[摘 要] 學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)一般經(jīng)歷五個階段：初始經(jīng)驗(yàn)階段、再生經(jīng)驗(yàn)階段、再認(rèn)經(jīng)驗(yàn)階段、經(jīng)驗(yàn)概括階段、經(jīng)驗(yàn)圖式階段. 文章以數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的獲取流程為起點(diǎn)，借助“平面向量”概念教學(xué)，分別從情境導(dǎo)入、規(guī)范描述、深入探索、實(shí)際應(yīng)用與回顧總結(jié)五個方面展開研究，揭露知識構(gòu)建過程，以及積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的具體措施.

[關(guān)鍵詞] 過程;活動經(jīng)驗(yàn);平面向量

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的感知、體驗(yàn)和感悟等. 隨著新課改的深入推進(jìn)，當(dāng)下越來越多的教育工作者發(fā)現(xiàn)積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)不僅能促進(jìn)學(xué)生個體的發(fā)展，還能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的獲取需經(jīng)歷怎樣的流程呢？如何借助“平面向量”概念教學(xué)凸顯數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的獲取方式和方法呢？這是本文著重探討的問題.

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的獲取流程

學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)一般經(jīng)歷五個階段：初始經(jīng)驗(yàn)階段、再生經(jīng)驗(yàn)階段、再認(rèn)經(jīng)驗(yàn)階段、經(jīng)驗(yàn)概括階段、經(jīng)驗(yàn)圖式階段. 這些階段由淺入深、逐步深化. 學(xué)生的思維隨著數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)階段水平的提升而螺旋上升，這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)至關(guān)重要. 如圖1所示，獲取數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)基本遵循這樣一個流程[1]. 執(zhí)教時，教師可結(jié)合該流程設(shè)計(jì)教學(xué)活動，以逐步啟發(fā)學(xué)生思維，提升學(xué)生的能力，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).

教學(xué)分析

1. 學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對象為四星級普通高中學(xué)校的高中生，學(xué)生的知識基礎(chǔ)較扎實(shí)，有較好的運(yùn)算能力，課堂氛圍較好，學(xué)生的思維活躍度不錯. 授課前，學(xué)生已經(jīng)通過物理學(xué)科的學(xué)習(xí)，對矢量有了明確的認(rèn)識，同時在“三角函數(shù)”章節(jié)中掌握了有向線段. 這些知識基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)都是本節(jié)課的教學(xué)基礎(chǔ). 學(xué)生的認(rèn)知水平較高，擁有較強(qiáng)的類比分析、自主探索與合作交流能力，但在主動方面還需要進(jìn)一步強(qiáng)化.

2. 設(shè)計(jì)構(gòu)想

向量與我們的日常生活密切相關(guān). 在概念教學(xué)時，需結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，借助豐富的情境來啟發(fā)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生從生活情境如速度、力、位移、指示牌等感知方向，理解向量不僅是數(shù)學(xué)知識，還有物理背景. 由此為規(guī)范描述向量做好鋪墊，并讓學(xué)生感知用向量模型處理生活問題的便利. 關(guān)注向量知識的建構(gòu)，結(jié)合教學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，明確研究思路，感知知識的形成與發(fā)展，為形成結(jié)構(gòu)化知識體系夯實(shí)基礎(chǔ).

3. 教學(xué)目標(biāo)

（1）借助情境，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光來觀察現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)向量的存在，理解并規(guī)范描述向量.

（2）引導(dǎo)學(xué)生通過類比與聯(lián)想，自主提煉特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等思想方法.

（3）引導(dǎo)學(xué)生親歷向量的建構(gòu)流程，提煉數(shù)學(xué)事物的常規(guī)探索路徑與方法，在深度學(xué)習(xí)中不斷提升學(xué)力.

教學(xué)實(shí)踐

1. 情境導(dǎo)入

師：觀察圖2，若將學(xué)校作為參照物，該怎樣描述城市圖書館的具體位置？

生1：城市圖書館在學(xué)校的北偏西37°的位置.

師：這么描述是否能找到城市圖書館的確切位置？

生2：不行，這么描述還不夠精確，應(yīng)指出兩者之間的距離為80千米.

師：由此可知，想要確切地表達(dá)一個位置，需提供什么關(guān)鍵條件？

生3：需要明確指出距離與方向，這兩個量都不可缺失.

