鄧軍民

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾針對(duì)數(shù)形結(jié)合思想作了一首著名的詩(shī)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，達(dá)到“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”， 即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化.我們?cè)诮鉀Q函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量等問(wèn)題的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的一種困境：做題時(shí)總是感覺(jué)式子比較抽象，不容易理解，想來(lái)想去都沒(méi)有頭緒.此時(shí)便需要我們將其具體化，而具體化最好的途徑便是借助圖像.利用數(shù)形結(jié)合的思想可使所要研究的問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn).把代數(shù)和幾何相結(jié)合，能促進(jìn)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互表征，使我們能較快地從所給問(wèn)題的情境中探究出熟悉的模型，從而迅速、準(zhǔn)確、科學(xué)地解決問(wèn)題．

應(yīng)用1：數(shù)形結(jié)合在比較大小問(wèn)題中的應(yīng)用

【例1】（2022年天津卷）已知a=207，b=1307，c=log213，則（? ）

A.a>c>b?? B.b>c>a

C.a>b>c? D.c>a>b

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像可知：y=2x是定義域R上的單調(diào)增函數(shù)，y=13x是R上的減函數(shù)，所以207>20=1，即a=207>1；同時(shí)（13）07<（13）0=1，且b=（13）07，所以0b>c.故選：C．

點(diǎn)評(píng)：在做題的過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到比較大小問(wèn)題，這類題中出現(xiàn)的每個(gè)數(shù)往往是不能計(jì)算出具體值的，我們只能借助函數(shù)圖像的性質(zhì)來(lái)輔助我們進(jìn)行求解，如果題目比較簡(jiǎn)單，我們只需利用熟知的基本初等函數(shù)的圖像即可求解，如果題目復(fù)雜，我們還需通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的草圖去進(jìn)一步求解．

【變式1】已知正實(shí)數(shù)a，b滿足12a=log2a，13b=log2b，則（? ）

A.a

C.b<1

解析：依題意，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)

y=（12）x，y=13x，y=log2x的圖像（如上圖），結(jié)合圖像可得：1

應(yīng)用2：數(shù)形結(jié)合的思想在函數(shù)最值或不等式問(wèn)題中的應(yīng)用

【例2】（2023年上海虹口高三階段測(cè)試）已知函數(shù)f（x）=x-lnx，x>0

x+4e，x≤0若存在x1≤0，x2>0使得f（x1）=f（x2），則x1f（x2）的最小值為???? ．

解析：當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-1x=x-1x，

當(dāng)x>1時(shí)，f′（x）>0，當(dāng)0

即當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值為f（1）=1.當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x+4e為增函數(shù)，且f（x）≤4e，由函數(shù)f（x）的圖像得：設(shè)f（x1）=f（x2）=t，由題可知1≤t≤4e，由f（x1）=t得x1+4e=t，則x1=t-4e，則x1f（x2）=t（t-4e）=（t-2e）2-4e2，∵1≤t≤4e，所以當(dāng)t=2e時(shí)，［x1f（x2）］min=-4e2.故答案為：-4e2．

應(yīng)用3：數(shù)形結(jié)合在函數(shù)的切線問(wèn)題中的應(yīng)用

【例3】（2021年新高考Ⅰ卷）若過(guò)點(diǎn)（a，b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（? ）

A.eb

B.ea

C.0

D.0

解析：數(shù)y=ex是增函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖所示，切點(diǎn)在x軸上方．

如果點(diǎn)（a，b）在x軸上或x軸下方時(shí)，有且只有一條切線；如果點(diǎn)（a，b）在曲線y=ex上，有且只有一條切線；如果點(diǎn)（a，b）在曲線左上方，則沒(méi)有切線；由圖像可知，點(diǎn)（a，b）在圖像的下方，且在x軸上方時(shí)，有兩條切線，所以0

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)本題不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于過(guò)某點(diǎn)作已知曲線的切線問(wèn)題，可以借助函數(shù)圖像判斷切線的大致位置，通過(guò)分類討論一一排除不符合要求的情況，最終得到需要的答案.這種方法對(duì)于解決解析幾何類似的問(wèn)題同樣適用．

應(yīng)用4：數(shù)形結(jié)合在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用

【例4】（2023年河南新鄉(xiāng)市三模）已知函數(shù)f（x）=xex，若函數(shù)f（x）=［f（x）］2-m［f（x）］+m-1有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（? ）

A.（0，1）????? B. -1e，0

C.1-1e，1?? D.1-1e，1∪（1，+∞）

解析：因?yàn)閒（x）=xex，所以f′（x）=ex+xex=（x+1）ex，令f′（x）>0，得x>-1，令f′（x）<0，得x<-1，

所以f（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，在（-1，+∞）上是增函數(shù)，所以f（x）min=f（-1）=-1e.

