張中月 趙侯宇

【摘?? 要】?? 利用Schauder不動點定理和 Banach壓縮映像原理討論了一類多項式型迭代函數(shù)方程的高階強(qiáng)凸解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。即一類多項式型迭代函數(shù)方程[λ1f（x）+λ2f2（x）+…+λnfn（x）=F（x），?x∈R]在一定條件下有高階強(qiáng)凸解，且解是唯一的，該解連續(xù)依賴于給定的函數(shù)[F。]

【關(guān)鍵詞】?? 迭代函數(shù)方程；高階強(qiáng)凸；不動點

Higher Order Strongly Convex Solutions to a

Polynomial-like Iterative Functional Equation

Zhang Zhongyue， Zhao Houyu*

（Chongqing Normal University， Chongqing 401331， China）

【Abstract】??? By the Schauder′s fixed point theorem and the Banach contraction principle， the paper finds that higher order strongly convex solutions to polynomial iterative functional equation are existing， unique and stable. That is， under some conditions， the polynomial iterative functional equation has the higher order strongly convex solutions. [λ1f（x）+λ2f2（x）+…+][λnfn（x）=F（x），?x∈R]. And the solution is an unique one which depends on the given function[ F.]

【Key words】????? iterative functional equation; higher order strongly convex; fixed point

〔中圖分類號〕 O13????????????? ????? ???????????? ???〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕? A????? ???????????? 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）02- 0011 - 05

[收稿日期]?? 2023-10-21

[基金項目]?? 國家自然科學(xué)基金項目（12271070）

[作者簡介]?? 張中月（1999- ），女，重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向：微分方程與動力系統(tǒng)。

[通訊作者]?? 趙侯宇（1982- ），男，博士，重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，研究方向：微分方程與動力系統(tǒng)。

0???? 引言

迭代根問題是動力系統(tǒng)理論中的重要問題，1980年Rice RE等［1］考慮了方程[f（f（z））=az2+bz+c]， 證明了右端函數(shù)是二階多項式時，在復(fù)域上不存在函數(shù)[f]滿足該方程。那么右端函數(shù)是什么樣子，才會存在[f]滿足類似的方程。這個問題的一個自然推廣為一類多項式型迭代函數(shù)方程

[λ1f（x）+λ2f2（x）+…+λnfn（x）=F（x），?x∈R] ?????? （1）

其中[f（x）]為未知函數(shù)，[fi]表示[f]的第[i]次迭代，[i=1，2，…，n]， [λ1，λ2，…，λn]是實數(shù)，[F（x）]是一個給定的函數(shù)。方程（1）在不同的條件下已有許多結(jié)果，1990年張偉年［2］考慮了可微解的存在性、唯一性及穩(wěn)定性。隨后，司建國等［3］得到了在有限閉區(qū)間[I=[a，b]]上[C2]自映射的結(jié)果，其中[F（a）=a，F(xiàn)（b）=b]。 1999年，利用Schroder變換，司建國和王新平［4］研究了原點附近的局部解析解。隨后，張偉年等［5］、徐冰等［6］討論了多項式型迭代方程的單調(diào)解和凸解。Ng和趙侯宇［7］研究了周期解和連續(xù)解并給出兩個例子來解釋他們的結(jié)果。2021年，李蔓蓉和趙侯宇［8］利用不動點方法討論了方程（1） 的強(qiáng)凸解存在唯一性。

高階強(qiáng)凸函數(shù)是指在一定階數(shù)上滿足高階強(qiáng)凸性質(zhì)的函數(shù)，在一些特殊的優(yōu)化問題中也會使用高階強(qiáng)凸函數(shù)的假設(shè)條件。本文中，假設(shè)[X]是一個拓?fù)淇臻g，[f：X→X]是一個自映射。給定一個高階強(qiáng)凸函數(shù)[F]，那能否找到滿足（1）的高階強(qiáng)凸函數(shù)[f]？由于方程中包含了迭代，可能使解的高階強(qiáng)凸性發(fā)生變化，使問題變得更加復(fù)雜。

1???? 預(yù)備知識及幾個引理

下面將給出一些預(yù)備知識及引理。設(shè)[I]是實數(shù)域[R]上的一個區(qū)間。

定義1.1?? 函數(shù)[f：I?R→R]是凸函數(shù)，如果[f（tx+（1-t）y）≤tf（x）+（1-t）f（y）]對所有的[x，y∈I，t∈0，1]都成立。

