黃守明

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在繼承原有“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）和“四能”（發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力）的基礎(chǔ)上，聚焦于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，這為基于問題解決的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供了新的思路。教師作為教學(xué)活動的組織者、引導(dǎo)者，應(yīng)該以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力為出發(fā)點和落腳點，結(jié)合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律、學(xué)習(xí)認知規(guī)律，積極探究課堂教學(xué)新路徑。

“相似三角形”是初中數(shù)學(xué)中一個非常重要的概念，它在幾何學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。在人教版初中數(shù)學(xué)教材中，相似三角形被安排在第二十七章“相似”中，是這一章的核心內(nèi)容之一。相似三角形的判定和性質(zhì)是本節(jié)課的重點，如兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等、三邊對應(yīng)成比例等，這些判定方法都是通過一定的條件來判斷兩個三角形是否相似。同時，相似三角形還具有一些重要的性質(zhì)，如對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例等。本節(jié)教材內(nèi)容豐富、結(jié)構(gòu)清晰，教師應(yīng)該結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的重點和難點，以問題解決為主要線索，構(gòu)建高品質(zhì)數(shù)學(xué)課堂，幫助學(xué)生理解和掌握相似三角形的基礎(chǔ)知識和應(yīng)用技巧，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力等，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

一、啟疑——引入問題與創(chuàng)設(shè)情境

教師：同學(xué)們，今天我們要學(xué)習(xí)一個新的知識點——相似三角形。在開始之前，請大家先觀察兩張圖片。

（PPT出示兩張相似的三角形圖片，即△ABC和△A′B′C′）

教師：大家有沒有發(fā)現(xiàn)這兩張圖片中的三角形有什么共同點呢？

學(xué)生：這兩個三角形的形狀好像差不多。

教師：很好，有同學(xué)說這兩個三角形的形狀差不多，大家再仔細觀察一下，還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生：我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形中的角也是對應(yīng)的，如△ABC和△A′B′C′中的角A和角A′，角B和角B′，角C和角C′，它們都是對應(yīng)相等的。

教師：這位同學(xué)說得很對，這兩個三角形中的對應(yīng)角是相等的，那么我們能不能說這兩個三角形是相似的呢？

學(xué)生：老師，我覺得可以這么說，因為它們的對應(yīng)角相等，而且形狀也差不多。

教師：很好，這位同學(xué)的想法很有道理，那么我們就給這兩個三角形取個名字，叫做相似三角形?，F(xiàn)在請大家根據(jù)剛才的觀察和討論，總結(jié)一下相似三角形的定義。

學(xué)生：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。

教師：這位同學(xué)總結(jié)得非常好。

二、質(zhì)疑——引導(dǎo)學(xué)生主動探究

教師：同學(xué)們，接下來，我們要來學(xué)習(xí)判定三角形相似的方法。大家先想象一下，如果我們想要判斷兩個三角形是否相似，可以從哪些方面來考慮呢？

學(xué)生：我覺得可以從邊和角來考慮。如果兩個三角形的邊成一定比例，或者有相同大小的角，那么它們可能就是相似的。

教師：這位同學(xué)提出了一個很好的思路，那么我們今天就來探討一下，如何從邊和角的角度來判定三角形的相似。請同學(xué)們先討論，然后提出看法。

（學(xué)生積極交流、討論，踴躍發(fā)言）

教師：同學(xué)們討論出什么結(jié)論了呢？

學(xué)生：如果有兩個三角形，它們有兩條邊的長度成一定比例，并且夾角也相等，那么這兩個三角形就是相似的。

教師：不錯。那么還有誰能說一說其他方法呢？

學(xué)生：我發(fā)現(xiàn)如果有兩個三角形，它們兩角分別對應(yīng)相等，又或者三個角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。

教師：很好。接下來，還有誰來說一說新的發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生：我發(fā)現(xiàn)可以根據(jù)三角形的三條邊的情況進行判定。若兩個三角形的三條邊成一定比例，則這兩個三角形相似。例如，△ABC和△A′B′C′，它們所對應(yīng)的邊分別為4 cm、7 cm、9 cm和8 cm、14 cm、18 cm，則△ABC和△A′B′C′是相似的。

教師：是的，這種判斷方法非常簡單。

學(xué)生：老師，我還發(fā)現(xiàn)如果平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

教師：沒錯，這是平行線判定定理，是很多同學(xué)會忽略的一個點，看來你觀察得非常仔細。

那么，相似三角形的判定還有沒有第五種方法呢？

學(xué)生：如果有兩個直角三角形，它們的斜邊成一定比例，且相同的斜邊所對應(yīng)的直角邊長度也成一定比例，那么這兩個直角三角形就是相似的。判定的關(guān)鍵點在于了解兩個直角三角形的斜邊和直角邊。

教師：非常棒。你們能舉例說明嗎？

學(xué)生：假設(shè)我們有兩個直角三角形，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，Rt△ABC的斜邊長度為5 cm，它的一條直角邊長度為3 cm；Rt△A′B′C′的斜邊長度也為10 cm，它的一條直角邊長度也為6 cm，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′就是相似的三角形。

