劉生云 王小霞 王玉煥

【摘?? 要】?? 隨著不同類型推廣型開集的深入研究，分離性公理也在不斷發(fā)展。雖然關(guān)于LF拓撲空間中分離性的研究已經(jīng)取得不少成果，但從不同層次結(jié)構(gòu)的開集、閉集、遠域等概念入手會得到不同的結(jié)果。為進一步豐富和完善LF拓撲空間中的分離性理論，利用[δ-]開集和[δ-]遠域等概念，定義了LF拓撲空間中幾種特殊的[δTi-]分離性和加強的[δTi-]分離性，證明了這幾種分離性的一系列性質(zhì)， 如[L-]好的推廣、遺傳性、可乘性、[δ-]弱同胚不變性等，并說明了弱誘導(dǎo)LF拓撲空間的[δTi-]分離性與其底空間的[δTi-]分離性的關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】?? [δ-] 開集；[δ-]遠域；[δTi-] 分離性；強[δTi-]分離性

Several [δTi-]Separability and Enhanced [δTi-]Separability

in LF Topological Space

Liu Shengyun， Wang Xiaoxia*， Wang Yuhuan

（Yan′an University， Yan′an 716000， China）

【Abstract】??? With the in-depth study of different types of generalized open sets， the axiom of separability is also constantly developing. Although many achievements have been made in the study of separability in [LF]topological spaces， different results can be obtained by starting with concepts such as open sets， closed sets， and far-field with different hierarchical structures. Therefore， in order to further enrich and improve the separability theory in [LF]topological spaces， concepts such as [δ-]open sets and [δ-]far-field are utilized， Several special [δTi-]separability and enhanced [δTi-]separability in [LF]topological spaces are defined， and a series of properties such as [L-]good generalization， heritability， multiplicability，[δ-]weak homeomorphism invariance are proved. The relationship between the [δTi-]separability of weakly induced [LF] topological spaces and the [δTi-]separability of their base spaces is also explained.

【Key words】???? [δ-]open set; [δ-]far field; [δTi-]separability; [δTi-]strong separability

〔中圖分類號〕 O189.1????????????? ? ?????????????〔文獻標識碼〕? A?? ???????????? 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）02- 0005 - 06

[收稿日期]?? 2023-11-24

[基金項目]?? 國家自然科學(xué)地區(qū)基金項目（12261090）；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃項目（2018JM1042）；延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃項目（YCX2024048）

[作者簡介]?? 劉生云（2000- ），男，延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院碩士研究生，研究方向：格上拓撲學(xué)及模糊數(shù)學(xué)。

[通訊作者]?? 王小霞（1978- ），女，碩士，延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院副教授，研究方向：格上拓撲學(xué)及模糊數(shù)學(xué)。

0???? 引言

王國俊教授［1］引進了LF拓撲空間中的[Ti]分離性公理，并對[Ti]分離性的幾大類經(jīng)典性質(zhì)進行了詳細的證明，自此之后，諸多學(xué)者從不同層次結(jié)構(gòu)的開集和遠域入手對分離性進行了深入研究。如韓剛等［2］研究了LF拓撲空間的[T213]分離性，尤飛［3］研究了LF拓撲空間中的[T52]和[S52]分離性，他們證明了上述分離性與文獻［1］定義的[Ti]分離性是協(xié)調(diào)的；王延軍等［4］證明了[LF]拓撲空間中[T212]分離公理的相對可積性和可和性等重要性質(zhì)，文獻［5-8］也對不同拓撲空間中的分離性進行了闡述并研究了其若干性質(zhì)，文獻［9-13］對如何加強分離性進行了系統(tǒng)的闡述，并證明了加強后的分離性仍然具有一些好的性質(zhì)。上述文獻都是在[Ti]分離性公理的基礎(chǔ)上進行推廣與拓展，都未從不同類型的推廣型開集入手進行研究，而且利用推廣型開集引入的分離性是否具備[LF]拓撲空間中的幾類性質(zhì)仍然有待考量。為此，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，通過[δ-]開集和[δ-]遠域等概念，定義了LF拓撲空間中幾種特殊的[δTi-]分離性和加強的[δTi-]分離性，證明了這幾種分離性具有[L-]好的推廣、遺傳性、可乘性、[δ-]弱同胚不變性等一系列性質(zhì)，進而豐富和發(fā)展了LF拓撲空間中的分離性理論。