師：不錯！基于這個維度來思考，之前在學(xué)習(xí)中有沒有涉及其他與長度和方向相關(guān)的量？想一想生活中一些不同量之間的差別.

設(shè)計(jì)意圖 真實(shí)的生活情境引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感知課堂學(xué)習(xí)的知識并非天上掉下來的，而是從生活中抽象而來的. 隨著師生的交流，學(xué)生迅速發(fā)現(xiàn)這些量的共同點(diǎn)是“既有大小，又有方向”. 這一共同點(diǎn)，即本節(jié)課將要研究的知識內(nèi)容——向量.

2. 規(guī)范描述

師：通過以上探索，大家都明確了“既有大小，又有方向”的量為“向量”. 究竟該如何規(guī)范描述向量呢？

生4：根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可考慮用實(shí)數(shù)刻畫向量的大小，用字母a，b，c，…，或用數(shù)軸進(jìn)行描述.

師：那么向量能否像實(shí)數(shù)一樣，借助代數(shù)與幾何兩種模式進(jìn)行描述呢？或在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上添加方向？

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科. 雖然數(shù)學(xué)知識源于生活，但要用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述. 學(xué)生將文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號，這是理解數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵. 學(xué)生可結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)向量規(guī)范的表示法，這不僅有助于構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，還能促進(jìn)思維和學(xué)力的提升.

3. 深入探索

師：對于大家來說，向量是一個新事物，能否結(jié)合所學(xué)知識進(jìn)行研究呢？

生5：或許可將“實(shí)數(shù)”作為探索起點(diǎn).

師：這是個不錯的提議，大家還記得探索實(shí)數(shù)的基本流程嗎？

生6：以“0，1”為起點(diǎn)，逐步推廣. 從單個實(shí)數(shù)的探索逐漸發(fā)展到實(shí)數(shù)間關(guān)系的探索（相反、相等），而后研究實(shí)數(shù)四則運(yùn)算，最后形成實(shí)數(shù)體系.

師：描述得很完整. 參照實(shí)數(shù)的探索，向量的探索起點(diǎn)在何處？

生7：根據(jù)特殊到一般數(shù)學(xué)思想，我認(rèn)為應(yīng)該先探索特殊向量，再推廣至一般向量.

師：什么是特殊向量？

生8：向量與實(shí)數(shù)的最大區(qū)別是它有方向，因此，特殊向量的特殊點(diǎn)不僅在于大小，也在于方向.

師：以為例，該向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)之間的線段的長度稱為向量的模，記作. 根據(jù)這個概念，請大家思考哪些向量屬于特殊向量，并舉例說明.

在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生首先想到實(shí)數(shù)中的特殊值0和1，列舉出長度分別為0和1的向量. 為讓學(xué)生感知零向量與單位向量，教師特地在黑板上畫出不同方向的向量，要求學(xué)生描述它們的方向并思考其是否為單位向量.

隨著師生互動的深入，學(xué)生提出“可以改變”“不確定”“可指定”等關(guān)鍵詞. 為了進(jìn)一步深化學(xué)生對特殊向量的認(rèn)識，教師要求學(xué)生站起來，根據(jù)自己的指令原地旋轉(zhuǎn)，由此揭露“零向量為沒有發(fā)生位移的向量，其方向具有任意性”.

設(shè)計(jì)意圖 知識源于生活，引導(dǎo)學(xué)生從認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)探尋新知，遵循循序漸進(jìn)的原則. 循循善誘的點(diǎn)撥不僅能喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，還能促使學(xué)生自主構(gòu)建新知，這是核心素養(yǎng)教育理念下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的關(guān)鍵. 此設(shè)計(jì)不僅強(qiáng)化學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，還滲透類比、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法，是挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)潛能、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體.

師：如圖3所示，已知ABCDEF為正六邊形，O為其中心點(diǎn)，分析，，之間的關(guān)系.

生9：這三個向量互為平行關(guān)系.

師：如何定義平行向量呢？

學(xué)生以合作交流的方式，共同商討平行向量的概念，教師適當(dāng)加以點(diǎn)撥，最后板書結(jié)論，特別強(qiáng)調(diào)零向量不可忽略.