教師：很好。這就是我們今天學(xué)習(xí)的五種判定三角形相似的方法。大家有沒有什么疑問？

（教師借助多媒體展示總結(jié)表，見表1）

三、解疑——實踐操作與問題解決

教師：同學(xué)們，我們來看一個實例，請大家仔細觀察圖1，并思考以下幾個問題：

問題1：圖1中的兩個三角形是否相似？為什么？

問題2：如果這兩個三角形相似，那么它們的相似比是多少？

問題3：如果這兩個三角形的相似比是2∶1，那么它們的周長之比是多少？

（學(xué)生獨立思考，然后回答）

學(xué)生：這兩個三角形是相似的，因為第一個三角形的兩個角和一條邊的長度與第二個三角形的對應(yīng)角和邊長度相等。

學(xué)生：這兩個三角形的相似比是2∶1，因為第一個三角形的兩個角和一條邊的長度分別是第二個三角形的對應(yīng)角和邊長度的兩倍。

學(xué)生：如果這兩個三角形的相似比是2∶1，那么它們的周長之比也是2∶1，因為相似三角形的對應(yīng)邊成比例。

教師：非常好，看來大家對相似三角形的定義、判定方法和性質(zhì)掌握得不錯?，F(xiàn)在，我將大家分成多個小組，以小組為單位，請大家根據(jù)所學(xué)知識，通過合作、分工，共同探討相似三角形的問題，并在規(guī)定時間內(nèi)完成。

例題1：如圖2，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD、BC上的點，且EF∥CD，G則是邊AD延長線上一點，連接了BG，那么圖2中有幾個三角形與△ABG相似，分別是哪幾個三角形？

（學(xué)生以小組為單位進行合作探究，教師巡視并給予指導(dǎo)）

教師：好，時間到。同學(xué)們，經(jīng)過剛才的小組合作探究，相信大家對尋找相似三角形有了更深入的理解。那么，哪位同學(xué)愿意先來分享一下你們的討論成果呢？

學(xué)生：老師，我們小組在討論中發(fā)現(xiàn)，△GDM與△GAB相似，因為這兩個三角形有一個共同的角G，而由于DM與AB平行，所以兩個三角形的邊長GA與GD、GB與GM之間存在比例關(guān)系，所以根據(jù)“平行線判定定理”，可以判定這兩個三角形相似。同樣，EN與AB平行，我們得出△GEN與△GAB相似。

學(xué)生：我們小組在討論中發(fā)現(xiàn)了其他平行線段，由于DM與EN平行，所以我們得出△GDM與△GEN相似。

教師：非常好！你們已經(jīng)熟練地應(yīng)用了“平行線判定定理”來尋找相似三角形。那么，與△ABG相似的三角形一共有多少個呢？

學(xué)生：根據(jù)我們的討論，與△ABG相似的三角形一共有4個。

教師：非常棒！你們的探究非常深入?？磥泶蠹叶颊莆樟藢ふ蚁嗨迫切蔚姆椒?。

四、回顧——課后總結(jié)與作業(yè)布置

教師：同學(xué)們，接下來，我們來回顧一下本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。誰來總結(jié)一下？

學(xué)生：首先，我們學(xué)習(xí)了相似三角形的定義，即對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。

學(xué)生：我們學(xué)習(xí)了相似三角形的判定方法，一共有五種，包括：平行線判定定理、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等、三邊對應(yīng)成比例、兩角對應(yīng)相等、直角三角形相似判定定理。

學(xué)生：我們學(xué)習(xí)了相似三角形的性質(zhì)，包括對應(yīng)邊成比例等。

學(xué)生：我們利用相似三角形的性質(zhì)解決了實際的問題。

教師：沒錯，這就是我們今天所學(xué)的重要知識。接下來，請大家完成課后練習(xí)題，并嘗試解決以下問題：

作業(yè)1：完成課本相關(guān)練習(xí)題。

作業(yè)2：已知兩個相似三角形，其中第一個三角形的兩邊長分別為6 cm和8 cm，第二個三角形所對應(yīng)的兩邊長分別為18 cm和24 cm。求它們的相似比。

作業(yè)3：在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DE平行于BC，且BD∶AD=3∶2，那么△ABC與△ADE的周長之比是多少？

在此次教學(xué)中，我主要設(shè)計了啟疑、質(zhì)疑、解疑、回顧等多個環(huán)節(jié)，教學(xué)過程的設(shè)計非常合理。在啟疑環(huán)節(jié)，我通過展示兩張相似的三角形圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)它們的共同點。這個環(huán)節(jié)的教學(xué)效果較好，但在引導(dǎo)學(xué)生觀察時，我應(yīng)該適當(dāng)提出一些更具啟發(fā)性的問題，如“這兩個三角形的邊長有什么關(guān)系？”等，以幫助學(xué)生更全面地觀察和思考。

在質(zhì)疑環(huán)節(jié)中，我通過提問引導(dǎo)學(xué)生從邊和角的角度思考如何判斷兩個三角形是否相似。學(xué)生在討論中提出了五種判定方法。

在解疑環(huán)節(jié)中，我通過實際問題，引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識進行解答。學(xué)生在獨立思考后，能夠正確判斷兩個三角形是否相似，以及它們的相似比等。然后，我組織學(xué)生進行小組合作探究，進一步鞏固所學(xué)知識。

在回顧環(huán)節(jié)中，我引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識點進行歸納、總結(jié)，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)、鞏固，然后布置了課后作業(yè)，要求學(xué)生完成練習(xí)題，并嘗試解決一些拓展性問題。

總之，這堂課的教學(xué)設(shè)計相對科學(xué)，既有理論的學(xué)習(xí)，又有實踐的操作，既有課堂的學(xué)習(xí)，又有課后的拓展。但同時也存在一些可以改進的地方，需要我們在教學(xué)過程中不斷反思和調(diào)整，以提高教學(xué)效果。

（作者單位：福建省福州市閩清縣教育局）

編輯：溫雪蓮