本文中[（LX，τ）]表示LF拓撲空間。[M*（LX）]表示[LX]中所有分子構(gòu)成的集合，即[M*（LX）=][{xλ|x∈X，λ∈τ}]，[A-，A?，A′]分別表示[A∈LX]的閉包、內(nèi)部和偽補。如果[A=A-?]，稱[A]為正則開集，若[A=A?-]，則[A]為正則閉集。設(shè)[（LX，τ）]是LF拓撲空間，[xλ∈M*（LX）]，若[xλ][?][P]，則稱[P]為[xλ]的[δ-]閉遠域，所有[δ-]閉遠域構(gòu)成的集合記為[η-δ（xλ）]，這里[η-δ（xλ）={P∈δc（LX）|xλ][?][P}，][δc（LX）={A∈LX|A=A?-};]設(shè)[B∈LX，]若[?][xλ]的[δ-]閉遠域[A]，使[B≤A]，則稱[B]為[xλ]的[δ-]遠域，所有[δ-]遠域構(gòu)成的集合記為[ηδ（xλ）]。

1???? 預(yù)備知識

定義1［14］?? 設(shè)[（LX，τ）]為LF拓撲空間，若對[?P∈]

[ηδ（xλ），有A][?][P]，則稱[xλ∈M*（LX）]是[A∈LX]的[δ-]附著點；[A]的所有[δ-]附著點的并集稱為[A]的[δ-]閉包，記為[A-δ]。

定義2［14］?? 若[A=A-δ，]則稱[A]是[δ-]閉集；若[A]是[δ-]閉集，則[A′]是[δ-]開集；記所有的[δ-]開集構(gòu)成的集合為[δo（LX）]，所有的[δ-]閉集構(gòu)成的集合為[δc（LX）]。

定義3? 設(shè)[（LX11，τ1），（LX22，τ2）]是LF拓撲空間，[f：LX11→]

[LX22]為序同態(tài)，若[?A∈][δo（LX2）]，有[f-1（A）∈δo（LX1）]，則稱[f]為[δ-]連續(xù)序同態(tài)。若[?]一一的滿序同態(tài)[f]，使[f]與序同態(tài)[f-1：LX22→LX11]都[δ-]連續(xù)， 則稱[（LX11，τ1）]與[（LX22，τ2）][ δ-]同胚，稱[f]為[δ-]同胚序同態(tài)。

被[δ-]同胚序同態(tài)所保持的性質(zhì)為[δ-]同胚不變性。

定義4［15］? 設(shè)[L1和L2]是兩個[F]格，[X]和[Y]是兩個非空分明集，[p：X→Y]是分明映射， [q：L1→L2]是序同態(tài)， 則稱[f： LX1→LY2|f（A） （y）=∨{q（A（x））|p（x）=y， x∈][X，]

[A∈LX1，y∈Y}]為廣義Zadeh型函數(shù)，記作[f=pq]。

定義5? 設(shè)[（LX11，τ1），（LX22，τ2）]是LF拓撲空間，若[?]一一的滿的廣義Zadeh型函數(shù)[f=][pq：（LX11，τ1）→（LX22，τ2）]且[f]與[f-1]都[δ-]連續(xù)，則稱[（LX11，τ1）]與[（LX22，τ2）][δ-]強同胚， [f=pq]為[δ-]強同胚序同態(tài)。

被[δ-]強同胚序同態(tài)所保持的性質(zhì)稱為[δ-]弱同胚不變性。

定義6［1］?? 設(shè)[（LX，τ）]是LF拓撲空間，當[L]為全序格時，若[?A∈LX，r∈L]，都有[χlr（A）∈τ，]則稱[（LX，τ）]是弱誘導(dǎo)空間。這里[lr（A）={x∈X|A（x）][?][r]，[χD]是[X]的子集[D]上的特征函數(shù)，若[?λ∈L，]? [X]上取常值[λ]的LF集都屬于[τ]，則稱[（LX，τ）]是[滿層空間]。若[[τ]]表示[τ]中全體分明開集的承集構(gòu)成的集族，則稱[（X，[τ]）]為[（LX，τ）]的底空間。

定義7［9］ 設(shè)[（LX，τ）]是LF拓撲空間，[A，B∈LX]，[A-（0）?B（0）=A（0）?B-（0）=?]則稱LF集[A]和[B]是強隔離的。

引理1［1］ 設(shè)[（LX，][ ωL（]

））是由分明拓撲空間[（X，]

）拓撲生成的LF拓撲空間，則[（LX，][ ωL（]

））是[δ]完全正則空間的充要條件為[（X，]

