陸曉松

[ 摘 要 ]最近發(fā)展區(qū)理論、社會建構主義理論、認知建構主義理論是“支架式”教學模式的理論基礎.研究者以“因式分解”的教學為例，從“做數(shù)學”的角度出發(fā)，分別從“設計組塊支架，揭露概念的發(fā)生與還原過程”“設計補償支架，體驗概念的同化與順應過程”“設計共變支架，領悟概念的沖突與統(tǒng)一關系”三方面展開教學與思考.

[ 關鍵詞 ]“支架式”教學；最近發(fā)展區(qū)；教學

支架式教學模式是基于最近發(fā)展區(qū)理論發(fā)展而來的一種教學方式，它強調主動建構的重要性，而教師適當?shù)狞c撥與引導就是為學生提供支架的過程，當學生獲得自主解決問題的能力后，教師再將支架撤銷.本文以“因式分解”的概念教學為例，具體談談如何在教學中借助實驗設置支架，以提高教學效率，增強學生對知識的自主建構能力.

理論基礎

1.最近發(fā)展區(qū)理論

維果斯基認為人的認知實際發(fā)展水平與潛在發(fā)展水平之間存在一個區(qū)域為“最近發(fā)展區(qū)”.這就好比登山的起點與山頂之間的區(qū)域，想要從起點出發(fā)到達山頂，需要付出很大的努力.本文所提到的支架就如同陪跑者的攙扶，讓登山的過程更加順暢.如圖1，教師通過對學生已有認知水平的研究，確定其潛在發(fā)展水平，再以各種手段為學生搭建合適的支架幫助學生突破困難，完成學習任務.

2.社會建構主義理論

該理論認為學習是個體與同伴之間的互動過程，學習主體在文化支架的輔助下積極參與實踐活動，并學會應用相關工具習得新知.同時，該理論強調數(shù)學教學要創(chuàng)設合理的情境，為學生提供豐富的教學素材、工具與引導等，以更好地幫助學生建構新知.支架式教學就是在這種理論基礎上形成與發(fā)展而來的，它可以更好地幫助學生掌握并建構新知.

3.認知建構主義理論

該理論認為當新知進入學習主體的認知范疇時，學習者原有的認知結構與新知之間會形成一種不平衡的沖突狀態(tài)，人腦則會想方設法地將新知與已有的知識結構勾連起來，通過同化或順應，將新知納入原有的知識體系中，擴充知識結構，達到新的認知平衡.學生的認知就在這種循環(huán)往復中不斷發(fā)展、推進.支架式教學就是基于此基礎，以支架作為新舊認知之間的橋梁，構建新的知識體系.

教學實踐

1.設計組塊支架，揭露概念的發(fā)生與還原過程

組塊是指人腦將一些類似的物體感知為一個組塊的能力，如常見的“問題反映塊”就屬于組塊的范疇.從人腦組織結構的角度來分析，我們的左腦擅長概念、語言、細節(jié)、邏輯思維、計算或抽象思維等常規(guī)思維，右腦則對形象思維、音樂欣賞、圖像認知與三維空間等有著直接影響.從左右腦的分工來看，右腦承載著數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的功能.

基于以上分析，我們在設計認知支架時，可結合大腦分工特點進行創(chuàng)設，從不同角度培養(yǎng)學生的學習能力與創(chuàng)造意識.設計時，教師需思考如下問題：①設計的支架要便于知識的“再發(fā)現(xiàn)”；②設計的思維組塊可將學生置于問題中，促進常規(guī)思維與創(chuàng)新思維的互換；③通過解決問題讓學生親歷概念的發(fā)生與還原過程，落實教學目標.

教學活動一

（1）如圖2，要求學生以實驗的方式，用2張B型紙與1張C型紙拼接成一個長方形，計算拼接而成的圖形的面積，并寫出等式.

（2）將1張B型紙全部覆蓋于C型紙上，求未被覆蓋部分的面積，并寫出等式.

