【摘要】“尺規(guī)作圖”是新課標(biāo)中“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。明確課標(biāo)內(nèi)“尺規(guī)作圖”的內(nèi)容體系、探尋教學(xué)中“尺規(guī)作圖”的教育價(jià)值、探究課堂上“尺規(guī)作圖”的教學(xué)路徑，能引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐操作中感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性，進(jìn)而促進(jìn)其幾何直觀和推理意識(shí)的良好發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；新課標(biāo)；“尺規(guī)作圖”；三角形；核心素養(yǎng)

【基金項(xiàng)目】本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度“協(xié)同創(chuàng)新”（含幫扶項(xiàng)目）專項(xiàng)課題“新課標(biāo)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)‘尺規(guī)作圖’教學(xué)策略的研究”（立項(xiàng)編號(hào)：Fjxczx22-003）的研究成果。

作者簡(jiǎn)介：陳秋蓉（1974—），女，福建省莆田市城廂區(qū)溝頭小學(xué)。

“尺規(guī)作圖”是指在有限次數(shù)內(nèi)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)解決各種平面幾何問(wèn)題的經(jīng)典作圖方法。新課標(biāo)頒布前，小學(xué)階段在“尺規(guī)作圖”方面的教學(xué)內(nèi)容較為單一，往往僅局限于用圓規(guī)畫圓這一項(xiàng)。一些學(xué)生升入初中后，在幾何學(xué)習(xí)方面的焦慮程度高于在代數(shù)學(xué)習(xí)方面的焦慮程度，且對(duì)幾何學(xué)習(xí)很不適應(yīng)。這反映出之前各階段教學(xué)的銜接存在一些不足。而新課標(biāo)為小學(xué)階段新增的“尺規(guī)作圖”的內(nèi)容可以確保學(xué)生學(xué)習(xí)的連貫性，幫助學(xué)生消除焦慮、克服困難、增強(qiáng)信心。下面筆者將結(jié)合具體案例，從內(nèi)容體系、教育價(jià)值、教學(xué)路徑三個(gè)方面，對(duì)新課標(biāo)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)“尺規(guī)作圖”的教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行闡述。

一、解讀課標(biāo)，明確課標(biāo)內(nèi)“尺規(guī)作圖”的內(nèi)容體系

“尺規(guī)作圖”的內(nèi)容體系具有邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。只有細(xì)致梳理“尺規(guī)作圖”所涵蓋的各個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)，分析各知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)聯(lián)與層次結(jié)構(gòu)，才能準(zhǔn)確地把握“尺規(guī)作圖”內(nèi)容體系的全貌，清晰地了解其在整個(gè)數(shù)學(xué)課程架構(gòu)中的地位與價(jià)值，為教學(xué)實(shí)踐提供科學(xué)的依據(jù)和創(chuàng)新的方向。

（一）解析“尺規(guī)作圖”內(nèi)容之具體分布

新課標(biāo)在小學(xué)階段的“圖形與幾何”領(lǐng)域提出了“尺規(guī)作圖”的要求。這些要求具體分布在新課標(biāo)第二學(xué)段“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”的“內(nèi)容要求”“學(xué)業(yè)要求”“教學(xué)提示”部分和第三學(xué)段“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”的“教學(xué)提示”部分。其對(duì)應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容為“作等長(zhǎng)線段”“作三角形三條邊”“探索三角形三邊關(guān)系”。

精準(zhǔn)地理解新課標(biāo)對(duì)于“尺規(guī)作圖”教學(xué)的要求，把握“尺規(guī)作圖”的內(nèi)容該如何融入不同的單元、章節(jié)中，便于教師進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)規(guī)劃和實(shí)施。在具體的實(shí)踐中，教師可以將“尺規(guī)作圖”學(xué)習(xí)劃分成“初識(shí)尺規(guī)，掌握基礎(chǔ)技能”“再識(shí)尺規(guī)，體會(huì)作圖價(jià)值”“應(yīng)用尺規(guī)，開展探索活動(dòng)”這三個(gè)階段，進(jìn)而構(gòu)建完備的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