[）]是[δ]完全正則空間。

引理2［1］? 設(shè)[（LX，τ）]是可拓撲生成的LF拓撲空間，則其子空間[（LY，τ|Y）]也是可拓撲生成的[LF]拓撲空間。

引理3［16］? 設(shè)[f=pq：LX1→LY2]是廣義Zadeh型函數(shù)，[B∈LY2]，則[f-1（B）=q-1?B?p]。

引理4［16］? 設(shè)[f=pq：LX1→LY2]是廣義Zadeh型函數(shù)，若[B]是[LY2]的分明集，則[f-1（B）]是[LX1]的分明集。

引理5［17］? 若[f：（LX，τ）→（LY，ε）]是[δ-]連續(xù)開序同態(tài)，則[F∈ε′]，[f-1（F?-）≤（f-1（F））?-]。

引理6［1］? 若[{Xt，τt）}t∈T]是一族分明拓撲空間[（T]

[≠?）]，[（X，τ）]是其積空間，則[（LX，ωL（τ））][=t∈T（LXt，ωL（τt））]。

2???? [δTi-]分離性及其性質(zhì)

定義8?? 設(shè)[（LX，τ）]是LF拓撲空間，則

（1）[?xλ， yμ∈M*（LX）]，[λ ≠ μ]，? [?P∈ηδ（xλ），][ Q∈]

[ηδ（yμ）]使得[yμ≤P，xλ≤Q]，則稱[（LX，τ）]為[δT′1]空間。

（2）[?]兩個不可比較的分子[xλ， yμ]，[?P∈ηδ（xλ），]

[Q∈ηδ（yμ）]使得[P∨Q=1]，則稱[（LX，τ）]為[δT′2]空間。

（3）[?xλ，yμ∈M*（LX）]，當[x≠y]，[λ=μ]時，有[P∈η-δ（xλ），]

[Q∈η-δ（yμ）]使得[P∨Q=1]，則稱[（LX，τ）]為弱[δT2]空間或弱[δ]Hausdorff 空間。

（4）[?xλ，yμ∈M*（LX）]，當[x≠y]時，有[P∈η-δ（xλ），]

[Q∈η-δ（yμ）]使得[P?∨Q?=1]，則稱[（LX，τ）]為[δT212]空間。

（5）[?xλ， yμ∈M*（LX）]，當[x≠y]? 時，有? [P∈η-δ（xλ），]

[Q∈η-δ（yμ）]使得[P?-∨Q?-=1]，則稱[（LX，τ）]為[δT213]空間。

（6）[?A，B∈LX]，[A，B]為非零準分明[δ-]開集，且[A]和[B]是強隔離的，[?P∈ηδ（xλ），Q∈ηδ（yμ）]使得[P∨Q=1]，則稱[（LX，τ）]為[δ]完全正規(guī)空間。

（7）[?]非零的準分明[δ-]閉集[A]和LF點[xλ]，當[x?suppA]時，有連續(xù)的[L]值Zadeh型函數(shù)[f：（LX，τ）→I*（L）]，使[xλ≤f-（0*）， A≤f-（1*）]，則稱[（LX，τ）]為[δ]完全正則空間。

2.1?? L-好的推廣

定理1?? 設(shè)[（LX，ωL（τ））]是由分明拓撲空間[（X，τ）]拓撲生成的LF拓撲空間，則[（LX，ωL（τ））]是[δT213]空間的充要條件為[（X，τ）]是[δT213]空間。

證明： 由[（LX，ωL（τ））]是[δT213]空間，知[（LX，ωL（τ））]為[δT2]空間，因為[δT2]空間是[L-]好的推廣，從而[（X，τ）]是[δT2]空間。又因為在分明拓撲空間中[δT213]空間等價于[δT2]空間，故[（X，τ）]是[δT213]空間。反之，設(shè)[（X，τ）]是[δT213]空間，[x，y∈X]且[x=y]，[λ，μ∈M（L）]，取[δ-]開集[U，V]使[x∈U，y∈V]且[U-??V-?=?]，令[P=χU′ ，Q=χV′]，則[P∈η-δ（xλ），Q∈η-δ（yμ）]。又[（χU′）-?=χU′?-，][（χV′）-?=χV′?-]，

所以[P-??Q-?=χU′?-?χV′?-=χU′?-?V′?-=χ（U-??V-?）′=χX]

