【摘要】抓住一些數(shù)學客觀題中的結(jié)論特征，合理奇思妙想，結(jié)合動點運動規(guī)律、圖形變化趨勢以及變量取值限制等場景，從不同思維視角進行極限思想應用，可以更加簡單快捷地處理與解決問題，提高解題效率，提升解題能力，引領(lǐng)并指導數(shù)學教學與解題研究．

【關(guān)鍵詞】極限思想；高中數(shù)學；解題技巧

利用思維的創(chuàng)新性與創(chuàng)造性，奇思妙想，是破解數(shù)學問題的一種創(chuàng)新思維．而極限思想是創(chuàng)新思維中的一個重要數(shù)學思想，在解決一些客觀題中，巧妙靈活借助極限思想，可以實現(xiàn)抽象到具體、有限到無限、近似到精確、量變到質(zhì)變等方面的跨越，合理回避多變、復雜的數(shù)學運算與抽象、繁雜的邏輯推理等，獨辟蹊徑，降低試題難度，優(yōu)化解題過程，起到事半功倍的效果．

1 動點運動規(guī)律

在解決平面幾何、平面向量、解三角形、平面解析幾何與立體幾何等相關(guān)問題中，經(jīng)常涉及一些動點的運動規(guī)律與變化問題，結(jié)合數(shù)學客觀題中答案為定值的場景，有時可以借助動點運動規(guī)律，結(jié)合極限思想來巧妙應用，處理起來讓人眼前一亮．

解析 方法1（常規(guī)解法） 如圖2所示，以點B為坐標原點，BC，BA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設(shè)C（a，0），

由∠DCA=2∠BAC，易知直線CD與直線CA關(guān)于直線x=a對稱，

設(shè)直線CD的方程為y=k（x－a）（k>0），

則直線CA的方程為y=－k（x－a），

令x=0，可得A（0，ka），

設(shè)Dm，k（m－a），

則有m，k（m－a）=x（0，ka）+y（a，0）=（ay，kax），

可得m=ay且k（m－a）=kax，

故填答案：－1．

方法2（極限思想法） 在平面四邊形ABCD中，

∠ABC=90°，∠DCA=2∠BAC，

結(jié)合極限思想，讓點D無限接近于點C，

此時x→0，y→1，

結(jié)合所求結(jié)論中的代數(shù)式x－y為定值，

所以x－y=－1.

故填答案：－1．

點評 利用平面向量所對應的幾何圖形中動點的運動規(guī)律，以及所求結(jié)論中的代數(shù)式為定值，經(jīng)常采用平面向量的基底法、幾何法以及坐標法等常規(guī)方法來處理，推理過程比較復雜，數(shù)學運算量也較大；而結(jié)合題目特點，利用極限思想，讓點“動”起來，結(jié)合動點的變化與運動規(guī)律，利用點的極限位置分析直觀圖形，更加簡捷有效．

2 圖形變化趨勢

在解決函數(shù)圖象、平面幾何、平面解析幾何與立體幾何等相關(guān)問題中，經(jīng)常涉及一些圖形變化趨勢與應用問題，結(jié)合數(shù)學客觀題中答案為定值的場景，經(jīng)?？梢酝ㄟ^圖形變化趨勢，結(jié)合極限思想來巧妙應用，尋找極限狀態(tài)下圖形的特征，有時對問題的破解有奇效．

例2 若正四棱錐相鄰側(cè)面所成的二面角的平面角為α，側(cè)面與底面所成的二面角的平面角為β，則2cosα+cos2β的值是（ ）

解析 方法1（常規(guī)解法） 如圖3所示，設(shè)正四棱錐S—ABCD的底面邊長為a，側(cè)棱長為b，過點S作SE⊥AB于點E，SO⊥底面ABCD于點O，連接EO，則∠SEO即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，即為角β，

過點B作BH⊥SA于點H，連接DH，BD，

由△SAB≌△SAD，所以DH⊥SA，

則∠BHD即為兩個側(cè)面所成的二面角的平面角，即為角α，

故選擇答案：（C）．

方法2（極限思想法） 由于正四棱錐的圖形是運動變化的，

故選擇答案：（C）．

點評 利用空間幾何體的運動變化趨勢以及所求結(jié)論中三角函數(shù)值為定值這一條件，結(jié)合極限思想，通過圖形的運動極限——高無限增大，從而改變常規(guī)解法中“畫圖難，邊不定，解難算，費時間”等局面，創(chuàng)新條件，開拓思維，開創(chuàng)“圖不畫，邊不求，角不算，贏時間”新局面．

3 結(jié)語

極限思想是探索解題新思路，探究解題新模式的一種奇思妙想，給人一種“撥開云霧見晴天”的獨特視角．對于解決一些數(shù)學客觀題中，巧妙融入極限思想，以“動態(tài)”制約“靜態(tài)”，以“變量”約束“常量”，避免復雜運算，回避繁雜推理，化繁為易，實現(xiàn)巧妙、快捷、正確解答問題，全面拓展數(shù)學思維，提升數(shù)學能力，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)．