【摘要】對高考題進(jìn)行靜態(tài)設(shè)計，分組分任務(wù)完成，規(guī)范重點(diǎn)知識落實(shí)，把各自結(jié)果匯總，引領(lǐng)高一高二初學(xué)的學(xué)生觀察歸納猜想尋覓規(guī)律；對高考題進(jìn)行類題整合訓(xùn)練，多題歸一，動態(tài)的最值問題，靜態(tài)化思考，動靜轉(zhuǎn)換以靜制動，提升認(rèn)知境界，準(zhǔn)確把握算法、算理、算律、規(guī)律，掌握解題教學(xué)的基本策略技巧．

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；法向量；解題技巧

高考原題 如圖1，四棱錐P—ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．

（1）證明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q為棱l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

試題評述 命題意圖是考查空間向量在證明立體幾何中的平行與垂直的位置關(guān)系，以及求線線角、線面角和面面角中的應(yīng)用，屬于中檔題目．

改造試題 如圖2，三棱柱ABE-CDP的面ABCD為正方形，PD⊥面ABCD．已知PD=AD=1，Q為棱PE上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

改造意圖 集中精力解決動態(tài)的線面角問題，優(yōu)化解題教學(xué)結(jié)構(gòu)，學(xué)會以靜制動的解題策略，破解立體幾何中的最值問題這個難點(diǎn)．對高考題進(jìn)行微改造，一題多解，由薄到厚，拓展思維，使頭腦豐富而厚重；對解法進(jìn)行微創(chuàng)新，使知識橫向、縱向聯(lián)系，跨越章節(jié)時空范疇，發(fā)揮高考題目復(fù)習(xí)帶動、輻射引領(lǐng)功能的最大化．最值問題是在點(diǎn)運(yùn)動的過程中尋找出其邊界值．著眼于線面角的最大值引領(lǐng)學(xué)生展開探究，一是對目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建方式進(jìn)行微探究，構(gòu)造方式有常規(guī)作圖構(gòu)造，補(bǔ)體轉(zhuǎn)移構(gòu)造和坐標(biāo)構(gòu)造以及普通基底構(gòu)造等；二是對最值解法進(jìn)行微探究，打通知識壁壘，架起溝通橋梁，從重視應(yīng)試教育到更注重核心素養(yǎng)培育，形成融會貫通格局和濃厚研究氛圍，多多挖掘試題內(nèi)涵，對指導(dǎo)高三學(xué)生參加高考百利而無一害．

1 基于發(fā)揮試題復(fù)習(xí)功能，指導(dǎo)高三復(fù)習(xí)，一題多解，拓展思維

本文從一道高考題談起，從①數(shù)學(xué)解題是注重本源的，②數(shù)學(xué)解題是強(qiáng)調(diào)變化的，③數(shù)學(xué)解題是講究策略的這三個角

度各提供了3種共9種解法，已在《數(shù)理天地》高中版2021年第10期上發(fā)表，這里限于篇幅，就不再贅述．

二次思考 高考試題的命題意圖主要是考查學(xué)生空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的掌握情況，發(fā)揮坐標(biāo)定位在解決空間立體幾何最值問題中的優(yōu)越性．本文命制了系列靜態(tài)題組，把學(xué)生分成6個小組各自完成其中一題，然后匯總結(jié)果，再觀察結(jié)果、歸納猜想、尋找規(guī)律，以期讓學(xué)生在求解靜態(tài)的線面角時徹底掌握基本解法，同時又能發(fā)現(xiàn)何時取得最值，領(lǐng)會知識形成過程，動態(tài)的最值學(xué)會靜態(tài)化思考，實(shí)現(xiàn)以靜制動．產(chǎn)生了如下教學(xué)策略，現(xiàn)展示出來供讀者研究時參考．

2 基于引領(lǐng)突破教學(xué)難點(diǎn)，探究命題規(guī)律，多題一解，以靜制動

開課時先復(fù)習(xí)空間向量的應(yīng)用，線線角、面面角與線面角的向量表述公式形式高度統(tǒng)一．以下題目每組完成一題，預(yù)定時間10分鐘，10分鐘后分別找同學(xué)展示結(jié)果，把結(jié)果寫成一行，觀察大小變化是否有規(guī)律可尋．

變式6 如圖2，三棱柱ABE-CDP的面

3 基于借助規(guī)律鞏固成果，形成核心素養(yǎng)，類比探究，螺旋提升

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析．具體到這類試題，命題最終考查的是什么？是較高的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，也是選拔數(shù)學(xué)優(yōu)等生的必然追求．以下設(shè)計的系列跟蹤訓(xùn)練題目，多題歸一，思考其為何落點(diǎn)如此一致.理清問題實(shí)質(zhì)．

解析 作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是△BCD的中心，如圖5.

則∠PEF為所求的EP與平面BCD所成的角θ．

在△PBE中，由余弦定理得

解析 建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四面體的棱長為3，

跟蹤訓(xùn)練變式題 如圖7，在正方體ABCD-A1B1C1 D1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CC1上．若直線OP與平面A1BD所成的角為θ，求sinθ的取值范圍．

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教師以學(xué)生的解題學(xué)情為起點(diǎn)，高三學(xué)生和高一高二學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)、知識儲備、綜合素養(yǎng)等有著明顯的不同，需要教師以自身的解題經(jīng)歷、經(jīng)驗(yàn)和研究為基礎(chǔ)區(qū)別對待．通過系列化題組設(shè)計，引領(lǐng)學(xué)生探究，促進(jìn)深度思考，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)．

【山東省教育教學(xué)研究課題“大單元視域下普通高中數(shù)學(xué)任務(wù)鏈進(jìn)階驅(qū)動教學(xué)的實(shí)踐研究”2023JXY343的中期成果】

參考文獻(xiàn)：

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