[=1]，故[（LX，ωL（τ））]是[δT213]空間。

［注］其中[δT2]空間定義為：設(shè)[（LX，τ）]為LF拓撲空間，若[?xλ，xμ∈M*（LX），]當[x≠y]時，有[P∈ηδ（xλ）]和[Q∈ηδ（yμ）]使[P∨Q=1]，則稱[（LX，τ）]為[δT2]空間。[δT2]空間是[L-]好的推廣的證明可參考文獻［1］。

推論1?? 幾種[δTi-]分離性都是[L-]好的推廣。

2.2?? [δ-]弱同胚不變性

定理2?? 設(shè)[（LX，τ）]是[δT′2]空間，[f： （LX，τ）→（LY，η）]是[δ-]強同胚序同態(tài)，則[（LY，η）]也是[δT′2]空間。

證明： 任取[LY]中兩個不可比較的分子[xλ，yμ]，[f]為強同胚序同態(tài)，則[f-1（xλ）=（f-1（x））λ]，[f-1（yμ）=（f-1（y））μ]是[LX]中兩個不可比較的分子，這時[?P∈ηδ（（f-（x））λ），]

[Q∈ηδ（（f-（y））μ）]使得[P∨Q=1]，而[f（P）（x）=∨{P（z）|f（z）]

[=x，z∈X}=P（f-1（x））≥λ]，[f（Q）（y） =∨{Q（z）|f（z）=y， ][z∈]

[X}= Q（f-1（y）） ≥μ，]且[f（P），f（Q） ∈η′，] 所以[f（P）∈ηδ（xλ），]

[f（Q）∈ηδ（yμ）]。由[P∨Q=1]知，[f（P∨Q）=f（P）∨f（Q）]

[=1]，所以[（LY，η）]是[δT′2]空間。

推論2?? 幾種[δTi-]分離性都是[δ-]弱同胚不變性。

2.3?? 遺傳性

定理3?? 設(shè)[（LX，τ）]是由分明拓撲空間拓撲生成的LF拓撲空間，若[（LX，τ）]是[δ完全正則空間]，則其子空間[（LY，τ|Y）]也是[δ]完全正則空間。

證明：設(shè)[（LX，τ）]是由[（X，]

[）]所生成，即[τ=ωL]（

）。如果[（LX，τ）]是[δ完全正則空間]，則由引理1知[（X，]

[）]是[δ]完全正則空間，此時易得[（Y，]

[Y]）也是[δ]完全正則空間。再由引理2得，[τ|Y=ωL]（

[Y] ）即[（LY，τ|Y）]是由[（Y，]

[Y]）拓撲生成的[LF]拓撲空間，因為[（Y，]

[Y]）是[δ]完全正則空間，所以由引理1知[（LY，τ|Y）]也是[δ]完全正則空間。

推論3?? 幾種[δTi-]分離性都具有遺傳性。

2.4?? 可乘性

定理4?? 設(shè)[（LX，τ）]是[{LXt，τt}t∈T]的積空間，如果[?t∈]

[T]，[（LXt，τt）]是[δT212]空間[（δT′1空間，][ δT′2][空間， 弱δT2空間 ）]，則[（LX，τ）]是[δT212]空間[（δT′1空間， δT′2空間，弱δT2空間）]；反過來，若[（LX，τ）]是[δT212]空間[（δT′1]空間，[δT′2]空間，弱[δT2]空間），則對任意[t∈T]，當[（LXt，τt）]是滿層空間時， [（LXt，τt）]是[δT212]空間[（δT′1空間， δT′2空間，弱δT2空間）]。

證明： 以[δT212]空間為例進行證明。

設(shè)[?t∈T]，[（LXtt，τt）]是[δT212]空間，[x=xtt∈T∈X]，[y=ytt∈T∈X]且[x≠y]，[λ， μ∈M（L）]，任取[r∈T]，因為[（LXrr，τr）]是[δT212]空間，所以[xr，yr∈Xr]，[xr≠yr]，則有[Ar∈]

[η-δ（（xr）λ），][ Br∈η-δ（（yr）μ），] 使[A?r∨B?r=1]。這里[（xr）λ，（yr）μ∈]

[M*（LXrr）]，則[P-1r（Ar）， P-1r（Br）]是[（LX，τ）]中的分明集，且當[x，y∈X]時，由引理3得

[P-1r（Ar）（x）=q-1r?Ar? Pr（x）=q-1r（Ar（xr））] ；

[P-1r（Br）（y）=q-1r?Br?Pr（y）=q-1r（Br（yr））] ；

且[xλ][?][P-1r（Ar）]，[yμ][?][P-1r（Br）]。[?z∈X] 有

[[P-1r（Ar）]?∨[（P-1r （Br））?]（z）]

[= [P-1r（Ar（z））]?][∨][[P-1r（Br（z））]?]

