【摘要】誘導(dǎo)公式是三角函數(shù)中的一類基本公式，對于三角關(guān)系式的化簡、求值以及證明等都有特殊的應(yīng)用．而以三角形為場景的三角函數(shù)問題，對于誘導(dǎo)公式的應(yīng)用更加靈活多變，巧妙融入三角形的內(nèi)角和公式以及相關(guān)的性質(zhì)，在多種情況下都有重要作用，可引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與應(yīng)用．

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；誘導(dǎo)公式

誘導(dǎo)公式巧妙揭示了終邊具有某些對稱關(guān)系的兩個角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，可以有效地將終邊對稱的圖形關(guān)系直觀地“翻譯”成三角函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系，對于三角函數(shù)中的化簡、求值、證明等相關(guān)問題的應(yīng)用有實(shí)效．同時，誘導(dǎo)公式也巧妙地將函數(shù)與方程、不等式、幾何問題等聯(lián)系起來，成為三角函數(shù)知識考查中的一個基本點(diǎn)．利用誘導(dǎo)公式處理與解決一些與三角形相關(guān)的問題，備受各方關(guān)注．

1 命題的判斷

在三角形中，借助三角形的基本性質(zhì)，結(jié)合誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，可以用來判斷一些涉及三角函數(shù)式的變換與應(yīng)用問題．此類場景中，往往基于三角形背景來判斷一些三角關(guān)系式是否成立．

例1 （多選題）已知A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，下列結(jié)論正確的是（ ）

分析 根據(jù)題設(shè)條件，利用三角形的內(nèi)角和定理構(gòu)建關(guān)系式A+B+C=π，代入各選項(xiàng)中，利用對應(yīng)的誘導(dǎo)公式加以分析與應(yīng)用，進(jìn)而對比各選項(xiàng)中結(jié)論的真假．

解 在△ABC中，由三角形的內(nèi)角和定理有A+B+C=π，

而cos（A+B）=cos（π－C）=－cosC，選項(xiàng)（D）錯誤；

故選擇答案：（A）（B）（C）．

點(diǎn)評 在具體判斷三角函數(shù)關(guān)系式是否成立時，基于三角形的內(nèi)角和定理，合理代換處理，充分利用誘導(dǎo)公式加以變形與轉(zhuǎn)化，有效減少角的個數(shù)，方便三角關(guān)系式的變形或化簡，為三角關(guān)系式是否成立的判斷提供條件．

2 等式的證明

在三角形中，有關(guān)三角形中相關(guān)角的三角函數(shù)式的證明與應(yīng)用問題，離不開三角形的基本性質(zhì)與誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．此類場景中，往往基于三角形背景證明一些內(nèi)角之間的代數(shù)關(guān)系或內(nèi)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系式成立等．

例2 已知A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，且滿足sinC=sinB（1+2cosA），試證明：A=2B．

分析 根據(jù)題設(shè)條件，利用三角形的內(nèi)角和定理，并結(jié)合誘導(dǎo)公式的應(yīng)用對題設(shè)三角關(guān)系式進(jìn)行變形，結(jié)合三角恒等變換公式的應(yīng)用，得到sinB=sin（A－B），進(jìn)而分兩種情況加以分類討論．

證明 由三角形的內(nèi)角和定理有A+B+C=π，

則有sinC=sinπ－（A+B）=sin（A+B），

依題可得sinC=sinB（1+2cosA）=sin（A+B），

所以sinB+2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB，

整理有sinB=sinAcosB－cosAsinB，

可得sinB=sin（A－B），

則有B=A－B或B+（A－B）=π，

可得A=2B或A=π（舍去），

所以A=2B成立．

3 參數(shù)的求值

在三角形中，涉及與之相關(guān)的含參函數(shù)與方程、不等式等問題，經(jīng)常借助三角形的基本性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式等的綜合應(yīng)用來分析求解．此類場景中，往往基于三角形背景設(shè)置方程的根與應(yīng)用等．

分析 根據(jù)題設(shè)條件，利用直角三角形的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)建兩銳角的關(guān)系式，并結(jié)合誘導(dǎo)公式建立三角關(guān)系式，同時利用方程的根的條件以及韋達(dá)定理構(gòu)建關(guān)系式，利用平方和的關(guān)系轉(zhuǎn)化為涉及含參數(shù)的二次方程，利用方程的求解以及分類討論驗(yàn)證確定參數(shù)的值．

則有sin2A+sin2B=sin2A+cos2A=1，

所以（sinA+sinB）2=sin2A+sin2B+2sinAsinB=1+5k－3=3k2，

整理有3k2－5k+2=0，

點(diǎn)評 在解決涉及三角形中的函數(shù)與方程問題時，要綜合考慮三角形的基本性質(zhì)，以及函數(shù)與方程的基本知識．如該問題中二次方程有根的判別式條件，以及對應(yīng)的三角函數(shù)值的取值在范圍0，1內(nèi)，等等，都是題目的隱含條件，在實(shí)際解題過程中要加以充分考慮與分析應(yīng)用．

4 結(jié)語

利用誘導(dǎo)公式解決三角形場景下的綜合問題，關(guān)鍵是合理把握三角形的基本性質(zhì)，正確應(yīng)用誘導(dǎo)公式的相應(yīng)規(guī)律，同時要注意三角形中各內(nèi)角均為（0，π）上的角，以及三角形的三個內(nèi)角和為π這些條件的限制，將其綜合起來加以分析與研究．