又因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，f（x）=xex<0，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=xex>0，f（x）的圖像如圖所示：

則f（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程［f（x）］2-m［f（x）］+m-1=0

有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令t=f（x），則t2-mt+m-1=0，解得t1=1，t2=m-1.由圖可知方程f（x）=1有一個(gè)正根，因?yàn)榉匠蘁（x）=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以方程f（x）=m-1有兩個(gè)不相等的負(fù)根，

所以-1e

應(yīng)用5：數(shù)形結(jié)合在含絕對(duì)值的三角函數(shù)中的應(yīng)用

【例5】（2023年山東高三統(tǒng)考）已知函數(shù)f（x）=sin x+cos x+｜sin x-cos x｜，下列結(jié)論正確的是（? ）

A.函數(shù)圖像關(guān)于x=π4對(duì)稱

B.函數(shù)在-π4，π4上單調(diào)遞增

C.若｜f（x1）｜+｜f（x2）｜=4，則x1+x2=π2+2kπ（k∈Z）

D.函數(shù)f（x）的最小值為-2

解析：由題意可得：f（x）=sin x+cos x+sin x-cos x

=2cos x，sin x

2sin x，sin x≥cos x

=2cos x，x∈-34π+2kπ，14π+2kπ

2sin x，x∈14π+2kπ，54π+2kπ

（k∈Z） ，

即可繪出函數(shù)圖像，如下所示：

故對(duì)稱軸為x=π4+kπ（k∈Z），A正確；

由圖像易知，函數(shù)在-π4，0上單調(diào)遞增，0，π4上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；

要使｜f（x1）｜+｜f（x2）｜=4，則f（x1）=f（x2）=2，由圖像可得x1=2k1π或x1=π2+2k1π、x2=2k2π或x2=π2+2k2π（k1，k2∈Z），故x1+x2=2kπ或x1+x2=π2+2kπ或x1+x2=π+2kπ（k∈Z），C錯(cuò)誤；

當(dāng)x=5π4+2kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值f（x）min=-2，D錯(cuò)誤.故選：A．

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于給定類似于函數(shù)y=｜sin x±cos x｜、y=｜sin x+cos x｜+｜sin x-cos x｜等函數(shù)解析式，可以先去掉絕對(duì)值，再畫出圖像，從而利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)求解相關(guān)問(wèn)題，可通過(guò)學(xué)習(xí)這一道題會(huì)一類題的效果.未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究稍復(fù)雜型帶絕對(duì)值的同類題型求解．

應(yīng)用6：數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)求ω問(wèn)題中的應(yīng)用

【例6】（2022年山西運(yùn)城高三聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）=cos ωx-3sin ωx（ω>0），若f（x）在區(qū)間［0，2π］上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的取值范圍是（? ）

A.53，2312

B.1912，136

C.53，136 D.1912，116

解析：f（x）=cosωx-3sinωx=2cos（ωx+π3），令t=ωx+π3，由x∈［0，2π］，則t∈π3，2πω+π3；

因?yàn)閒（x）在區(qū)間［0，2π］上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，即y=2cos t在π3，2πω+π3上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn).作出y=2cos t的圖像（如圖所示），

則7π2≤2πω+π3<4π，解得1912≤ω<116，

故ω的取值范圍是1912，116.故選：D．

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)本題我們不難發(fā)現(xiàn)，在三角函數(shù)已知零點(diǎn)或極值點(diǎn)求ω，往往可以利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)作圖求解，對(duì)于較復(fù)雜的函數(shù)，則可通過(guò)誘導(dǎo)公式或三角恒等變換公式，將其轉(zhuǎn)化為形如y=Asin（ωx+φ）+b等形式，再將ωx+φ看成一個(gè)整體，進(jìn)而結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解，我們要通過(guò)學(xué)習(xí)這一道題，掌握好解題通法，達(dá)到會(huì)解一類題的效果．

應(yīng)用7：數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)求圖像交點(diǎn)相關(guān)的問(wèn)題中的應(yīng)用

【例7】（2023年福建龍巖高三統(tǒng)考）函數(shù)f（x）=1+cos12-xπ+xsin（1+x）π在區(qū)間-72，112上的所有零點(diǎn)之和為（? ）

A.6?? B.8?? C.12?? D.16

解析：由題意可得：f（x）=1+cos12-xπ+xsin（1+x）π=1+cosπ2-πx+xsin（π+πx）=1+sin πx-xsin πx，

令f（x）=0，且f（1）=1≠0，可得sin πx=1x-1（x≠1），∵y=sin πx與y=1x-1均關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，

由圖可設(shè)y=sin πx與y=1x-1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，根據(jù)對(duì)稱性可得

x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2，故函數(shù)f（x）

在-72，112上所有零點(diǎn)之和為2×4=8.故選：B．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合處理函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的問(wèn)題，若給定的函數(shù)不能直接

求解或不能直接畫圖，則需通過(guò)分解轉(zhuǎn)化，將一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的問(wèn)題，然后數(shù)形結(jié)合，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，或判斷橫坐標(biāo)之間有何關(guān)系，然后再進(jìn)一步解決問(wèn)題．

應(yīng)用8：數(shù)形結(jié)合在平面向量隱圓問(wèn)題中的應(yīng)用

【例8】（2023年吉林市三模）已知，是單位向量，且·=0.若向量滿足--2=1，則的最大值是?? ．

解析：由·=0，得⊥，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則OA==（1，0），OB==（0，1），設(shè)=OC=（x，y） ，由--2=1，

得（x-1）2+（y-2）2=1 ，所以點(diǎn)C在以Q（1，2）為圓心，1為半徑的圓上．

所以||max=｜OQ｜+1=5+1，故答案為：5+1．

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，又是常用的數(shù)學(xué)方法.把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決問(wèn)題過(guò)程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，往往能夠使困難問(wèn)題簡(jiǎn)潔化、抽象問(wèn)題詳細(xì)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性和敏捷性的有機(jī)結(jié)合．

【本文系全國(guó)教育規(guī)劃課題（教育部重點(diǎn)課題）“粵港澳大灣區(qū)背景下中學(xué)拔尖創(chuàng)新人才高中-高校貫通式培養(yǎng)的路徑研究”（立項(xiàng)號(hào)：DHA230397，主持人：葉麗琳）研究成果】

責(zé)任編輯 ?徐國(guó)堅(jiān)