劉溈

“差倍問題”的教學重點是引導學生利用線段圖等理解問題中的數(shù)量關(guān)系，提高分析與解決問題的能力。教師如何引導學生在觀察、分析、推理的過程中找出單位“1”的量，并畫出相應(yīng)的線段圖？如何引導學生運用線段圖等方法找出倍數(shù)差所對應(yīng)的具體量，準確分析各個量之間的關(guān)系？如何引導學生通過假設(shè)、比較、轉(zhuǎn)化等方法分析并解答較復雜的“差倍問題”，構(gòu)建解題模型？本期，我們討論如何更好地教學“差倍問題”。

為應(yīng)對形式千變?nèi)f化的“差倍問題”，師生常常陷入題海戰(zhàn)術(shù)的泥潭。結(jié)構(gòu)化教學強調(diào)將知識、技能和思想方法整合在一個框架內(nèi)，幫助學生理解知識之間的聯(lián)系，形成系統(tǒng)的認知結(jié)構(gòu)，并將其遷移到新的問題情境中。教師如何通過素養(yǎng)導向的結(jié)構(gòu)化教學引導學生走出題海，抓住差倍問題的內(nèi)核，領(lǐng)略數(shù)學思維的魅力呢？

一、把握問題本質(zhì)，奠定結(jié)構(gòu)化根基

差倍問題作為小學數(shù)學問題中的典型題型，其知識結(jié)構(gòu)和解題方法具有較強的遷移性。因此，把握差倍問題的本質(zhì)，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識框架，是學生擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，提升數(shù)學思維能力的關(guān)鍵。

差倍問題的核心在于“差”和“倍”這兩個概念。教學中，教師應(yīng)引導學生理解“差”指兩個數(shù)量之間的差距，“倍”表示兩個數(shù)量之間的比率關(guān)系。例如，面對“小明比小紅多5支鉛筆，小明的鉛筆數(shù)量是小紅的3倍”這類問題，學生需要清晰地認識到“5支”代表的是數(shù)量之差，“3倍”代表的是數(shù)量之比。

為了幫助學生直觀地理解“差”與“倍”的關(guān)系，教師可以引入線段圖、方格圖等模型圖示。如上述例題可以這樣畫線段表示：小紅的鉛筆數(shù)量用一條線段表示，小明的鉛筆數(shù)量用三條相同長度的線段表示，多出來的兩條線段就代表“差”的量，即5支鉛筆。通過圖示，學生可以清晰地看到小明的鉛筆數(shù)量是3份，小紅的鉛筆數(shù)量是1份，多出來的部分正好是兩者之間的“差”，即5支鉛筆。這樣的模型圖示不僅能幫助學生理解題意，還能將抽象的數(shù)量關(guān)系具象化，為學生構(gòu)建數(shù)學思維模型提供支架。

在圖示的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)引導學生提煉差倍問題的數(shù)量關(guān)系式，如“大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)”“大數(shù)-小數(shù)=差”“（大數(shù)-差）÷小數(shù)=倍數(shù)”等。通過將文字描述轉(zhuǎn)化為簡潔的數(shù)量關(guān)系式，學生能更清晰地把握問題的本質(zhì)，構(gòu)建該問題的數(shù)學語言，為后續(xù)解題奠定基礎(chǔ)。例如，教學“已知兩個數(shù)的和與差，求這兩個數(shù)”這類問題時，教師可以引導學生通過畫線段圖，理解兩個數(shù)的和相當于兩條線段的總長度，而它們的差相當于兩條線段相差的長度，在此基礎(chǔ)上，通過直觀觀察推導出“較大的數(shù)=（和+差）÷2”“較小的數(shù)=（和-差）÷2”。

二、剖析認知規(guī)律，搭建結(jié)構(gòu)化框架

小學生的認知發(fā)展處于具體運算階段，他們的思維以形象思維為主，抽象思維能力不強。因此，在差倍問題的結(jié)構(gòu)化教學中，教師需要關(guān)注學生的認知特點，搭建符合其認知水平的結(jié)構(gòu)化學習框架。具體來說，教師可以從以下兩方面著手：一方面，將抽象的數(shù)學概念與學生的生活經(jīng)驗相結(jié)合，借助直觀教具和生活實例幫助學生理解“差”和“倍”的概念；另一方面，遵循循序漸進的原則，將差倍問題分解成一系列難度遞增的子問題，引導學生逐步構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)。

以“倍”概念的教學為例，教師可以借助學生熟悉的物品進行演示，例如將相同數(shù)量的蘋果分別放在兩個盤子里，其中一個盤子里的蘋果數(shù)量是另一個的兩倍。通過直觀演示，學生可以輕松地理解“倍”概念。此外，教師可以引導學生在日常生活中尋找倍數(shù)關(guān)系的例子，如自己的年齡是弟弟的兩倍等，讓學生通過抽象概念與生活經(jīng)驗的結(jié)合更好地理解和記憶數(shù)學知識。