[=[q-1r（Ar（zr））]?∨[q-1r（Br（zr））]?=q-1r[A?r（zr）∨B?r（zr）]=q-1r（1）=1]

因此，[（LX，τ）]是[δT212]空間。反之，設(shè)[（LX，τ）]是[δT212]空間，[?r∈T]，[（LXrr，τr）]是[滿層空間]，任取一點[x=xtt∈T∈X]，則[（LX，τ）]的過點[x]且平行于[（LXrr，τr）]的[LF]平面[（LXt～，τ|Xt～）][δ-]強同胚于[（LXrr，τr）]，因為[（LXt～，τ|Xt～）]是[（LX，τ）]的子空間，所以[（LXt～，τ|Xt～）]是[δT212]空間，而[δT212]分離性是[δ-]弱同胚不變性，所以[（LXrr，τr）]是[δT212]空間。

定理5?? 設(shè)[（LX，τ）]是[{LXt，τt}t∈T]的積空間，若[?t∈T]，

[（LXtt，τt）]是[滿層空間]，則[（LX，τ）]是[δT213]空間的充要條件為[（LXtt，τt）]是[δT213]空間。

證明： 設(shè)[?t∈T]，[（LXtt，τt）]是[δT213]空間，[x=xtt∈T∈X]，

[y=ytt∈T∈Y]，[λ， μ∈M（L）]且[x≠y]，則[?r∈T]使[xr≠yr。] 因為[（LXrr，τr）]是[δT213]空間，所以[?（xr）λ，（yr）μ∈M（LXr），]

有[Ar∈η-δ（（xr）λ）]，[Br∈η-δ（（yr）μ）]使[A?-r∨B?-r=1]。又[（LXrr，τr）]是[滿層空間]，則映射[Pr：LX→LXr]是[δ-]連續(xù)開序同態(tài)，由引理5知，

[P-1r（A?-r）≤（P-1r（Ar））?-]，[P-1r（B?-r）≤（P-1r][（Br））?-，]

[P-1r（A?-r）∨][P-1r（B?-r） = P-1r（A?-r∨B?-r）]

[=1≤（P-1r][（Ar））?-∨（P-1r（Br））?-]，

即[（P-1r（Ar））?-∨（P-1r（Br））?-][=1。]又由[（xr）λ][?][Ar]可知，[λ][?][Ar（xr）=ArPr（x）=P-1r（Ar）（x）。]所以[xλ][?][P-1r（Ar）]，同理[yμ][?][P-1r（Br）]，即[P-1r（Ar）∈η-δ（xr）]，[P-1r（Br）∈η-δ（yμ）]，故[（LX，τ）]是[δT212]空間。反之證明同定理4。

定理6?? 設(shè)[{（LXt，τt）}t∈T]是一族[δ]完全正則的LF拓撲空間，[（LX，τ）]是其積空間，若[?t∈T]，[{（LXt，τt）}t∈T]都是可拓撲生成的，則[（LX，τ）]是[δ]完全正則空間。

證明： 設(shè)[?t∈T]，[τt=ωL（]

[t][）]，其中

[t]是[Xt]上的分明拓撲，由引理1可知

[t]是[δ]完全正則的，由引理6知，[τ=ωL（]

[）]，這里

是[{]

[t][}t∈T]的乘積空間，

自然是[δ]完全正則的，再由引理1可知[（LX，τ）]是[δ]完全正則空間。

2.5?? 弱誘導(dǎo)空間與其底空間的關(guān)系

定理7?? 當[L]為全序格時，弱誘導(dǎo)空間[（LX，τ）]是[δ]完全正規(guī)空間[（δT′1，δT′2，弱δT2，δT212]，[δT213]，[δ]完全正則空間）的充要條件是其底空間[（X，[τ]）]是[δ]完全正規(guī)空間[（δT′1，δT′2，弱δT2，δT212]，[δT213]，[δ完全正則空間）]。