如果不等式對所有的[x≠y]且[t∈0，1]嚴(yán)格成立，則稱[f]嚴(yán)格凸。如果[-f]是凸的或者嚴(yán)格凸的，則函數(shù)[f]是凹的或嚴(yán)格凹的。

定義1.2??? 函數(shù)[f：I?R→R]是高階強(qiáng)凸函數(shù)，模量[c>0]，如果[f（tx+（1-t）y）≤tf（x）+（1-t）f（y）-ct（1-t）x-yσ]對所有的[x，y∈I，t∈0，1，σ>0]成立。

如果[-f]是高階強(qiáng)凸的，則函數(shù)[f]是高階強(qiáng)凹的。

本文中，設(shè)區(qū)間[I=[a，b]]是一個閉區(qū)間，不失一般性，假設(shè)[a=0，b=1]。設(shè)[M≥1≥m≥0]，[C（I）]包含了所有在區(qū)間[I=[0，1]]上的連續(xù)函數(shù)。定義

[Φ（I，m，M）={f∈C（I）： f（0）=0，f（1）=1，0≤f（x）≤1，f（x）-f（y）≤Mx-y，m（x1-y1）≤f（x1）-f（y1），?x，y，x1≥y1∈I}。]

由[Φ（I，m，M）]中所有高階強(qiáng)凸函數(shù)和高階強(qiáng)凹函數(shù)組成的集合，記為[Φhscv（I，m，M）]和[Φhscc（I，m，M）]，顯然[C（I）]為一個實巴拿赫空間，若其范數(shù)規(guī)定為

[f=max{f（t）：t∈I}， f∈C（I）。]

進(jìn)一步定義

[Ω（I，m，M，k，K）={f∈Φ（I，m，M）：k（x3-x1）≤f（x3）-f（x2）x3-x2-f（x2）-f（x1）x2-x1≤K（x3-x1），?x1

其中[m，M，k，K]都是常數(shù)，[0≤m≤1≤M，k≤K]。如果函數(shù)[f]是[Ω（I，m，M，k，K）]里的二階可微函數(shù)，則[m

引理1?? [Φ（I，m，M），Φhscv（I，m，M），Φhscc（I，m，M）]是[C（I）]中的緊凸集。

證明：文獻(xiàn)［8］已經(jīng)證明了[Φ（I，m，M）]是[C（I）]中的緊凸集。因此這里只證明[Φhscv（I，m，M），Φhscc（I，m，M）]。假設(shè)[f1，f2∈Φhscv（I，m，M）]且是模量分別為[c1，c2]，階數(shù)為[σ1，σ2]的高階強(qiáng)凸函數(shù)。令

[F（x）=tf1（x）+（1-t）f2（x），?x，y∈I，t∈[0，1]。]

則[F（0）=0，F(xiàn)（1）=1]且[0≤F（x）≤tf1（x）+（1-t）f2（x）≤1]，

并且，對[?x，y，x1≥y1∈I]有???? [F（x）-F（y）=tf1（x）+（1-t）f2（x）-tf1（y）-（1-t）f2（y）≤tf1（x）-f1（y）+（1-t）f2（x）-f2（y）≤tMx-y+（1-t）Mx-y=Mx-y]????? 和

[F（x1）-F（y1）=t（f1（x1）-f1（y1））+（1-t）（f2（x1）-f2（y1））≥tm（x1-y1）+（1-t）m（x1-y1）=m（x1-y1）]

[F（αx+（1-α）y）=tf1（αx+（1-α）y）+（1-t）f2（αx+（1-α）y）≤t（αf1（x）+（1-α）f1（y）-c1α（1-α）x-yσ1）+（1-t）（αf2（x）+（1-α）f2（y）-c2α（1-α）x-yσ2）≤α（tf1（x）+（1-t）f2（x））+（1-α）（tf1（y）+（1-t）f2（y））-cα（1-α）x-yσ=αF（x）+（1-α）F（y）-cα（1-α）x-yσ，α∈[0，1]]