第一步 分別準備2張B型紙與1張C型紙，學生自主拼圖形成圖3①.結合圖示，從局部出發(fā)可知大長方形的面積為a2+2ab；而從宏觀的角度來分析，長方形的面積為a（a+2b）.從這兩種計算方法可以看出左右腦呈現(xiàn)出來的思維差別.將兩種計算方法結合在一起就組成等式：a2+2ab=a（a+2b），此為一般化思維的過程，是學習的一種常見模式.

第二步 學生自主將1張B型紙全部覆蓋于C型紙上，大部分學生呈現(xiàn)的結果如圖3②所示.從局部的角度分析，未被覆蓋部分的面積為a2-ab；而從整體的角度來看，未被覆蓋部分的面積為a（a-b），此為右腦認知在發(fā)揮具體的作用.從不同的角度來觀察會獲得不同的思維，結合以上分析，可得等式：a2-ab= a（a-b）.此為一種數(shù)學常規(guī)現(xiàn)象，屬于將“合情”上升至“合理”，屬于概念的有序抽象.

第三步 從算理內部關系出發(fā)，驗證以上新發(fā)現(xiàn)的兩個等式是否合理.此過程中，以“單項式與多項式相乘”的方法即可確定其科學性，如計算a（a+2b）與a（a-b），就能揭露整式乘法和因式分解的互逆關系.

設計意圖 此環(huán)節(jié)的設計以實驗組塊模式為主，意在引導學生從直觀的視覺中感知因式分解的內涵與本質.學生在探索過程中，如果把拼長方形的活動視為“組塊支架”，那么活動過程中的拼圖、算圖以及抽象而來的結論則是將“新異”轉化成一種數(shù)學常規(guī)并抽象出相應概念的過程，屬于認知的一般方式.同時，單項式與多項式相乘知識的應用，可幫助學生還原概念的發(fā)生過程，讓學生從真正意義上理解因式分解的概念與內涵.

2.設計補償支架，體驗概念的同化與順應過程

補償支架一般以“做數(shù)學”的方式植入逆向思維，幫助學生建立概念與概念的關系體系，這對促進學生數(shù)學思維的發(fā)展具有重要意義.常見的方法是帶領學生從不同的視角來觀察與分析問題或通過一題多解發(fā)散思維.如結合圖示來描述因式分解的概念時，就可應用“像這樣……，稱為……”的表述模式體現(xiàn)概念的關系，這屬于感性思維的補償.

由于“拼圖”活動的開展，學生的思維從感性轉化為理性，并在操作與思考中初步發(fā)現(xiàn)概念的存在.“變形”過程主要體現(xiàn)在將因式分解和整式乘法建立逆向關系上，這是對概念進行系統(tǒng)表達的基礎，能幫助學生更好地抽象與補償概念的屬性（等號右側為幾個整式的積）.

從認知建構心理學出發(fā)，學生建構概念必須經過同化與順應兩個過程.課堂上，對因式分解概念的同化主要通過拼圖法來暴露“整式乘法”的算理；對概念的順應則于“變式拼圖”的基礎上，通過變形思想的應用將因式分解的內部關系暴露出來，以擴大學生的經驗應用范圍，促使學生更好地理解因式分解.

教學活動二

（1）取圖2所示的A，B，C型紙各1張、3張、2張拼接成長方形，從不同角度對所拼圖形的面積進行計算，將不同算法列成等式.

（2）借助拼圖來因式分解二次三項式a2+4ab+3b2.

第一步 學生自主拼圖（圖4①），從整體與局部兩個維度出發(fā)，針對拼接而來的長方形的面積可列出式子2a2+ 3ab + b2與（a + b）（2a + b），第一個式子是大腦枕葉的視覺思維發(fā)揮了作用，學生從可視化的圖中發(fā)現(xiàn)二次三項式的系數(shù)實則為各種規(guī)格紙張的數(shù)量.經探索，列出等式：（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+ b2，此為概念的同化過程.

第二步 如圖4②，通過拼圖分解因式a2+4ab+3b2（二次三項式）.將該式轉化成紙片的張數(shù)為概念的補償和變式，而拼圖的過程則屬于分解因式的過程，即a2+4ab+ 3b2=（a+b）（a+3b）為概念的順應.此過程顯然擴大了經驗的適用范圍，也就是把“整式乘法”擴展到“因式分解”，充分豐富了學生的腦認知經驗.

