摘要：離散數(shù)學是計算機專業(yè)的一門必修課，其理論知識廣泛應(yīng)用于計算機相關(guān)領(lǐng)域工程問題的建模與分析。為解決教學過程中“重理論，輕實踐”、知識點瑣碎等問題，結(jié)合團隊多年的教學經(jīng)驗，提出基于知識圖譜的“223”實踐教學模式，給出了詳盡的教學案例。實踐表明，這樣的改革不但提升了學生學習離散數(shù)學的興趣，而且提高了自主學習和程序設(shè)計與實現(xiàn)的能力。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學；知識圖譜；知識點；實踐教學模式；選派問題

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2024）22-0137-04

開放科學（資源服務(wù)）標識碼（OSID）

0 引言

離散數(shù)學是計算機及其相關(guān)專業(yè)的一門必修課，也是2021年底教育部啟動實施的計算機領(lǐng)域本科教育教學改革試點工作計劃（簡稱“101 計劃”） 12門核心課程之一，涵蓋數(shù)理邏輯、集合論、圖論等多個分支，廣泛應(yīng)用于計算機相關(guān)領(lǐng)域工程問題的建模與分析。針對“定義-定理-證明-習題”的傳統(tǒng)理論授課方式，筆者結(jié)合自身教學經(jīng)驗，對課程已做出一些改革與實踐[1-2]，但當前的教學方式仍存在不足之處，主要表現(xiàn)在：①知識點瑣碎，缺乏整合及有效的呈現(xiàn)方式?！皩W習通”中的課程資源按照傳統(tǒng)的章節(jié)組織，學生難以將零散的知識點有機地結(jié)合起來，形成一個完整的知識框架和全局性的認知，學習效果不佳。②教學內(nèi)容側(cè)重理論知識傳授，導致多數(shù)學生認為課程枯燥乏味、缺乏實用性?！澳軌蚴褂秒x散數(shù)學基本知識對計算機科學領(lǐng)域的有關(guān)離散量的實際問題建立模型并設(shè)計解決方案”這個課程目標的達成度不理想。為解決上述問題，迫切需要將現(xiàn)有的課程資源進行重構(gòu)、整合、關(guān)聯(lián)，優(yōu)化知識表達，讓知識“看得見”“看得全”“活起來”。

知識圖譜是結(jié)構(gòu)化的語義知識庫，用于以符號形式描述物理世界中的概念及其相互關(guān)系，其基本組成單位是“實體-關(guān)系-實體”三元組，以及實體及其相關(guān)屬性——值對，實體間通過關(guān)系相互聯(lián)結(jié)，構(gòu)成網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)[3]。課程知識圖譜采用圖示的方法，建立課程內(nèi)各知識點之間的關(guān)系，并且把每個知識點關(guān)聯(lián)多種學習資源包括多媒體、圖、文、聲、習題、測試、超鏈接等，可以實現(xiàn)知識點的充分細化和有效重組，既能改善教學效果，又有助于學生對課程的深度理解。

本文針對現(xiàn)有教學的特點及不足，借助知識圖譜相關(guān)技術(shù)，在本校范圍內(nèi)首次將編程作業(yè)引入離散數(shù)學課，以應(yīng)用離散數(shù)學知識解決實際問題為導向，提出“223”實踐教學模式，助力課程建設(shè)。

1 基于知識圖譜的“223”實踐教學模式案例

1.1 教學準備

依托超星泛雅平臺，從現(xiàn)有的課程章節(jié)中導入知識點并輔以人工調(diào)整的方式抽取課程知識點，建立知識點之間的關(guān)系。之后，將知識點與多模態(tài)教學資源進行關(guān)聯(lián)，從而完成離散數(shù)學課程知識圖譜的構(gòu)建。

本校相關(guān)專業(yè)的離散數(shù)學課開設(shè)在大一第二學期，學生在第一學期學過C++程序設(shè)計，有一定的編程基礎(chǔ)但應(yīng)用能力略顯不足。此外，課程總學時數(shù)為48，均為理論授課，無實驗學時，因此編程實踐只能在課余完成。綜合以上情況，依托小程序在線評測系統(tǒng)（OJ），精選出4個項目：①利用邏輯推理知識解決選派問題；②等價關(guān)系應(yīng)用于分配軟件開發(fā)模塊；③應(yīng)用拓撲排序編排先修課程；④用圖論中的節(jié)點度數(shù)序列解決POJ中的“青蛙的鄰居”題目。

1.2 教學模式設(shè)計

課程實踐教學改革采用“223”模式，即“線上/線下”2種教學方式相結(jié)合、“超星泛雅+OJ系統(tǒng)”2個平臺相輔相成和“課前-課中-課后”3個教學階段互為補充。具體流程如圖1所示。

