此，教師要與時俱進，不斷更新教育教學(xué)理念，提高課堂教學(xué)效率與育人職能，實現(xiàn)教學(xué)相長. 如概念教學(xué)要將學(xué)生的抽象素養(yǎng)、應(yīng)用意識的提升作為基本目標(biāo)，通過各種教學(xué)手段促使學(xué)生基于認知水平挖掘潛能，構(gòu)建新知，提升學(xué)力.

總之，基于內(nèi)容本質(zhì)的教學(xué)路徑的探索任重而道遠，設(shè)計恰當(dāng)有效的問題可為學(xué)生搭建思維“腳手架”，促進學(xué)生各項能力與素養(yǎng)的發(fā)展. 教師應(yīng)從知識本質(zhì)與學(xué)情特征出發(fā)，設(shè)計好每一個教學(xué)過程，強調(diào)知識的產(chǎn)生與發(fā)展，促進學(xué)生在課堂中顯著進步.

參考文獻：

[1] 格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格. 追求理解的教學(xué)設(shè)計[M]. 閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.

[2] 明蕾. “問題串”串起數(shù)學(xué)概念教學(xué)的探索路徑：以“三角函數(shù)的概念”（第2課時）為例[J]. 中國數(shù)學(xué)教育，2023（20）：46-49.

作者簡介：黃斌（1983—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲九龍坡區(qū)中青年骨干教師稱號.