（二）探尋“尺規(guī)作圖”內(nèi)容之內(nèi)在邏輯

“尺規(guī)作圖”的各項(xiàng)內(nèi)容相互關(guān)聯(lián)，并且呈現(xiàn)出層層遞進(jìn)的邏輯特征。簡(jiǎn)單的線段作圖與復(fù)雜的三角形作圖、單一技能的訓(xùn)練與綜合知識(shí)的運(yùn)用之間有著內(nèi)在的邏輯。這對(duì)學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)“尺規(guī)作圖”的內(nèi)容起著引導(dǎo)作用?！白鞯乳L(zhǎng)線段”是一節(jié)開啟“尺規(guī)作圖”學(xué)習(xí)之旅的課程。學(xué)生初步感受直尺和圓規(guī)的作用，有利于他們用直尺和圓規(guī)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和探究幾何圖形的特征。“作三角形三條邊”是一節(jié)需要應(yīng)用“作等長(zhǎng)線段”的方法的課程。掌握“作等長(zhǎng)線段”的方法是學(xué)生進(jìn)行“作三角形三條邊”的實(shí)踐的前提。“探索三角形三邊關(guān)系”則是一節(jié)知識(shí)拓展、能力提升的課程。學(xué)生不僅可以借助直尺和圓規(guī)作三角形，還可以根據(jù)作圖的過(guò)程進(jìn)行推理。這是對(duì)“尺規(guī)作圖”知識(shí)的進(jìn)一步應(yīng)用。學(xué)生按照“尺規(guī)作圖”內(nèi)容的內(nèi)在邏輯來(lái)學(xué)習(xí)，能夠?qū)崿F(xiàn)知識(shí)的有效遷移和能力的逐步提高。

二、追本溯源，探尋教學(xué)中“尺規(guī)作圖”的教育價(jià)值

“尺規(guī)作圖”教學(xué)并不僅僅是知識(shí)的傳授，更是對(duì)學(xué)生思維的啟發(fā)以及能力的培育。在教學(xué)中，教師應(yīng)充分挖掘和發(fā)揮“尺規(guī)作圖”的教育價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生更好地感受用直尺和圓規(guī)來(lái)作圖的奇妙。

（一）以“尺規(guī)作圖”為鑰匙，開啟幾何直觀之門

“尺規(guī)作圖”學(xué)習(xí)有利于學(xué)生發(fā)展幾何直觀能力［1］。學(xué)生具備幾何直觀能力，可以直觀感受作圖的有序和精準(zhǔn)，深刻領(lǐng)悟作圖的直觀和簡(jiǎn)潔。

例如，在“作三角形三條邊”內(nèi)容的教學(xué)中，教師從“畫線段”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生了解封閉圖形的構(gòu)成，圍繞“作等長(zhǎng)線段”進(jìn)行多次操作，并試著說(shuō)出這樣作圖的理由。如此，學(xué)生可以在說(shuō)理中學(xué)會(huì)如何使用直尺和圓規(guī)來(lái)測(cè)量圖形的周長(zhǎng)，理清作圖的思路，探索“作等長(zhǎng)線段”所蘊(yùn)含的原理，體會(huì)周長(zhǎng)的內(nèi)涵，認(rèn)識(shí)到三角形的周長(zhǎng)等于三角形三條邊的長(zhǎng)度之和，從而理解各種幾何圖形的特征和性質(zhì)，積累豐富的作圖經(jīng)驗(yàn)，熟練掌握作圖技能。在可視化的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生感受到了用直尺和圓規(guī)來(lái)作圖的便捷性及線段長(zhǎng)度的可加性［2］。教師通過(guò)“尺規(guī)作圖”，讓抽象的幾何知識(shí)變得具體，可以有效提升學(xué)生的幾何直觀能力。

（二）以“尺規(guī)作圖”為目的，走上推理意識(shí)之路

史寧中教授指出，數(shù)學(xué)的思維就是推理。這說(shuō)明教師在“尺規(guī)作圖”教學(xué)中，不僅應(yīng)讓學(xué)生掌握相關(guān)的方法與技巧，還應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷簡(jiǎn)單的推理過(guò)程，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)態(tài)度，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育。

例如，在“探索三角形三邊關(guān)系”的實(shí)踐活動(dòng)當(dāng)中，有的學(xué)生雖有探索的意識(shí)，但還欠缺探索的方法。對(duì)此，教師給予學(xué)生指導(dǎo)。于是，學(xué)生一邊操作，一邊留下作圖時(shí)的各種痕跡。這為發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)提供了契機(jī)。之后，學(xué)生通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，發(fā)現(xiàn)“兩點(diǎn)之間線段最短”這一事實(shí)，獲得了關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的深刻體驗(yàn)，經(jīng)歷了從舉例到證明的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，他們的數(shù)學(xué)思維等多方面的能力也得到了提升。