1.3 教學實施

以第一次實踐項目為例。問題描述：A、B、C、D四個人中要派兩個人出差，按下述三個條件有幾種派法？如何派？①若A去，則C和D中要去1人。②B和C不能都去。③若C去，則D要留下。

1） 課前預學。課前，教師將已經(jīng)完成的課程知識圖譜、實踐項目的具體描述、項目涉及的最核心知識點等形成自測題發(fā)布到泛雅平臺。學生在圖譜中搜索，得到與項目對應(yīng)的部分知識圖譜，由圖譜可知前置知識點的掌握情況。如果不理想，按照泛雅平臺提供的“學習路徑”，選擇相應(yīng)的關(guān)聯(lián)資源進行鞏固復習，然后完成自測題，同時記錄暫時未解決的疑問?！斑x派問題”的課前預習內(nèi)容如圖2所示。

學生登錄泛雅平臺進入課程知識圖譜后，在搜索欄輸入“主范式的應(yīng)用”可以看到圖3所示的局部知識圖譜。由該圖可知，“主范式的應(yīng)用”前置知識點包括：①命題連接詞；②命題符號化；③真值表；④主范式的求法。其關(guān)聯(lián)知識點有：①命題公式的分類；②等價公式證明。

在圖3中選擇某個知識點，可以查看“學習路徑”，了解該知識點的掌握情況。圖4所示為某生的“學習路徑”，可以清晰地看出該生各個知識點的掌握率。如果想對某個知識點進行復習，在圖3中選擇該知識點，即可找到關(guān)聯(lián)的學習資源，包括“章節(jié)測驗”“視頻”“課件”等，有針對性地進行鞏固學習。所有的前置知識點都掌握后，完成圖2所示的自測題，至此課前預學結(jié)束。

2） 課中研學1。這個環(huán)節(jié)的教學活動主要在線下課堂進行。教師從知識圖譜中精準掌握了學生的預習情況后，可以聚焦錯誤率高的問題，而非逐一詳細講解，從而大大節(jié)省寶貴的課堂時間。

對選派問題，從知識圖譜中教師得到3個自測題目的正確率統(tǒng)計，第一題為61%，第二題為95%，第三題為94%。顯然，第一題的錯誤率最高，進一步查看統(tǒng)計詳情，得到圖5所示餅圖。可以看出，有11.81%的學生選擇A選項，即將“C和D中要去1人”翻譯成了“析取”，究其原因是混淆了“可兼或”與“排斥或”。進行重點分析，這句話的意思是“C和D要去，但只能去1個，不包括兩個人都去的情況”，所以應(yīng)該是“排斥或”。表示“排斥或”的有兩個選項，即C、D選項正確。

接下來，講解本題的建模過程。題目的3個條件分別符號化為：①A→（C∧?D）∨（?C∧D）②?（B∧C）③C→?D。滿足三個條件的選派方案可以寫成命題公式G?（A→（C∧?D）∨（?C∧D））∧?（B∧C）∧（C→?D）。求出G的主析取范式即可分析出問題的解。

之后，引導學生思考：真值表法和等值演算法哪個更適合編程求主析取范式？通過討論，大家一致認為真值表法較合適。如何構(gòu)造公式G的真值表？需要列出4個變元A、B、C、D的真值組合情況，然后構(gòu)造子公式的真值，直到列出公式G的真值表。一番熱烈交流之后，大多數(shù)同意采用四重循環(huán)（A～D分別從0循環(huán)到1）的方式來實現(xiàn)該功能。

最后，教師在OJ系統(tǒng)發(fā)布編程作業(yè)。如圖6所示。

3） 課后拓學1。學生課后利用業(yè)余時間在OJ系統(tǒng)選擇自己熟悉的編程語言寫代碼、提交，系統(tǒng)自動測評、反饋錯誤信息。學生找出代碼的bug進行修改，直到程序被系統(tǒng)接受。教師在OJ系統(tǒng)后臺查看學生提交的代碼，及時發(fā)現(xiàn)問題并給予指導。此次實踐項目，幫助學生解決代碼中的48個答案錯誤、13個運行錯誤、66個編譯錯誤及1個格式錯誤。作業(yè)結(jié)束時，統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明：共提交343次，正確105次，有些同學嘗試用不同的方法來解決問題，故進行了多次提交。

4） 課中研學2。編程作業(yè)結(jié)束后，課堂上抽出大約10分鐘的時間讓學生分享自己的解決方案，教師和其他學生進行點評。兩份代碼片段如圖7所示?！澳芟氲接谩莆弧汀次慌c’運算列出4個變元的16種真值組合情況，妙??！”有的同學感慨道。還有的同學表示第一次看到bitset的用法，準備用在自己的程序中。之后，教師結(jié)合本次實踐過程總結(jié)利用離散數(shù)學知識解決實際問題的步驟：自然語言描述的問題→離散數(shù)學語言描述（建模）→編程語言描述（解決問題）。