其中，[c=min[c1，c2]，σ=min[σ1，σ2]]，則[F]是模量為[c]，階數(shù)為[σ]的高階強(qiáng)凸函數(shù)，因此[Φhscv（I，m，M）]是一個凸集。容易看出[Φhscv（I，m，M）]是[C（I）]中的一個有界閉集且是等度連續(xù)的。由Ascoli-Arzela引理可知，[Φhscv（I，m，M）]是[C（I）]上的緊凸集。

同理可以證明[Φhscc（I，m，M）]也是[C（I）]上的緊凸集。證畢。

引理2［8］??? 假設(shè)[f，g∈Φ（I，m，M）]，其中[M≥1]，則下列不等式成立：

（i）[fk-gk≤j=0k-1Mjf-g，k∈Z+。]

（ii）[f-g≤Mf-1-g-1]。

引理3?? 設(shè)區(qū)間[I=[0，1]，]且[σ≥2]，則[Ω（I，m，M，k，K）]是[C（I）]中的緊凸集。

（i） 當(dāng)[k>0]，則[Ω（I，m，M，k，K）?Φhscv（I，m，M）]；

（ii） 當(dāng)[K<0]，則[Ω（I，m，M，k，K）?Φhscc（I，m，M）]。

證明：文獻(xiàn)［5］中已證得[Ω（I，m，M，k，K）]是[C（I）]中的緊凸集。令[f∈Ω（I，m，M，k，K）]，

當(dāng)[k>0]時，

[f（x2）≤x3-x2x3-x1f（x1）+x2-x1x3-x1f（x3）-kx3-x2x3-x1x2-x1x3-x1（x3-x1）2，?x1

對[?x，y∈I]（不失一般性，假設(shè)[x≤y]），[?t∈（0，1），]且[σ≥2，]由（2）式可知

[f（tx+（1-t）y）≤y-（tx+（1-t）y）y-xf（x）+（tx+（1-t）y）-xy-xf（y）-ky-（tx+（1-t）y）y-x（tx+（1-t）y）-xy-x（y-x）2=tf（x）+（1-t）f（y）-kt（1-t）（y-x）2≤tf（x）+（1-t）f（y）-kt（1-t）（y-x）σ]

由定義（1.2）可知，[f]為模是[k]的[σ]-高階強(qiáng)凸函數(shù)，即

[Ω（I，m，M，k，K）?Φhscv（I，m，M）。]

同理，當(dāng)[K<0]時，

[x3-x2x3-x1f（x1）+x2-x1x3-x1f（x3）+（-K）x3-x2x3-x1x2-x1x3-x1（x3-x1）2≤f（x2），?x1

對[?x，y∈I]（不失一般性，假設(shè)[x≤y]），[?t∈（0，1），]且[σ≥2，]由（3）式可知

[f（tx+（1-t）y）≥y-（tx+（1-t）y）y-xf（x）+（tx+（1-t）y）-xy-xf（y）+（-K）y-（tx+（1-t）y）y-x（tx+（1-t）y）-xy-x（y-x）2=tf（x）+（1-t）f（y）+（-K）t（1-t）（y-x）2≥tf（x）+（1-t）f（y）+（-K）t（1-t）（y-x）σ]

因此[f]為模是[-K]的[σ]-高階強(qiáng)凹函數(shù)，即[Ω（I，m，M，k，K）?Φhscc（I， m，M）]。證畢。

引理4［5］? 假設(shè)[fj∈Ω（I，mj，Mj，kj，Kj），]其中[Mj≥1≥mj≥0，Kj≥kj， j=1， 2]。則

當(dāng)[k1≥0]時，

（i）若[k2≥0，]則[f2? f1∈Ω（I，m1m2，M1M2，k1m2+k2m21，K1M2+K2M21）]；

（ii）若[K2≤0，]則[f2? f1∈Ω（I，m1m2，M1M2，k1m2+k2M21，K1M2+K2m21）]。

當(dāng)[K1≤0]時，

（iii）若[k2≥0，]則[f2?f1∈Ω（I，m1m2，M1M2，k1M2+k2m21，K1m2+K2M21）]；

（iv）若[K2≤0，]則[f2?f1∈Ω（I，m1m2，M1M2，k1M2+k2M21，K1m2+K2m21）]。

其中，[f1?f2]表示函數(shù)[f1]與函數(shù)[f2]的復(fù)合。

引理5［5］? 令[f∈Ω（I，m，M，k，K），]其中[m≥0]。

則當(dāng)[k≥0]時，

（i）[fj∈Ω（mj，Mj，ki=j-12（j-1）mi，Ki=j-12（j-1）Mi），?j=1，2，…;]