在結(jié)構(gòu)化教學中，教師應(yīng)按照知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯和學生的認知規(guī)律分解、細化知識點，構(gòu)建層層遞進的學習內(nèi)容，讓學生拾級而上。例如，教師可以從簡單的問題“已知小的數(shù)和倍數(shù)，求大的數(shù)”入手，待學生熟練掌握其解法后，逐步展開“已知大的數(shù)和倍數(shù)，求小的數(shù)”“已知大的數(shù)和差，求小的數(shù)”等難度較高問題的教學，幫助學生逐步形成結(jié)構(gòu)化認知，實現(xiàn)學習進階。

在學生掌握了基本的解題思路后，教師應(yīng)逐步加大題目的復雜程度，或是將“差倍問題”與其他類型的問題結(jié)合，或是在實際情境中設(shè)置問題，引導學生綜合運用所學知識解決問題。例如，教師可以聯(lián)系“雞兔同籠”問題，設(shè)計“已知雞和兔的總數(shù)量以及雞比兔多（或少）多少只，求雞和兔各有多少只”的題目，也可以聯(lián)系購物等生活情境設(shè)置問題，引導學生利用“差倍問題”的解題思路計算商品的價格、數(shù)量等，讓學生感受到數(shù)學知識在生活中的應(yīng)用價值。

三、聚焦變式訓練，強化結(jié)構(gòu)化應(yīng)用

結(jié)構(gòu)化教學要關(guān)注知識的傳授，更要注重培養(yǎng)學生應(yīng)用知識解決問題的能力。為了幫助學生將差倍問題的結(jié)構(gòu)化知識應(yīng)用于實際問題解決，教師需要設(shè)計有效的變式訓練，引導學生在不同的問題情境中靈活運用所學知識。變式訓練的目的是通過改變問題的非本質(zhì)特征，引導學生發(fā)現(xiàn)問題的共性規(guī)律，進而把握問題的本質(zhì)，達到舉一反三、觸類旁通的學習效果。

變式訓練的關(guān)鍵在于“變”，即在保持問題本質(zhì)不變的情況下，通過改變條件引導學生從不同的角度思考問題，從而加深學生對知識的理解，提高學生靈活解決問題的能力。教師可以在原有題目的基礎(chǔ)上改變其中一個或多個條件，引導學生分析條件變化對解題思路的影響。例如，教師可以將“小明比小紅多5支鉛筆，小明的鉛筆數(shù)量是小紅的3倍”這道題的條件改為“小明比小紅少5支鉛筆，小紅的鉛筆數(shù)量是小明的3倍”，引導學生思考如下問題：①原來是“多”，現(xiàn)在是“少”，數(shù)量關(guān)系發(fā)生了怎樣的變化？②“差”還是原來的“差”嗎？如何用線段圖表示新的數(shù)量關(guān)系？③解題的思路和方法需要怎樣調(diào)整？這種變式訓練能幫助學生跳出機械套用公式的思維定式，真正理解“差倍問題”的本質(zhì)即兩個數(shù)量之間既存在倍數(shù)關(guān)系又存在差的關(guān)系。

教師也可以變換問題情境，將差倍問題融入實際生活情境中，引導學生靈活運用所學知識解決實際問題。例如，對“小明比小紅多5支鉛筆，小明的鉛筆數(shù)量是小紅的3倍，小明有多少支鉛筆？”的問題，教師可以進行情景變式：“商店正在進行促銷活動，一支鋼筆的價格是一支鉛筆的3倍，并且比一支鉛筆貴5元。小明購買了一支鋼筆和一支鉛筆，共花費了13元。請問一支鉛筆多少元？”通過對比，我們可以看出，變式問題將“差倍問題”融入更貼近生活的購物情境中，并設(shè)置了更復雜的數(shù)量關(guān)系，有利于學生思維能力的提升。

教師還可以鼓勵學生自主設(shè)計問題并嘗試解答，進一步提升學生分析問題、解決問題的能力。在“我是小小出題人”活動中，學生設(shè)計出多種多樣的差倍問題。例如：“我今年9歲，媽媽的年齡是我的年齡的5倍多2歲，10年后媽媽的年齡是我的年齡的幾倍？”“小紅和爸爸的體重和是106千克，爸爸的體重是小紅的4倍多1千克，請問小紅和爸爸的體重分別是多少千克？”通過自編問題，互相解答問題并展開評價，學生鞏固了知識，提升了思維能力。學生完成練習后，教師可以引導學生回顧解題思路，分析解題過程中遇到的障礙及相應(yīng)的解決方法，并進行歸納、總結(jié)，形成個人的解題策略。

總之，差倍問題的教學絕非符號的堆砌，而是思維的碰撞，教師要引導學生運用結(jié)構(gòu)化思維洞悉其數(shù)學本質(zhì)，實現(xiàn)從解題到解決問題的跨越，更好地迎接未來學習和生活中復雜多變的問題所帶來的挑戰(zhàn)。

（作者單位：黃石市中山小學）

責任編輯? 劉佳