最后，老師在OJ系統(tǒng)布置用同類模型可以解決的其他編程題目：“甲、乙、丙三人對一塊礦石進行判斷，每人判斷兩次。甲認為這塊礦石不是鐵，也不是銅；乙認為它不是鐵，是錫；丙認為它不是錫，是鐵。已知老工人兩次判斷都對，普通隊員兩次判斷一對一錯，實習生兩次判斷都錯。試問此礦石是什么礦？甲、乙、丙三人各是什么身份？[4]”

5） 課后拓學2。學生聽取教師的總結(jié)和同學們的分享后，可以選擇完善之前的程序，也可以對本次實踐過程進行歸納總結(jié)形成實驗報告、繪制自己專屬的知識圖譜，還可以完成OJ上擴展的編程題目。教師則可針對學生提交的成果進行個性化指導。

“選派問題”經(jīng)過課堂第二輪交流后，有10名同學完善之前的代碼，代碼行數(shù)由最多的95行降到48行；20名同學在“學習通”提交實驗報告；36人完成OJ系統(tǒng)的選做拓展作業(yè)。還有2名同學在圖3的基礎(chǔ)上繪制了自己的“跨課”圖譜，如圖8、圖9所示。

1.4 實施效果

課后收到學生的一些反饋，如“知識圖譜很有趣，不但能一目了然知識點之間的關(guān)系，還能制作自己的圖譜。隨著課程的進行，打算繪制更多的專屬于自己的知識圖譜?！边€有一些同學表達在離散數(shù)學課中引入實踐環(huán)節(jié)的看法：“編程作業(yè)能將我們學習的C++知識和離散數(shù)學知識成功聯(lián)系到一起，更加開闊思維，對C++有更深一層的認識?！睂虒W模式，有的同學認為：“老師在編程作業(yè)開始之前的提示，對我打開思路非常重要。”“觀摩同學們的代碼讓我了解到很多不一樣的實現(xiàn)方法，拓寬了視野?！?/p>

這些主觀評價在一定程度上反映了改革的成效，但為了更好地了解“223”模式的教學效果，實踐項目結(jié)束后，對筆者執(zhí)教的計算機科學與技術(shù)專業(yè)2023級82名學生，從7個方面進行了問卷調(diào)查，詳細結(jié)果見表1。

從調(diào)查結(jié)果可以看出，有90.24%的學生贊同在離散數(shù)學課中引入編程環(huán)節(jié)，能激發(fā)自己對這兩門課程的學習興趣。對OJ系統(tǒng)的認可度更是達到了92.68%。認為知識圖譜在課前預學階段有幫助的約占89%，但課后打算用知識圖譜做總結(jié)的不足40%，需加大課程知識圖譜的推廣。對于新的教學模式，91.46%的學生表示非常喜歡或喜歡，只有6.10% 的學生持不確定態(tài)度，沒有非常不喜歡的學生。總體來說，學生對這種新的教學模式滿意度較高。

2 結(jié)束語

“223”實踐教學模式以編程求解離散數(shù)學問題為導向，發(fā)揮知識圖譜的可視化、問題精準定位之優(yōu)勢，借助OJ系統(tǒng)便捷高效的特點，不僅提高了學生學習離散數(shù)學的興趣，而且拓寬了程序設(shè)計的廣度，培養(yǎng)了學生的數(shù)學思維能力，將原來抽象的理論通過建立模型、編程求解，讓知識以親眼可見的方式“用起來”“活起來”。

參考文獻：

[1] 柴玉梅.融入課程思政的離散數(shù)學課教學設(shè)計[J].電腦知識與技術(shù)，2020，16（34）：133-134，152.

[2] 柴玉梅.一種針對大一學生的離散數(shù)學教改方案[J].電腦知識與技術(shù)，2020，16（26）：129-130.

[3] 劉嶠，李楊，段宏，等.知識圖譜構(gòu)建技術(shù)綜述[J].計算機研究與發(fā)展，2016，53（3）：582-600.

[4] 賁可榮，袁景凌， 謝茜.離散數(shù)學[M].3版.北京：清華大學出版社，2021：50-51.

[5] 杜麗美，張劍妹.基于OBE和PBL融合的離散數(shù)學教學改革[J].計算機教育，2023（5）：149-154.

[6] 白蓮花，賈永旺.基于“兩個世界轉(zhuǎn)換框架”的課內(nèi)探究型教學案例設(shè)計[J].計算機教育，2021（4）：147-150.

【通聯(lián)編輯：王 力】