師：如圖4所示，已知ABCDEF為正六邊形，O為其中心點(diǎn)，向量，，，，之間存在怎樣的關(guān)系？

生10：這五個向量之間存在平行、相反與相等的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 向量章節(jié)內(nèi)容復(fù)雜，與實(shí)數(shù)緊密相關(guān). 若缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，則學(xué)生易受思維定式的影響，難以拓展思維. 反之，借助多媒體展示圖形，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知水平來探索向量的相關(guān)概念，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能將學(xué)生變成真正的探索者，促使學(xué)生在類比中尋找新的突破點(diǎn)，順利建構(gòu)新知[2].

4. 實(shí)際應(yīng)用

例1 判斷下列說法是否正確：①向量與其相反的向量必定不等;②因?yàn)閍∥b，且b∥c，所以a∥c;③兩個向量相等或相反，都能判斷這兩個向量為平行向量;④如果兩個單位向量互為平行關(guān)系，那么這兩個單位向量必定相等;⑤若ABCD為平行四邊形，則=.

例2 圖5為一張方格紙，其中存在向量，請嘗試以格點(diǎn)為向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)，根據(jù)以下要求繪制向量：①與相等的向量;②與相等（不含）的共線向量.

設(shè)計(jì)意圖 例1旨在提升學(xué)生對向量概念的辨析能力，鞏固學(xué)生的知識體系，為應(yīng)用打基礎(chǔ);例2的向量繪制則加強(qiáng)學(xué)生的新知應(yīng)用能力，既發(fā)展學(xué)生的學(xué)力，又幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

5. 回顧總結(jié)

師：請大家回顧本節(jié)課對向量的探索歷程，嘗試用導(dǎo)圖來描述基本研究思路.

各小組學(xué)生合作討論，教師投影展示清晰圖示，幫助學(xué)生梳理探索向量的基本方法，形成良好的活動經(jīng)驗(yàn).

課堂尾聲，教師展示圖6，指出小明今天的行走路線為A→B→C→D，要求學(xué)生從數(shù)學(xué)的維度說一說自己的想法.

設(shè)計(jì)意圖 課堂總結(jié)是對知識、思想方法、探索流程的梳理，思維導(dǎo)圖的應(yīng)用可強(qiáng)化學(xué)生的綱領(lǐng)意識，培育學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維，幫助學(xué)生更好地積累活動經(jīng)驗(yàn). 鼓勵學(xué)生課后探究開放性問題，與導(dǎo)入情境相呼應(yīng)，能激發(fā)學(xué)生的探索興趣，為下節(jié)課的教學(xué)留下懸念.

思考與感悟

在新課標(biāo)下，關(guān)注知識建構(gòu)和積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本措施，旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)一般經(jīng)歷五個階段：初始經(jīng)驗(yàn)階段、再生經(jīng)驗(yàn)階段、再認(rèn)經(jīng)驗(yàn)階段、經(jīng)驗(yàn)概括階段、經(jīng)驗(yàn)圖式階段. 這五個階段唇齒相依、相輔相成.

課堂“情境導(dǎo)入”環(huán)節(jié)激發(fā)學(xué)生原初經(jīng)驗(yàn)，隨后“規(guī)范描述”啟發(fā)學(xué)生的“再生經(jīng)驗(yàn)”，引導(dǎo)學(xué)生深入探索，并進(jìn)入“再認(rèn)經(jīng)驗(yàn)”狀態(tài). 通過“實(shí)際應(yīng)用”活動，學(xué)生提煉并概括經(jīng)驗(yàn)，深化對向量知識的理解. 最后，“回顧總結(jié)”不僅梳理知識，還促使學(xué)生自主提煉研究方法，獲得經(jīng)驗(yàn)圖式.

總之，在“素養(yǎng)立意”的導(dǎo)向下，課堂教學(xué)更注重學(xué)力發(fā)展. 關(guān)注知識形成過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是關(guān)鍵. 因此，教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)材料的邏輯化，明確課堂教學(xué)主題及其重要性，以及探索方法，為學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1] 向立政，皮冬林. 數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的獲得：例探其基本過程、水平層次和主要表征[J]. 中國數(shù)學(xué)教育，2017（9）：2-5+11.

[2] 雷成才，盛俊. 利用活動經(jīng)驗(yàn) 還原建構(gòu)過程：“平面向量的概念及表示”教學(xué)實(shí)錄與反思[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（10）：22-24+21.

作者簡介：王曉煒（1984—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲蘇州市評課選優(yōu)二等獎，蘇州市吳中區(qū)學(xué)科帶頭人.