【摘要】體積問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的典型題目，問(wèn)題構(gòu)建形式多樣，考查側(cè)重點(diǎn)存在差異.具體求解時(shí)應(yīng)先明晰問(wèn)題、條件，把握幾何體特征，再結(jié)合相關(guān)知識(shí)確定解法.本文結(jié)合2023年高考真題開(kāi)展幾何體積問(wèn)題探究.

【關(guān)鍵詞】空間幾何；體積；解題技巧

高考注重對(duì)空間幾何體積的考查，問(wèn)題類(lèi)型較為多樣，實(shí)際考查的重點(diǎn)也有一定的差異，涉及到兩方面：一是思維能力的考查，如學(xué)生空間幾何觀；二是知識(shí)方法考查，如常規(guī)體積公式，體積模型構(gòu)建等.下面結(jié)合2023年高考真題開(kāi)展體積問(wèn)題考查探究.

考查形式1 分割構(gòu)建求體積

分析 本題目求解三棱錐的體積，分析證明幾何體的高是關(guān)鍵，后續(xù)求解三棱錐的體積可以采用分割體積法.

解 取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，如圖1所示.

因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

PA=PB=2，

所以△PAB是等邊三角形，

所以PE⊥AB，CE⊥AB，

PE∩CE=E，

所以AB⊥平面PEC.

綜上可知，答案為（A）.

小結(jié) 上述求解三棱錐的體積時(shí)采用了分割體積的方法，即構(gòu)建V=VB－PEC+VA－PEC的體積模型.后續(xù)再通過(guò)空間位置關(guān)系分析確定幾何體的底和高.使用分割體積法求解體積問(wèn)題時(shí)，需要注意兩點(diǎn)：一是盡量分割為規(guī)則的幾何體，充分利用線(xiàn)面垂直、面面垂直關(guān)系；二是準(zhǔn)確分割，確保不重疊、不疏漏.

考查形式2 比值轉(zhuǎn)化求體積比

分析 本題目求解三棱錐P－AMN和三棱錐P－ABC的體積之比，屬于體積比值問(wèn)題，基本思路是構(gòu)建體積模型，再通過(guò)比值轉(zhuǎn)化來(lái)求解幾何體積的比.構(gòu)建體積模型時(shí)需要注意對(duì)空間位置關(guān)系進(jìn)行分析，確定三棱錐的底和高.

解 如圖2所示，分別過(guò)點(diǎn)M，C作MM′⊥PA，CC′⊥PA，設(shè)垂足分別為M′，C′.

過(guò)點(diǎn)B作BB′⊥平面PAC，垂足為B′，連接PB′，

過(guò)點(diǎn)N作NN′⊥PB′，垂足為N′.

因?yàn)锽B′⊥平面PAC，

綜上可知，答案為（B）.

小結(jié) 上述求解兩個(gè)三棱錐的體積之比，屬于體積比值問(wèn)題，具體求解時(shí)分為兩個(gè)階段：階段1，分別構(gòu)建三棱錐的體積模型，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段比值問(wèn)題；階段2，結(jié)合空間幾何中的位置關(guān)系，提取兩線(xiàn)平行，求解線(xiàn)段比值.

考查形式3 巧用公式求棱臺(tái)

例3 （2023年新高考I卷理數(shù)第14題）正四棱

分析 求棱臺(tái)的體積，可直接調(diào)用體積公式.求解時(shí)可結(jié)合圖象，依次求得A1O1，AO，A1M，再代入體積公式即可.

解 如圖3所示，過(guò)A1作A1M⊥AC，垂足為M，

易知A1M為四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的高.

結(jié)語(yǔ)

總之，空間幾何體積題型多樣，往往融合了空間關(guān)系，考查體積公式及模型構(gòu)建.上述是其中常見(jiàn)的三種形式，涉及了體積分割法、體積比值的常見(jiàn)轉(zhuǎn)化思路，以及特殊棱臺(tái)的體積公式.探究學(xué)習(xí)中需注重總結(jié)公式定理，深刻理解空間關(guān)系的分析方法，靈活運(yùn)用體積模型構(gòu)建的技巧.