證明： 設(shè)[（LX，τ）]是[δ完全正規(guī)空間]，[A]和[B]是[（X，[τ]）]中的兩個子集，滿足[A∧B-=][A-∧B=?]，于是[（χA）（?）∧（χB-）（?）=（χB）（?）∧（χA-）（?）=?]。因為[（LX，τ）]是弱誘導(dǎo)空間，從而[χA-，? χB-]是[（LX，τ）]中的[δ-]閉集，[（χB）-≤χ-B]，[（χA）-≤χ-A]，則[（χB）-（?）≤（χ-B）（?）]，[（χA）-（?）≤（χ-A）（?）]，因此，[（χA）（?）∧（χB）-（?）=（χB）（?）∧（χA）-（?）=?]。因為[（LX，τ）]是[δ]完全正規(guī)空間，故[?P∈η-δ（A）]，[Q∈η-δ（B）]使得[P∨Q=1]，這時[P′∧Q′=?]。因為[?y∈A]，[P（y）≠1]于是[P′（y）>0]，即[y∈P′（?）]，所以[A≤P′（?）]，同理可得[B≤Q′（?）]。由于[（LX，τ）]是弱誘導(dǎo)空間，則[P′（?）]，[Q′（?）]是[（X，[τ]）]中的兩個互不相交的[δ-]開集，故[（X，[τ]）]是[δ完全正規(guī)空間]。

反之，設(shè)[（X，[τ]）]是[δ完全正規(guī)空間]，[?A，B∈LX]，[A，B]是非零準分明集，且[A（?）∧B-（?）=][B（?）∧A-（?）=?]，取[μ，ε∈M（L）] 滿足[?x∈X，A（x）>0?A（x）>μ]，[B（x）>0]

[?B（x）>ε]，記

[E1={y∈X|A（y）≥μ}，][E2={y∈X|A-（y）≥μ}，]

[F1={y∈X|][B（y）][≥ε}，F(xiàn)2={y∈X|B-（y）≥ε}]，

[A（?）=E1][?E2?A-（?）]，[B（?）][=F1?F2?B-（?）]，因為[（LX，τ）]是弱誘導(dǎo)空間，所以[E2]，[F2]是[（X，[τ]）]中的[δ-]閉集，所以[（A（?））-∧B（?）][=][A（?）∧（B（?））-=?]。由于[（X，[τ]）]是[δ]完全正規(guī)空間，故[?δ-]開集[U，V]使[A（?）?U，][B（?）?V=?]，令[P=χU′]，[Q=χV′]，則[P∈η-δ（A）]，[Q∈η-δ（B）]且有[P∨Q=1]，因此[（LX，τ）]是[δ完全正規(guī)空間]。

3???? 加強的[δTi-]分離性及其性質(zhì)

定義9?? 設(shè)[（LX，τ）]是LF拓撲空間，則

（1）若每個LF點[xλ]都是[δ-]閉集，則稱[（LX，τ）]為[SδT1]空間；

（2）若[?]2個LF點[xλ]與[yμ]，當[x≠y]時，有[P∈][ηδ（xλ）]，

[Q∈ηδ（yμ）]使得[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為強[δ]Hausdorff，稱[SδT1]的強[δ]Hausdorff空間為[SδT2]空間；

（3）若[?]非零的準分明[δ-]閉集[A]和任一LF點[xλ]，當[x?suppA]時有[P∈ηδ（xλ）]，[Q∈ηδ（A）]使得[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為強[δ]正則空間，稱[SδT1]的強[δ]正則空間為[SδT3]空間；

（4）若[?]2個非零的準分明[δ-]閉集[A，B]，當[suppA?suppB=?]時，有[P∈ηδ（A）]，[Q∈ηδ（B）]，使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為強[δ]正規(guī)空間，稱[SδT1]的強[δ]正規(guī)空間為[SδT4]空間；

（5）若[?]2個不可比較的分子[xλ]與[yμ]，即[xλ≤yμ，yμ≤xλ]，[?P∈ηδ（xλ）]，[Q∈ηδ（yμ）]使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為[SδT′2]空間；

（6）若[?]2個[LF]點[xλ]與[yμ]，當[x≠y]，[λ=μ]時，有[P∈η-δ（xλ）]，[Q∈η-δ（yμ）]使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為加強的弱[δ]Hausdorff或SR[δ]Hausdorff空間，稱[SδT1]的SR[δ]Hausdorff空間為[SRδT2]空間；

（7）若對[xλ，yμ∈M*（LX）]，當[x≠y] 時，有[P∈η-δ（xλ）]，[Q∈η-δ（yμ）]使[?x∈X]，[P?（x）=1]或[Q?（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為[SδT212]空間；

