許雅婷 李雨佩

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》教學建議指出，要從數(shù)學意義、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，強化學生對數(shù)學知識本質(zhì)的理解。教師幫助學生厘清知識背后的道理，既是體現(xiàn)數(shù)學知識本質(zhì)的教學需要，也是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的育人要求。組稿聚焦分數(shù)除法，探討如何在計算教學中引導學生深入理解算理、掌握算法，并逐步趨向知識本質(zhì)，領(lǐng)悟整數(shù)除法、小數(shù)除法和分數(shù)除法的一致性。

在以往的教學中，教師習慣用直觀圖幫助學生理解分數(shù)除法的算理，進而建立分數(shù)除法與分數(shù)乘法的聯(lián)系。筆者認為，《分數(shù)除以整數(shù)》作為單元起始課和小學階段四則運算板塊的終止內(nèi)容，不能僅僅以教會分數(shù)除法的算理算法為目標，還應(yīng)引導學生整體建構(gòu)知識，溝通整數(shù)除法、小數(shù)除法、分數(shù)除法的算理，感悟除法運算的一致性，理解數(shù)的運算本質(zhì)是統(tǒng)一計數(shù)單位后計數(shù)單位個數(shù)的運算。下面筆者通過對這節(jié)課兩次教學情況的對比，闡釋教學改進的原因及策略。

一、改進復(fù)習導入方式，讓已有經(jīng)驗相互關(guān)聯(lián)

第一次教學時，教師提問：“我們之前學習過哪些除法運算？”學生舉例后，教師追問：“這些除法算式可以分成幾類？”學生根據(jù)不同的標準進行分類。這種復(fù)習導入方式看似引導學生回憶了整數(shù)除法和小數(shù)除法，但學生的理解只停留在幾種除法“型”上的區(qū)別，并未觸及本質(zhì)，不利于學生后續(xù)理解整數(shù)除法、小數(shù)除法、分數(shù)除法運算的一致性?；诖?，在集體教研之后，教師做了如下改進。

第二次教學伊始，教師出示問題：①40張紙平均分成2份，每份有多少張？怎樣列式？為什么用除法？②0.4張紙平均分成2份，每份有多少張？怎樣列式？學生列出除法算式后，發(fā)現(xiàn)：雖然兩道題中“4”的意義不同，但兩個算式都將計數(shù)單位的個數(shù)平均分。學生據(jù)此推斷：只要把一個物體平均分成幾份，求其中的一份，就可以用除法解決。教師點撥：分數(shù)除以整數(shù)與已經(jīng)學習的整數(shù)除以整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)的意義相同。

改進后的教學，教師借助問題情境引導學生復(fù)習整數(shù)除法、小數(shù)除法的算理，而后引出分數(shù)除法，喚醒學生探究分數(shù)除法算理的知識儲備，為后面溝通整數(shù)除法、小數(shù)除法和分數(shù)除法算理的聯(lián)系做了鋪墊。

二、改進算法優(yōu)化方式，讓探究過程更加豐滿

第一次教學時，教師呈現(xiàn)問題：“把一張紙的[45]平均分成2份。每份是這張紙的幾分之幾？先列式計算，再說一說這樣算的道理?！庇械膶W生用“[45]÷2=0.8÷2=0.4=[25]”進行計算，教師點撥“將分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)是探究新知的一個好方法”。有的學生用“[45]÷2=[4÷25]=[25]”進行計算，教師點撥“這是將計數(shù)單位的個數(shù)（4個[15]）平均分成兩份”。還有的學生用“[45]÷2=[45]×[12]=[25]”進行計算，并說明把[45]平均分成2份，求每份是多少，就是求[45]的[12]是多少，所以[45]÷2=[45]×[12]，計算結(jié)果為[25]。教師點撥：“看來分數(shù)除以整數(shù)和我們前面學習的分數(shù)乘法之間是有聯(lián)系的。”基于以上分析，教師直接給出優(yōu)化算法——分數(shù)除以整數(shù)就是用分數(shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)。

集體教研時，組內(nèi)教師提出：過早優(yōu)化算法，學生對除法運算的理解不夠，導致知其然而不知其所以然，不利于達到“感悟四則運算算理的一致性”目標，不利于學生形成完整的知識體系，養(yǎng)成善于探索、追求本質(zhì)的學習觀，反而讓學生不自覺地將分數(shù)除法與整數(shù)除法、小數(shù)除法的算理割裂開來，在后面的探究過程中毫不猶豫地選擇“乘倒數(shù)”這種最簡便的計算方法，而不愿意探索細化分數(shù)單位的算理。因此，將分數(shù)單位細化之后再進行平均分這一看似不簡便的方法，才是溝通整數(shù)除法、小數(shù)除法、分數(shù)除法的橋梁。