設計意圖 補償支架的設置，讓學生在算圖思維的參與下學會按張或按式拼圖建構概念關系.由此，使得學生對因式分解的內涵有了更進一步的認識.若將“拼圖與算圖”理解為概念的同化，則“張”與“式”間的變式就是概念的順應，此過程凸顯了數(shù)學思維的可逆性與補償性，有效促進了概念關系的建立.

3.設計共變支架，領悟概念的沖突與統(tǒng)一關系

“共變”本為哲學領域常用的一個詞，是一種變量思想，揭示變量運動變化的共同趨勢，應用到數(shù)學領域則具備抽象與普遍性特征.如我們所熟悉的“舉一反三”“道生無限”等，就屬于共變的常規(guī)形式.共變支架模式的設計，可從“不確定”的角度出發(fā)，如半開放、開放、反觀開放與條件性開放等都屬于“不確定”共變支架的類型，常見的有“請舉例描述你對某個概念的理解”“請設計一個類似的實驗”等.

從數(shù)學層面上來說，一些不確定性往往預示著創(chuàng)新的開始，對促進學生創(chuàng)造思維的發(fā)展有積極的意義.教師可在此環(huán)節(jié)設計一些具有相關性的問題，讓學生身處與之類似的情境中，逐漸完善對單個概念、單元概念以及系統(tǒng)概念的關聯(lián)認識.如利用“a×a，b×b，a×b（a > b）”規(guī)格的紙張進行拼接長方形的實驗，教師可結合學生的認知水平設計具有一定層次的實驗組塊，從任意拼圖寫關系式出發(fā)，到從拼接而來的圖形關系式著手，再到固定紙張數(shù)量拼圖及關系式的書寫等，這些都屬于共變支架的應用.此過程中，用不確定的紙張數(shù)量來拼圖最容易引起學生的思維沖突，能促進學生形成概念的共識，而算理推演和證悟的參與可有效化解學生的認知沖突，幫助學生形成概念的統(tǒng)一.此為共變支架應用的主要意義，對提升學生的領悟能力具有重要作用.

教學活動三

問題 嘗試用圖2中不同類型的紙張拼成面積為a2+4ab+b2的長方形，若不好拼，思考該如何添加紙張，以拼成相應的圖形.

第一步 按照問題條件所給的關系式a2+4ab+b2進行任意長方形的拼接，通過手腦協(xié)作初步感知能否完成這個任務，從拼圖的過程來判斷該式是否可以因式分解，并說出判定依據(jù).

第二步 與學生積極互動，適當點撥學生在拼圖過程中通過添加紙片的方式解決問題，這是改變式子中單項式系數(shù)的做法，即把原式轉化為一個新的二次三項式，使得由新的式子可以順利拼出長方形.多項式a2+3ab+2b2與a2+4ab+4b2為大部分學生研究的內容，如圖5，拼接而成的長方形與正方形關系式分別為a2+3ab+2b2=（a+b）（a+ 2b）與a2+4ab+4b2=（a+2b）2.

設計意圖 該活動的設計意在通過式子引發(fā)學生的拼圖認知沖突，讓學生從拼圖中感知并不是所有的二次三項式都具備可因式分解的特征，這是外顯因式分解本質的過程.而紙張的調整則直接將多項式中各單項式的系數(shù)問題暴露在學生面前，讓學生通過不斷地嘗試拼長方形，以化解原來不好拼圖的認知沖突，從真正意義上實現(xiàn)概念的共變與證悟，發(fā)展學生的探究意識與逆向思維.

總之，支架式教學的價值并不僅僅局限于概念的探索，還體現(xiàn)在學生“做數(shù)學”過程中產生的興趣、好奇等.事實證明，組塊支架、補償支架與共變支架等可將一些“新異”知識轉化為“常規(guī)”內容，這是促使左右腦協(xié)調的過程，對同化與順應概念、發(fā)展學生的數(shù)學創(chuàng)造力具有重要意義.因此，這是一種發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教學模式，值得每一位教育工作者去研究與探索.