（8）若對[xλ，yμ∈M*（LX）]，當[x≠y]時，有[P∈η-δ（xλ）]，[Q∈η-δ（yμ）]使[?x∈X]，[P?-（x）=1]或[Q?-（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為[SδT213]；

（9）若[A，B∈LX]，其中[A，B]都是非零準分明[δ-]開集，且[A與B]是強隔離的，則[?P∈ηδ（A）]，[Q∈ηδ（B）]，使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，則稱[（LX，τ）]為強[δ]完全正規(guī)空間。

3.1?? L-好的推廣

定理8?? 設(shè)[（LX，ωL（τ））]是由分明拓撲空間[（X，τ）]拓撲生成的LF拓撲空間，則[（LX，ωL（τ））]是[SδT3]空間的充要條件為[（X，τ）]是[δT3]空間。

證明： 由文獻［1］定理5.4.3和定理5.3.3可知，只需證明強[δ]正則空間的充分性即可。

設(shè)[（X，τ）]是[δ]強正則空間，[A]是準分明[δ-]閉集，有[ε>0]，使[A（y）>0]當且僅當[A（y）≥ε][（y∈X）]。設(shè)[xλ]是[LF]點，[x?suppA]，此時[suppA=τε（A）]是[（X，τ）]中的[δ-]閉集，所以由[（X，τ）]的[δ]強正則性可知，有開集[U，V∈τ]使[x∈U]，[suppA?V]且[U?V=?]。令[P=χU′]，[Q=χV′]，則[P∈ηδ（xλ）]，[Q∈ηδ（A）]且[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，所以[（LX，ωL（τ））]是[δ]強正則空間。

推論4?? [SδTi]空間[（i=1， 2， 3， 4）]和? [SδT′2]、? [SRδT2]、

[SδT212]、[SδT213]、強[δ]完全正規(guī)空間都是[L-]好的推廣。

3.2?? [δ-]弱同胚不變性

定理9?? 設(shè)[（LX1，τ1）]和[（LX2，τ2）]是LF拓撲空間， [f： LX1][→LX2]是[δ-]強同胚序同態(tài)，若[（LX1，τ1）]是[SδT2]空間，則[（LX2，τ2）]也是[SδT2]空間。

證明： 設(shè)[y1，y2]是[（LX2，τ2）]中的任意2個LF點，且[y1∧y2=0X]，則[?][（LX1，τ1）]的2個LF點[x1，x2]，使得[f（x1）=y1，f（x2）=y2]且[x1∧x2=0X]。由于[（LX1，τ1）]是[SδT2]空間，則[P∈ηδ（x1）]，[Q∈ηδ（x2）]，使得[?x∈X1]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，令[U=f（P）]，[V=f（Q）]，由[f]是單的[δ-]連續(xù)序同態(tài)可知，[?x∈X2]，[U∈ηδ（y1）]，[V∈ηδ（y2）]，且有[U（x）=1]或[V（x）=1]，因此[（LX2，τ2）]也是[SδT2]空間。

推論5?? [SδTi]空間[（i=1， 2， 3， 4）] 和[SδT′2]、[SRδT2]、

[SδT212]、[SδT213]、強[δ]完全正規(guī)空間都具有[δ-]弱同胚不變性。

3.3?? 遺傳性

定理10?? 若[（LX，τ）]是SR[δ]Hausdorff空間，則它的任一子空間也是SR[δ]Hausdorff空間。

證明： 設(shè)[（LY，τ|Y）]是SR[δ]Hausdorff空間[（LX，τ）]的子空間，[xλ，yλ]是[Y]上任意兩個LF點[（x≠y）]，這時[xλ*，yλ*]是[X]上任意兩個LF點，由于[（LX，τ）]是SR[δ]Hausdorff空間， 有[P∈η-δ（xλ*）]，[Q∈η-δ（yλ*）]使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，這時[P|Y∈η-δ（xλ）]， [Q|Y∈η-δ（yλ）]，對任意[z∈Y]，有[（P|Y）（z）=1]或[（Q|Y）（z）=1]，因此[（LY，τ|Y）]是SR[δ]Hausdorff空間。

推論6?? [SδTi]空 間 [（i=1， 2， 3 ，4）]和? [SδT′2]、[ SδT212]、

[SδT213]、強[δ]完全正規(guī)空間都具有遺傳性。

3.4?? 可乘性

定理11?? 設(shè)[（LX，τ）]是[{（LXt，τt）}t∈T]的乘積空間，若[?t∈T]，[（LXt， τt）]是強 [δ]Hausdorff 空間? [（SδT1、SδT2、]

