【摘要】高中數(shù)學離心率問題的構(gòu)建方式不同，涉及漸近線、特殊位置關(guān)系、焦點三角形等內(nèi)容.解題探究需要把握問題的構(gòu)建方式，結(jié)合對應(yīng)知識、數(shù)形結(jié)合構(gòu)建思路.本文結(jié)合實例探究離心率問題的三大構(gòu)建策略.

【關(guān)鍵詞】離心率；高中數(shù)學；解題技巧

離心率是研究曲線的重要參數(shù)，圓錐曲線考查中常涉及曲線的離心率，問題構(gòu)建形式多樣，常見的有與漸近線關(guān)系構(gòu)建，與特殊位置關(guān)系構(gòu)建、與焦點三角形構(gòu)建，下面結(jié)合實例具體探究.

1 離心率與漸近線的關(guān)系

命題分析 本題給定雙曲線的離心率，以及漸近線條件，要求解線段長，實則考查雙曲線的離心率與漸近線的關(guān)系.求弦長時可根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

所以答案為（D）.

小結(jié) 求解上述題目時充分把握離心率與漸近線的關(guān)系，推導出雙曲線的漸近線，再結(jié)合點到直線的距離公式、弦長公式.離心率與漸近線的關(guān)系是解題突破的重點，探究解析時可結(jié)合雙曲線的特征參數(shù)來構(gòu)建關(guān)聯(lián).

2 離心率與特殊位置關(guān)系

命題分析 本題目設(shè)定了直線與雙曲線相交關(guān)系，并構(gòu)建了切線和等線段關(guān)系，求離心率，實則考查離心率與幾何特殊位置關(guān)系.根據(jù)其中的位置與線段關(guān)系，構(gòu)建方程，再化簡即可求出離心率.

解析 根據(jù)題意繪制圖1，過點P作PE⊥x軸，

設(shè)∠PFM=θ，

則∠PME=2θ，

設(shè)P點坐標為x0，y0，P點處的切線方程為y－y0=kx－x0，

且b2=c2－a2，代入③中化簡，

得49c4－449a2c2+400a4=0，

整理可得49e4－449e2+400=0，

小結(jié) 上述求解時充分把握了直線與曲線的相切關(guān)系，結(jié)合條件構(gòu)建關(guān)于雙曲線特征參數(shù)的方程，進而求出了離心率.解題的關(guān)鍵是充分理解其中的特殊位置關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合構(gòu)建思路.

3 離心率與焦點三角形

命題分析 本題設(shè)定了焦點，構(gòu)建了向量條件，求解雙曲線的離心率，實則考查離心率與焦點三角形模型.建議求解時采用數(shù)形結(jié)合的方法，求解AF2，BF2，BF1，AF1關(guān)于a，m的表達式，后續(xù)再通過解三角形來完成求解.

解析 根據(jù)題意，可設(shè)AF2=2m，則BF2=3m=BF1，AF1=2a+2m，繪制如圖2所示的圖象.

在Rt△ABF1中，由勾股定理可得9m2+（2a+2m）2=25m2，

則（a+3m）（a－m）=0，

可解得a=m或a=－3m（舍去），

所以AF1=4a，AF2=2a，BF2=BF1=3a，

則AB=5a，

小結(jié) 上述求解時借助了焦點三角形，利用向量的幾何意義構(gòu)建三角形，結(jié)合三角形勾股定理、余弦定理來構(gòu)建特征參數(shù)之間的關(guān)系，推導出雙曲線的離心率.過焦點三角形的模型構(gòu)建是解題的關(guān)鍵.

4 結(jié)語

總之，圓錐曲線中的離心率問題構(gòu)建方式多樣，上述所呈現(xiàn)的是其中較為常見的三種.理解漸近線特點，把握特殊位置關(guān)系，構(gòu)建焦點三角形模型是解題分析的關(guān)鍵.探究學習中，可總結(jié)構(gòu)建策略，整合知識內(nèi)容，掌握數(shù)形結(jié)合方法，探究實例積累經(jīng)驗.