第二次教學時，為更好引導學生理解除法運算的一致性，教師沒有急于給出優(yōu)化的算法，而是給出新問題，繼續(xù)引導學生思考：“把一張紙的[45]平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？怎樣列式？”有的學生用“[45]÷3=[1215]÷3=[12÷315]=[415]”進行計算，并說明“把5份中的每1份繼續(xù)平均分成3份，相當于把這張紙平均分成了15份，而這樣的4份就是每人分到的紙張”。教師追問：“為什么要把5份中的每1份繼續(xù)平均分成3份呢？”學生回答：“因為4÷3得不到整數(shù)結(jié)果，而把每1份再平均分成3份，就把這張紙平均分成了15份，然后運用分數(shù)的基本性質(zhì)把[45]變成[1215]，用12÷3就能得到整數(shù)結(jié)果?！苯處燑c撥：“這里用到了分數(shù)的基本性質(zhì)，在分數(shù)大小不變的情況下將計數(shù)單位變小了，這樣分數(shù)單位的個數(shù)就會變多，之后再平均分分數(shù)單位的個數(shù)，就能比較容易地運用整數(shù)除法得到結(jié)果?！痹诮處煹狞c撥下，學生結(jié)合教材格子圖進一步發(fā)現(xiàn)：[把45]平均分成3份，求每份是多少，就是求[45]的[13]是多少，所以[45]÷3=[45]×[13]。由此，學生通過自主探究獲得了優(yōu)化算法，更加深入地理解了教材內(nèi)容。

三、增設(shè)算法比較環(huán)節(jié)，讓算理凸顯本質(zhì)聯(lián)系

在整數(shù)除以整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)的運算中，除到不能除時，我們都是將計數(shù)單位變小繼續(xù)除。教學分數(shù)除以整數(shù)時，教師能否沿用這一方法，引導學生感悟“三類”除法運算的一致性呢？為此，教師基于集體教研的結(jié)果在教學中添加了算法對比環(huán)節(jié)。

教師出示如下兩幅圖及計算過程，引導學生先獨立思考，再小組討論計算過程的不同點和相同點。

首先，學生通過對比觀察得出：左邊的除法能用被除數(shù)的分子直接平均分，右邊的除法不能用被除數(shù)的分子直接平均分。接著，教師讓學生探討遇到不能直接平均分的情況應(yīng)該怎樣解決。學生討論后得出：可以將計數(shù)單位變小后再分。這一教學環(huán)節(jié)旨在對比、溝通兩種不同算法，引導學生感悟“在分子不能直接整除時，需要根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)將分子變成可以整除的情況，這樣做，分數(shù)單位變小了，分數(shù)單位的個數(shù)變多了，計算就變得方便了”。兩種情況的對比揭示了分數(shù)除以整數(shù)的本質(zhì)——將分數(shù)單位不斷細分。然后，教師順勢引導：“我們以前用過這種方法嗎？”學生回憶后發(fā)現(xiàn)，在三年級“除數(shù)是一位數(shù)的除法”、五年級“小數(shù)除以整數(shù)”的學習過程中，我們都是用細分計數(shù)單位的方法進行計算的。最后，教師肯定了學生的回答，并出示三年級、五年級學習的整數(shù)除法和小數(shù)除法的教材內(nèi)容，引導學生進一步歸納、概括，認識到“三種”除法的算理都指向計數(shù)單位個數(shù)的細分。

此外，學生在課上提出的猜想“分數(shù)乘整數(shù)是用分子乘整數(shù)作為分子，分數(shù)除以整數(shù)能否用分子除以整數(shù)作為分子呢？”本不在教師的預(yù)設(shè)中，但這恰恰證明學生對除法運算的一致性具備感性經(jīng)驗，只是找不到數(shù)學道理將這一猜想合理化。其實，除法運算的一致性就體現(xiàn)的計數(shù)單位的不斷細分：在整數(shù)除法中，細分的標志是將下一個數(shù)位上的數(shù)“落”下來；在小數(shù)除法中，細分體現(xiàn)于“添0”的過程；在分數(shù)除法中則是分數(shù)單位不斷變小。整數(shù)、小數(shù)的計數(shù)單位細分有明顯標志，而分數(shù)除法與之不同，其分數(shù)單位細分的過程體現(xiàn)在將除數(shù)變成倒數(shù)后分母乘分母的過程中。明確了這些，學生就能避免僅僅熟記“乘倒數(shù)”的計算方法，卻不明白背后道理的問題。

（作者單位：武漢經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)三角湖小學）