（ii）特別地，若[m>0，][f-1∈Ω（1M，1m，-Km3，-kM3）]。

當(dāng)[K≤0]時，

（iii）[fj∈Ω（mj，Mj，ki=j-12（j-1）Mi，Ki=j-12（j-1）mi），?j=1，2，…;]

（iv）特別地，若[m>0，][f-1∈Ω（1M，1m，-KM3，-km3）]。

2???? 定理及證明

這一節(jié)將討論方程（1）高階強(qiáng)凸解的存在性、唯一性及連續(xù)依賴性。為此需要以下前提條件：

（H1）[λ1>0，]

（H2）[i=1nλi=1]，

（H3）[λ2>0，λi≥0，i=3，…，n]。

此外，為了計算方便，不妨設(shè)[m=0]。在此基礎(chǔ)上，將有如下結(jié)論。

定理1??? 假設(shè)（H1）-（H3）都成立，[I=[0，1]，]且[σ≥2，][F∈Ω（I，0，M，k，K），]其中[M≥1，][K≥k>0]。 如果

[0<τ

其中[M1=i=1nλiMλ1i-1，][M2=j=1n-1λj+1i=j-12（j-1）Mλ1i，]則方程（1）有一個模為[τ]階數(shù)為[σ]的高階強(qiáng)凸解[f∈Ω（I，0，Mλ1，τ，Kλ1）]。

證明：定義映射[L： Ω（I，0，Mλ1，τ，Kλ1）→C（I）：]

[Lf（x）=λ1x+λ2f（x）+…+λnfn-1（x），?x∈I]

顯然[Lf（0）=0， Lf（1）=1]， 且對[?x>y∈I，]有

[Lf（x）-Lf（y）=λ1x+λ2f（x）+…+λnfn-1（x）-（λ1y+λ2f（y）+…+λnfn-1（y））=λ1（x-y）+λ2（f（x）-f（y））+…+λn（fn-1（x）-fn-1（y））≥λ1（x-y），]

[Lf（x）-Lf（y）≤λ1+λ2Mλ1+…+λnMλ1n-1x-y=M1x-y，?x，y∈I]

由引理5（i）， 對[?x1

[Lf（x3）-Lf（x2）x3-x2-Lf（x2）-Lf（x1）x2-x1=λ1（x3-x2）+λ2（f（x3）-f（x2））+…+λn（fn-1（x3）-fn-1（x2））x3-x2-λ1（x2-x1）+λ2（f（x2）-f（x1））+…+λn（fn-1（x2）-fn-1（x1））x2-x1=λ2f（x3）-f（x2）x3-x2-f（x2）-f（x1）x2-x1+…+λnfn-1（x3）-fn-1（x2）x3-x2-fn-1（x2）-fn-1（x1）x2-x1≥τλ2（x3-x1）]

類似地，

[Lf（x3）-Lf（x2）x3-x2-Lf（x2）-Lf（x1）x2-x1≤λ2Kλ1（x3-x1）+…+λnKλ1i=n-22（n-2）Mλ1i（x3-x1）=Kλ1j=1n-1λj+1i=j-12（j-1）Mλ1i（x3-x1）=KM2λ1（x3-x1）]

因此，[Lf∈Ω（I，λ1，M1，τλ2，KM2λ1）]。由引理5（ii）有

[（Lf）-1∈Ω（I;1M1，1λ1，-KM2λ14，-τλ2M13）]

定義映射[Θ：Ω（I，0，Mλ1，τ，Kλ1）→C（I）;]即[Θf（x）=（Lf）-1?F]。由引理4（ii） 和（4）式可知，

[Θf（x）=（Lf）-1?F∈Ω（I;0，Mλ1，kM1-KM2M2λ14，Kλ1）?Ω（I;0，Mλ1，τ，Kλ1）]

