【摘要】函數(shù)值域是解決與函數(shù)有關(guān)問(wèn)題中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，可單獨(dú)命題，也可輔助應(yīng)用．本文借助實(shí)例，就求解函數(shù)的值域的主要技巧與方法策略加以剖析，歸納解題方法，總結(jié)規(guī)律策略，引導(dǎo)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生的學(xué)習(xí)．

【關(guān)鍵詞】函數(shù)值域；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

函數(shù)的值域是函數(shù)在定義域內(nèi)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值中的取值范圍，其關(guān)鍵是確定相應(yīng)的最大值或最小值．因此，求解函數(shù)的值域時(shí)要把定義域內(nèi)對(duì)應(yīng)的一切極值和端點(diǎn)處函數(shù)值加以比較．在高考中以求解函數(shù)的值域?yàn)橹饕目键c(diǎn)，帶動(dòng)函數(shù)的值域、最值等相關(guān)問(wèn)題的求解．

1 觀察法

該方法適用于自變量x只出現(xiàn)一次的函數(shù)，注意結(jié)合函數(shù)的變化趨勢(shì)．

分析 對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，可通過(guò)定義域及對(duì)應(yīng)法則，用觀察的方法來(lái)直觀確定函數(shù)的最值問(wèn)題．

點(diǎn)評(píng) 算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性、值的非負(fù)性，這也是解決此類(lèi)函數(shù)值域的技巧方法．

2 配方法

該方法適用于二次型函數(shù)y=af2（x）+f（x）+c（a≠0），注意自變量x的取值范圍及二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象對(duì)函數(shù)的最值的影響，有時(shí)可直接利用

例2 求函數(shù)y=x2－4x+6，x∈1，5的值域．

分析 這是求關(guān)于二次函數(shù)在給定的定義域范圍內(nèi)的值域問(wèn)題，可用配方法結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解．

解 將函數(shù)配方得：

y=x2－4x+6=（x－2）2+2，

又由于x∈1，5，函數(shù)y的對(duì)稱軸為x=2，可畫(huà)函數(shù)的大致圖象，

如圖1所示，易知當(dāng)x=5時(shí)，y=11，

當(dāng)x=2時(shí)，y=2，

所以函數(shù)y的值域?yàn)?，11．

3 換元法

分析 此題的函數(shù)由于含有根號(hào)，不便于求最值，可采用換元法去掉根號(hào)，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)再求對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題．

4 幾何法（數(shù)形結(jié)合法、圖象法）

該方法適用于較容易與幾何圖形聯(lián)系的函數(shù)，以圖形與圖形之間的位置關(guān)系和直線的斜率為主．此題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，解題過(guò)程會(huì)一目了然，賞心悅目．

例4 求函數(shù)y=|x+1|+|x－2|的值域．

分析 要求函數(shù)y的值域，關(guān)鍵是求解其最小值，通過(guò)去掉絕對(duì)值符號(hào)，將含絕對(duì)值符號(hào)的解析式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的解析式，畫(huà)出圖象，根據(jù)圖象判斷其對(duì)應(yīng)的最值．

解 將函數(shù)的解析式中的絕對(duì)值符號(hào)去掉，化成分段函數(shù)：

該函數(shù)圖象如圖2所示，則根據(jù)圖象可知函數(shù)y的最小值為3，則其值域?yàn)?，+∞．

5 反函數(shù)法

分析 將題目用含x的關(guān)系式表示的y，轉(zhuǎn)化為用含y的關(guān)系式表示x，結(jié)合主元的變換，利用題設(shè)中x的取值限制構(gòu)建不等式，進(jìn)而通過(guò)解不等式確定函數(shù)的值域即可．

6 結(jié)語(yǔ)

函數(shù)的值域問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，應(yīng)用廣，且知識(shí)面寬，綜合性強(qiáng)，解法靈活多變．隨著后繼的不斷深入學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)接觸更多種函數(shù)值域的求解方法．在實(shí)際求解中，各種方法往往可以相互滲透，有時(shí)也可以將多種方法同時(shí)運(yùn)用．