【摘要】《幾何畫板》軟件能實(shí)現(xiàn)解析幾何的直觀.在解析幾何教學(xué)中，應(yīng)用《幾何畫板》軟件，創(chuàng)造一個(gè)實(shí)際操作幾何圖形的試驗(yàn)環(huán)境，施以建構(gòu)主義思想為依托的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，對學(xué)生準(zhǔn)確、正確理解解析幾何概念、定義方面是極其有意義的.首先，創(chuàng)設(shè)新穎的構(gòu)圖情境，可以向?qū)W生展示圓錐曲線定義構(gòu)圖過程，展現(xiàn)內(nèi)部，揭示本質(zhì).其次，創(chuàng)設(shè)新穎的構(gòu)圖情境，可加深學(xué)生對圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的準(zhǔn)確理解，使他們感受圓錐曲線的動(dòng)態(tài)性與形象性，理解現(xiàn)實(shí)生活中的科學(xué)規(guī)律.再者，以《幾何畫板》軟件的構(gòu)圖方法為指導(dǎo)思想，可強(qiáng)化學(xué)生作圓錐曲線圖的準(zhǔn)確性，使其畫出的書面圖形與數(shù)學(xué)表達(dá)式更加匹配，這樣做不但可以加強(qiáng)學(xué)生對基本概念的準(zhǔn)確理解，還可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力，以此提升高中解析幾何教學(xué)效能.

【關(guān)鍵詞】幾何畫板；動(dòng)態(tài)直觀；情境教學(xué)

1 創(chuàng)設(shè)《幾何畫板》構(gòu)圖情境，揭示圓錐曲線定義的本質(zhì)

“情境”而非“情景”，利用《幾何畫板》強(qiáng)大的運(yùn)算功能創(chuàng)新構(gòu)圖，探究、揭示動(dòng)態(tài)圖形的本質(zhì)，促使學(xué)生形成批判性思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在直觀形象中揭示問題的本質(zhì)規(guī)律，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及空間想象能力.

例如 根據(jù)橢圓的定義，利用《幾何畫板》構(gòu)造橢圓如下：

（1）建立以0為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系.在x軸上任意選取一點(diǎn)F′，并作出其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F″.在x軸上再任意選取一點(diǎn)A′，并作出其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A″，使A′A″>F′F″.令A(yù)′A″=2a， F′F″=2c.

（2）以F″為圓心，A′A″為半徑作圓.在圓上任意選取一點(diǎn)D.作直線DF″.線段DF′的中垂線l與直線DF″相交于點(diǎn)G.連接GF′得到圖1.

（3）用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)G，觀察點(diǎn)G的變化情況，在動(dòng)態(tài)中恒有GF′+GF″=2a.同時(shí)選取D，G兩點(diǎn)，構(gòu)造點(diǎn)G的軌跡.與教材內(nèi)容相對應(yīng)，取一條定長為|A′A″|的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F′和F″兩點(diǎn)，要求細(xì)繩長大于F′和F″間的距離.

另外，向右拖動(dòng)橢圓的右焦點(diǎn)F″，使點(diǎn)F″在點(diǎn)A″的右側(cè)，這時(shí)A′A″<F′F″，觀察到動(dòng)態(tài)的橢圓變換為動(dòng)態(tài)的雙曲線.

還有，線段DF′的中垂線l與直線DF″相交于點(diǎn)G，而中垂線l即為橢圓（雙曲線）的以點(diǎn)G為切點(diǎn)的切線.

2 揭示圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，理解現(xiàn)實(shí)生活中的科學(xué)規(guī)律

數(shù)學(xué)《選修2-1》第二章“圓錐曲線與方程”中的閱讀與思考一“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)與應(yīng)用”[1]指出：當(dāng)一束光束照到鏡面時(shí)，光線會(huì)依一定的規(guī)律反射，即入射角等于反射角.教科書上的“鏡面”其實(shí)就是拋物面，是由一個(gè)拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)得到的曲面.本質(zhì)上，光線從拋物線的焦點(diǎn)（聚集點(diǎn)）出發(fā)，經(jīng)過拋物線的切線的切點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸散出.

在教學(xué)中，參考數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“計(jì)算機(jī)探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)”[2]的操作方法，本文運(yùn)用《幾何畫板》軟件展示構(gòu)圖過程如下：

（1）建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系.在x軸正半軸上任意選取一點(diǎn)F，并作出其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F′.過點(diǎn)F′作x軸的垂線l′.

（2）在直線l′任意選取一點(diǎn)D.過點(diǎn)D作直線l″⊥l′.構(gòu)造線段DF，作線段DF的中垂線l，設(shè)直線l與直線l″相交于點(diǎn)G.直線l就是以G為切點(diǎn)的切線，如圖2.

顯然，光線從拋物線的焦點(diǎn)F出發(fā)，經(jīng)過拋物線切點(diǎn)G反射，相當(dāng)于光線照到切線上的點(diǎn)G后反射平行于拋物線的軸散出.用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)F，拋物線的開口變大或變小，但焦點(diǎn)光線照到切線上反射后平行于拋物線的軸散出的性質(zhì)不改變.

在《幾何畫板》軟件指導(dǎo)下書面作圖，即畫出草圖.草圖并不是潦草的圖，而是根據(jù)問題的條件及定義、概念作出的“準(zhǔn)確”的圖.一個(gè)“準(zhǔn)確”的草圖，與《幾何畫板》軟件構(gòu)圖一樣，直觀、形象，不但揭示了解析幾何問題的規(guī)律和本質(zhì)，甚至可以檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果.

3 規(guī)范圓錐曲線作圖，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力

此題用坐標(biāo)法，運(yùn)算量大，會(huì)消耗太多的時(shí)間.也許命制此題的教師是用該題來考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、計(jì)算能力，即書面作圖的能力，檢驗(yàn)學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況與靈活運(yùn)用能力.

以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半焦距c為半徑畫圓，與雙曲線的第一象限部分的交點(diǎn)為點(diǎn)P，交x軸負(fù)半軸為左焦點(diǎn)F1.連接PF1，與雙曲線的左支的交點(diǎn)為點(diǎn)Q.測量PQ和QF1.檢驗(yàn)結(jié)論.由于滿足PQ=2QF1，答案為（A）.

草圖是根據(jù)條件和概念構(gòu)作的“準(zhǔn)確”圖形.為了能畫出“準(zhǔn)確”的草圖，就必須以《幾何畫板》軟件構(gòu)圖作為指導(dǎo)，由于《幾何畫板》軟件制作的動(dòng)態(tài)圖形與數(shù)學(xué)表達(dá)具有精確性的關(guān)系，因此強(qiáng)化書面作圖訓(xùn)練不但可以加強(qiáng)學(xué)生對基本概念的準(zhǔn)確理解，還可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力.

4 結(jié)語

《幾何畫板》軟件能動(dòng)態(tài)表達(dá)幾何圖形及其變化細(xì)節(jié)，是一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，可以創(chuàng)造課堂上即時(shí)構(gòu)造幾何圖形的環(huán)境.在解析幾何教學(xué)中，創(chuàng)新《幾何畫板》連續(xù)變化的動(dòng)態(tài)性，可以向同學(xué)們展示構(gòu)圖過程，展現(xiàn)內(nèi)部，揭露本質(zhì)，可提升高中解析幾何等幾何教學(xué)效能.

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2—1（人教版）[M].北京：人民教育出版社，2007：75-76.

[2]普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊（湘教版）[M].湖南：湖南教育出版社，2019：166-167.