從而[Θ]是[Ω（I;0，Mλ1，τ，Kλ1）]上的一個自映射。下證[Θ]是連續(xù)的。任取[f1，f2∈Ω（I;0，Mλ1，][τ，Kλ1）]，由引理2有

[Θf1-Θf2=（Lf1）-1?F-（Lf2）-1?F=（Lf1）-1-（Lf2）-1≤1λ1Lf1-Lf2≤1λ1j=1n-1λj+1f1j-f2j≤1λ1j=1n-1λj+1i=0j-1Mλ1if1-f2]

利用Schauder不動點定理，[Θ]有不動點[f∈Ω（I;0，Mλ1，τ，Kλ1），]且[f]滿足方程（1）。進(jìn)一步，由引理3中（i）可知，[f]是（1）的模為[τ]的[σ]高階強(qiáng)凸解。證畢。

定理2?? 假設(shè)定理1的條件成立且有

[j=1n-1λj+1i=0j-1Mλ1i<λ1]???????????????????? （5）

則方程（1）在[f∈Ω（I;0，Mλ1，τ，Kλ1）]有唯一解，且該解連續(xù)依賴于給定函數(shù)[F]。

證明：由定理1的證明可知，

[Θf（x）-Θg（x）≤1λ1j=1n-1λj+1i=0j-1Mλ1if-g=ρf-g，]

其中[ρ=1λ1j=1n-1λj+1i=0j-1Mλ1i，]應(yīng)用（5）式及Banach不動點定理可知該解是唯一的。

給定函數(shù)[F，G，]對應(yīng)的算子為[Θ，Ξ]。即

[Θf=（Lf）-1?F，Ξg=（Lg）-1?G]

其中[f，g∈Ω（I;0，Mλ1，τ，Kλ1）]為對應(yīng)的不動點，則

[f-g=Θf-Ξg≤Θf-Θg+Θg-Ξg≤ρf-g+Θg-Ξg，]

即，

[f-g≤11-ρΘg-Ξg，]

由[Θ，Ξ]的定義可知，

[f-g≤1λ1（1-ρ）F-G]

這就證明了[f]關(guān)于[F]的依賴性。

3???? 結(jié)語

本文主要研究一類多項式型迭代方程的高階強(qiáng)凸解的存在性、唯一性以及穩(wěn)定性。在第二部分中，根據(jù)不動點法，利用Schauder不動點定理得到多項式型迭代方程（1）的高階強(qiáng)凸解；又利用Banach不動點定理證明了方程（1）的解的唯一性以及該解連續(xù)依賴于給定函數(shù)F。

在本文研究過程中發(fā)現(xiàn)以下問題有待進(jìn)一步研究。（1）本文研究了一類特殊的多項式型迭代方程的高階強(qiáng)凸解問題，那么對于其他特殊情形的多項式型迭代方程是否也存在高階強(qiáng)凸解？（2）對于此類多項式型迭代方程，是否可以討論此方程下的其他類型的函數(shù)解？

［參考文獻(xiàn)］

［1］ Rice R E，? Schweizer B， Sklar A. When is [f（f（z））=az2+bz]

[+c]？［J］.The American Mathematical Monthly， 1980， 87（4）： 252-263.

［2］ Zhang WN. Discussion on the differentiable solutions of the iterated equation[i=1nλifi（x）=F（x）] ［J］. Nonlinear Analysis：Theory， Methods & Applications， 1990， 15（4）：387-398.

［3］ Wang XP， Si JG. Differentiable solutions of an iterative functional equation［J］. Aequationes? Mathematicae， 2001， 61（1）： 79-96.

［4］ Si JG， Wang X P. Analytic solutions of a polynomial-like iterative functional equation［J］. Demonstration Mathematica， 1999， 32（1）： 95-104.

［5］ Zhang WN， Nikodem K， Xu B. Convex solutions of polynomial-like iterative equations［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2006， 315（1）： 29-40.

［6］ Xu B， Zhang WN. Decreasing solutions and convex solutions of the polynomial-like iterative equation［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2007， 329（1）： 483-497.

［7］ Ng CT， Zhao HY. Periodic and continuous solutions of a polynomial-like iterative equation［J］. Aequationes Mathematicae， 2017， 91（1）： 185-200.

［8］ Li MR， Zhao HY. Strongly convex solutions of polynomial-like iterative equation［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2021， 495： 124786.