[SδT′2、] [SRδT2、SδT212]、[δ]Hausdorff空間[）]，則[（LX，τ）]是強[δ]Hausdorff空間[（SδT1、SδT2、SδT′2、SRδT2、SδT212]、[δ]Hausdorff空間[）]；反之，若[（LX，τ）]是強[δ]Hausdorff空間[（SδT1、SδT2、SδT′2、SRδT2、SδT212]、[δ]Hausdorff空間[）]，則[?r∈T]，當[（LXr，τr）]是滿層空間時，它是強[δ]Hausdorff空間[（SδT1、SδT2、SδT′2、SRδT2、SδT212]、[δ]Hausdorff空間[）]。

證明： 以強[δ]Hausdorff空間為例進行證明。

設(shè)對任意[t∈T]，[（LXt，τt）]是強[δ]Hausdorff空間，[xλ，yμ]是[X]上的2個LF點，且[x≠y]，設(shè)[x=xtt∈T]，[x=xtt∈T]，則有[r∈T]，使[xr≠yr]。這時[（xr）λ]與[（yr）μ]是[Xr]上的LF點，因為[（LXr，τr）]是強[δ]Hausdorff空間，所以[?δ-]閉集[Br，Cr∈τ′r]使[λ][?][Br（xr）]，[μ][?][Cr（yr）]，且對任意[zr∈Xr]，[Br（zr）=1]或[Cr（zr）=1]。令[B=P-1r（Br）]，[C=P-1r（Cr）]，由[Pr][δ-]連續(xù)可知，[B]與[C]是[（LX，τ）]中的[δ-]閉集，且有[λ][?][P-1r（Br）（x）]，[μ][?][P-1r（Cr）（y）]，所以[B∈η-δ（xλ）]，[C∈η-δ（yμ）]，設(shè)[z=ztt∈T]是[X]上任一分明點，則[B（z）=P-1r（Br）（z）=Br（zr）]

[=1]或[C（z）=Cr（zr）=1]，所以[（LX，τ）]是強[δ]Hausdorff空間。

反過來，設(shè)[（LX，τ）]是強[δ]Hausdorff空間，[r∈T]，[（LXr，τr）]是滿層空間，由文獻［1］定理2.8.9知，[（LXr，τr）][δ-]強同胚于[（LX，τ）]的某子空間，從而由定理9可知[（LXr，τr）]是強[δ]Hausdorff空間。

3.5?? 弱誘導(dǎo)空間與其底空間的關(guān)系

定理12? 設(shè)[（LX，τ）]是弱誘導(dǎo)的LF拓撲空間，則[（LX，τ）]是強[δ]完全正規(guī)空間的充要條件為其底空間[（X，[τ]）]是強[δ]完全正規(guī)空間。

證明： 參考定理7的證明。

推論7?? 設(shè)[（LX，τ）]是弱誘導(dǎo)的LF拓撲空間，則[（LX，τ）]是[SδTi]空間[（i=1，2，3，4）]或[SδT′2]、[SRδT2]、[SδT212]、[SδT213]空間，當且僅當其底空間[（X，[τ]）]是[SδTi]空間[（i=1，2，3，4）]或[SδT′2]、[SRδT2]、[SδT212]、[SδT213]空間。

4???? 結(jié)論

本文以[δ-]開集和[δ-]遠域等概念為工具，給出了LF拓撲空間中[δT′1]、[δT′2]、[弱δT2]、[δT212]、[δT213]、[δ]完全正規(guī)、[δ]完全正則分離性的定義，得出了這幾種分離性都具有遺傳性和[δ-]弱同胚不變性且都是[L-]好的推廣；[δT′1]、[δT′2]、[弱δT2]、[δT212]、[δT213]分離性具有可乘性；當[L]為全序格時，[（LX，τ）]是[δTi-]空間當且僅當其底空間[（X，[τ]）]是對應(yīng)的[δTi-]空間。最后定義了[SδTi]空間[（i=1，2，3，4）]和[SδT′2]、[SRδT2]、[SδT212]、[SδT213]、強[δ]完全正規(guī)空間，得出并證明它們具有LF拓撲空間中[δTi-]分離性的主要結(jié)論，有助于分離性理論的進一步豐富與拓展。當然利用推廣型開集不僅可以用來研究分離性，還可以用來研究緊性，比如可以利用[δ-]開集引進[δ-]緊性的概念，進而去研究[δ-]緊空間中的相關(guān)性質(zhì)。

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