（三）以“尺規(guī)作圖”為引導(dǎo)，夯實(shí)數(shù)學(xué)品質(zhì)之基

教師在“尺規(guī)作圖”教學(xué)中不應(yīng)過(guò)于關(guān)注畫圖本身，而應(yīng)注重對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練和培養(yǎng)?！俺咭?guī)作圖”學(xué)習(xí)要求學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)品質(zhì)，能夠靈活、獨(dú)立地進(jìn)行操作。因此，教師在教學(xué)實(shí)踐中要在鍛煉學(xué)生的操作能力的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)。

例如，在作一般三角形時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果僅僅使用直尺來(lái)作圖，容易產(chǎn)生誤差，并且在定好三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)后無(wú)法精確地找到第三個(gè)頂點(diǎn)的位置，于是開始進(jìn)行不斷的試誤與糾錯(cuò)，判斷每一個(gè)作圖步驟是否合理，優(yōu)化作圖過(guò)程，并對(duì)作出的三角形展開進(jìn)一步思考，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到借助圓弧可以確定三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)，成功畫出特定的三角形。在上述學(xué)習(xí)實(shí)踐中，學(xué)生逐步形成了如嚴(yán)謹(jǐn)、縝密、耐心、專注、創(chuàng)新等良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。這些數(shù)學(xué)品質(zhì)的形成體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。

三、實(shí)踐探索，探究課堂上“尺規(guī)作圖”的教學(xué)路徑

在“尺規(guī)作圖”教學(xué)中，教師要讓學(xué)生逐漸由形象思維轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄笏季S，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮想象力，表達(dá)想法。對(duì)于課堂上“尺規(guī)作圖”教學(xué)的路徑，教師需要進(jìn)行全面的思考與深入的探索。

（一）點(diǎn)燃“尺規(guī)作圖”學(xué)習(xí)興趣之火

陳省身教授曾經(jīng)給廣大少年題詞—“數(shù)學(xué)好玩”。那么如何讓學(xué)生感受到“尺規(guī)作圖”學(xué)習(xí)的趣味呢？筆者認(rèn)為教師應(yīng)吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生在玩中學(xué)，在學(xué)習(xí)中專注于具體的操作過(guò)程，在作圖中嘗試進(jìn)行創(chuàng)造。

比如，在學(xué)生學(xué)習(xí)“作等長(zhǎng)線段”的內(nèi)容時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)套圈游戲的情境，以“情境中的三位同學(xué)分別站在哪里套圈才公平”這一問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生興趣，讓學(xué)生進(jìn)行自主探究。已有經(jīng)驗(yàn)不同的學(xué)生采用的作圖方法有所差異。對(duì)此，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試和創(chuàng)新，比較各種作圖方法，進(jìn)而通過(guò)思維碰撞，得出問(wèn)題的答案，即“三位同學(xué)站在以其中某位同學(xué)的位置與所套物品的位置之間的距離為半徑的圓弧上才是公平的”。這樣能夠讓學(xué)生了解用直尺和圓規(guī)作等長(zhǎng)線段的方法，感悟知識(shí)的本質(zhì)，了解畫弧的實(shí)際作用，順利解決情境問(wèn)題。在教師一步步的引導(dǎo)和啟發(fā)下，學(xué)生知道了如何保證套圈游戲的公平性，逐漸掌握作圖技巧，成功畫出等長(zhǎng)線段，切實(shí)感受到“尺規(guī)作圖”學(xué)習(xí)的趣味。

（二）加深對(duì)“尺規(guī)作圖”內(nèi)容的理解

在學(xué)生進(jìn)行“尺規(guī)作圖”學(xué)習(xí)時(shí)，教師不能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)僅僅停留在操作的層面，而要引導(dǎo)學(xué)生不斷挖掘用直尺和圓規(guī)來(lái)作圖的內(nèi)涵與價(jià)值，深刻感悟其中所蘊(yùn)含的智慧，提高學(xué)生的思維能力。

