解決等腰三角形存在性問題時(shí)，同學(xué)們要抓住圖形固有的幾何特點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際情況，運(yùn)用分類討論思想（討論兩腰的歸屬），進(jìn)行分析處理. 對(duì)下面這道以平面直角坐標(biāo)系為依托的等腰三角形存在性問題，同學(xué)們就可以根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)用分類討論思想求解.

典例分析

例 如圖1，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCO在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，AO與y軸的正半軸重合，OC與x軸的正半軸重合，D是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，DC，直線DC與y軸交于點(diǎn)E，若△AED為等腰三角形，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

解析：可以討論分別以A，E，D為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)的三種情況.

（1）如圖2，當(dāng)A為等腰三角形AED的頂角頂點(diǎn)時(shí)，AE = AD，則∠AED = ∠ADE. 由“三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”可得∠OAD = 2∠AED. 由正方形的性質(zhì)可得AO = CO，∠AOD = ∠COD，可證△AOD ≌ △COD（SAS），所以∠OAD = ∠OCD，則∠OCD = 2∠AED. 在Rt△EOC中，∠OCD + ∠AED = 90°，即3∠AED = 90°，則∠AED = 30°，所以EC = 2OC.

由正方形的邊長(zhǎng)為3，可得EC = 2OC = 2 × 3 = 6.

由勾股定理可得OE = [EC2-OC2=33]，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，[33]）.

（2）當(dāng)A為等腰三角形AED的頂角頂點(diǎn)時(shí)，還有一種情況，如圖3，AE = AD，則∠AED = ∠ADE.

根據(jù)第（1）種情況可知，由△AOD ≌ △COD可得∠ADO = ∠CDO，則∠AED = 2∠ODC. 由∠AOB = 45°，∠AOB = ∠OED + ∠ODE，得3∠ODE = 45°，即∠ODE = 15°，所以∠OED = 30°，所以EC = 2OC = 2 × 3 = 6.

由勾股定理可得OE = [EC2-OC2=33]，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-[33]）.

（3）當(dāng)E為等腰三角形AED的頂角頂點(diǎn)時(shí)，如圖4，EA = ED，則∠EAD = ∠EDA.

由“三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”可得∠OED = 2∠EAD. 根據(jù)第（1）種情況可知，由△COD ≌ △AOD可得∠OCD = ∠OAD，即∠OED = 2∠OCD.

在△EOC中，∠OED + ∠OCD = 90°，即3∠OCD = 90°，則∠OCD = 30°，所以EC = 2OE.

設(shè)OE為x，則EC為2x，由勾股定理可得[OE2+OC2=EC2]，即[x2+32=]（2x）2，則x = [3]，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，[3]）.

（4）當(dāng)D為等腰三角形AED的頂角頂點(diǎn)時(shí)，DA = DE，不存在這樣的等腰三角形.

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，[33]），（0，-[33]），（0，[3]）.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★★ 解題時(shí)間：15分鐘

1. 如圖5，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠B = 45°，AB = 6[2]，點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C即停止運(yùn)動(dòng)，G，H分別是AF，DF的中點(diǎn)，連接GH. 設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒， CD = 8，若△FGH是等腰三角形，直接寫出t的值. （答案見第33頁(yè)）

難度系數(shù)：★★★★★ 解題時(shí)間：20分鐘

2. 如圖6，直線[y1=kx-2]和直線[y2=-3x+b]相交于點(diǎn)A（2，-1），B，C分別為兩條直線與y軸的交點(diǎn). 在x軸上存在一點(diǎn)P，當(dāng)△ABP是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). （答案見第33頁(yè)）

（作者單位：遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)初中部）