比如，在教學(xué)“作三角形三條邊”的內(nèi)容時(shí)，教師提出問(wèn)題：“從長(zhǎng)度為3 cm、4 cm、5 cm、8 cm的4條線段中任選的3條線段是否都能圍成三角形？”在這一問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生嘗試運(yùn)用直尺和圓規(guī)進(jìn)行操作和驗(yàn)證，從“不能圍成三角形”和“能圍成三角形”這2種情況著手來(lái)作圖。其中：對(duì)于第1種情況，教師引導(dǎo)學(xué)生從8 cm長(zhǎng)的線段的2個(gè)端點(diǎn)出發(fā)分別畫出4 cm長(zhǎng)的線段與3 cm長(zhǎng)的線段，并以8 cm長(zhǎng)的線段的2個(gè)端點(diǎn)為圓心，分別以5 cm與3 cm為半徑畫弧，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)4 cm長(zhǎng)的線段和3 cm長(zhǎng)的線段無(wú)法相連，半徑為5 cm的圓弧和半徑為3 cm的圓弧沒(méi)有交點(diǎn)，這說(shuō)明3 cm、4 cm、8 cm長(zhǎng)的3條線段與3 cm、5 cm、8 cm長(zhǎng)的3條線段不能圍成三角形。對(duì)于第2種情況，教師啟發(fā)學(xué)生以類似的方法作圖，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)4 cm、5 cm、8 cm長(zhǎng)的3條線段與3 cm、4 cm、5 cm長(zhǎng)的3條線段能圍成三角形。在此期間，教師適時(shí)提出“你是怎樣畫的？你為什么這樣畫？”等問(wèn)題，促使學(xué)生對(duì)自己的作圖方法背后的原理展開積極的思考，進(jìn)而為之后學(xué)習(xí)“探索三角形三邊關(guān)系” 的內(nèi)容與畫出平行四邊形、梯形等其他圖形打好基礎(chǔ)?？梢?，教師將線段與圖形相聯(lián)系，在學(xué)生作圖的過(guò)程中發(fā)揮引領(lǐng)作用，能夠使學(xué)生對(duì)“尺規(guī)作圖”內(nèi)容的理解變得更加深刻，實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，助力學(xué)生思維的逐步進(jìn)階和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

（三）進(jìn)行“尺規(guī)作圖”知識(shí)拓展應(yīng)用

開展延伸教學(xué)體現(xiàn)了對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行拓展應(yīng)用的理念。這需要教師在教學(xué)中擴(kuò)大“尺規(guī)作圖”知識(shí)的應(yīng)用范圍，讓學(xué)生在操作與辨析中拓展自身的思維，進(jìn)而做到觸類旁通。

比如，在讓學(xué)生用直尺和圓規(guī)作等腰三角形時(shí)，教師提前布置“如圖1所示，若以圖中的線段AB為一條邊，一共可畫出多少個(gè)等腰三角形？”的作業(yè)［3］。

為此，不少學(xué)生以A點(diǎn)或B點(diǎn)為圓心，以線段AB為半徑畫弧，找到了滿足題目條件的第三個(gè)點(diǎn)；個(gè)別學(xué)生則借助對(duì)稱軸畫出了以線段AB為底的等腰三角形?？梢姡胪瓿缮鲜鲎鳂I(yè)，關(guān)鍵在于利用直尺和圓規(guī)來(lái)找點(diǎn)。找點(diǎn)看似簡(jiǎn)單，實(shí)則需要對(duì)“尺規(guī)作圖”的知識(shí)進(jìn)行拓展應(yīng)用。通過(guò)這樣的方式，教師可以將“尺規(guī)作圖”學(xué)習(xí)從“作已知圖形”延伸到“根據(jù)已知條件尋找未知的點(diǎn)”，進(jìn)而為學(xué)生打造廣闊的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)空間，使相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用范圍得到拓寬。如此，學(xué)生能夠通過(guò)思考、推導(dǎo)等方式認(rèn)識(shí)作圖的靈活性和多樣性，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維和探索精神。同時(shí)，學(xué)生也能明白自己在“尺規(guī)作圖”學(xué)習(xí)中掌握的知識(shí)與方法可以在各種情境中進(jìn)行應(yīng)用，從而有效解決具體問(wèn)題。

結(jié)語(yǔ)

新課標(biāo)視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)“尺規(guī)作圖”教學(xué)具有重要意義。教師需要不斷學(xué)習(xí)新理念、新方法，體悟“尺規(guī)作圖”與幾何直觀、推理意識(shí)培育之間的緊密聯(lián)系，合理把握教學(xué)節(jié)奏與重點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)“尺規(guī)作圖”進(jìn)行更深入的探索，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力與核心素養(yǎng)的提升。

【參考文獻(xiàn)】

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［3］朱雪蓮，姚鑫雯.聚焦解決問(wèn)題 “智造”作圖方法：以“尺規(guī)作圖之畫不完的等腰三角形”教學(xué)為例［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2024（5）：53-57.