張興良

探究式學(xué)習(xí)是一種基于學(xué)生主動(dòng)參與、探索的學(xué)習(xí)方式，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過探索、發(fā)現(xiàn)并解決問題來構(gòu)建知識(shí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，探究式學(xué)習(xí)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，提高他們的數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力。本文以“等腰三角形的性質(zhì)”教學(xué)為例，來探討如何構(gòu)建探究式學(xué)習(xí)模式。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.了解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2.能夠用綜合方法證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)定理。

3.經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的思想過程，了解證明的意義。

4.形成解決問題的一些基本策略，學(xué)會(huì)證明的過程，培養(yǎng)證明的應(yīng)用意識(shí)。

5.學(xué)會(huì)從操作中得出結(jié)論，再通過證明，論證得出的結(jié)論。

6.形成運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考實(shí)際問題的習(xí)慣。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程，證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，并能運(yùn)用性質(zhì)定理去解決相關(guān)的問題。

難點(diǎn)：在證明的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)證明的要求及步驟，體會(huì)證明的思想。

三、學(xué)法建議

學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)注意在證明思路和方法上的突破，弄清輔助線的添加及構(gòu)造；懂得通過圖形的對(duì)折、角度的測(cè)量、圖形的拼擺等方法探索圖形性質(zhì)并進(jìn)行證明的思路的重要性。等腰三角形的性質(zhì)及結(jié)論的證明方法和途徑都不是唯一的；輔助線的添加方法也是多樣的。因此，學(xué)生要注意探索證明的不同方法，提倡證明方法的多樣性；要主動(dòng)參與探索活動(dòng)，多和同學(xué)交流。新課標(biāo)要求學(xué)生在具體情境中學(xué)會(huì)探索、發(fā)現(xiàn)證明的思路，在交流中產(chǎn)生不同的證明方法。學(xué)生應(yīng)采取自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式；能聯(lián)系生活中的實(shí)物，如身邊的建筑物、自然界中的圖形等學(xué)習(xí)角平分線、等腰三角形的概念和性質(zhì)。

四、教學(xué)過程

（一）提出問題，導(dǎo)入新課

師：在七年級(jí)下學(xué)期三角形一章的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)三角形全等的幾條公理、定理，同學(xué)們還記得嗎？

生1：SSS、SAS、ASA、AAS，還有全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。

（設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)前面所學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生回憶證明的要求及步驟，以更好的狀態(tài)和充足的準(zhǔn)備進(jìn)入新內(nèi)容的學(xué)習(xí)。）

（二）應(yīng)用公理，探求新知

師：在前面的學(xué)習(xí)中，我們知道SSS、SAS、ASA是公理，不需要證明，是證明其他定理的基本依據(jù)，而AAS不是公理，需要證明，同學(xué)們能運(yùn)用公理證明AAS嗎？

學(xué)生思考、小組合作交流，請(qǐng)一位同學(xué)展示證明過程。

教學(xué)分享：

小組合作是探究式學(xué)習(xí)的重要形式之一。教師可以將學(xué)生分成若干小組，鼓勵(lì)他們交流和合作共同解決問題。通過小組合作，學(xué)生共同探索并學(xué)習(xí)新知識(shí)。

如圖1，已知兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角相等，且其中一組等角的對(duì)邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等（AAS）。

證明過程：

已知：∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF

求證：△ABC≌△DEF

證明：∵∠A+∠B+∠C=180°

∠D+∠E+∠F=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）

∴∠C=180°-（∠A+∠B），∠F=180°-（∠D+∠E）

又∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知）

∴∠C＝∠F

又∵BC=EF（已知）

∴△ABC≌△DEF（ASA）

（設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置具體問題，使學(xué)生在解決具體問題的過程中學(xué)會(huì)應(yīng)用已有知識(shí)進(jìn)行證明，既激發(fā)了學(xué)生的求知欲，又訓(xùn)練了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力；通過讓學(xué)生交流討論并動(dòng)手證明，以此來熟悉證明的基本要求和步驟，為后面的推理證明做準(zhǔn)備。）

（三）問題引領(lǐng)，歸納新知

師：等腰三角形除了有兩條邊相等外，它還有哪些性質(zhì)呢？

生2：將等腰三角形沿著頂角左右對(duì)折后，兩邊能完全重合，說明等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

生3：等腰三角形的兩個(gè)底角目測(cè)是相等的，所以我用量角器進(jìn)行了測(cè)量，結(jié)果表明這兩個(gè)角確實(shí)相等。

師：同學(xué)們通過對(duì)折、用量角器測(cè)量等方法得出了等腰三角形的兩個(gè)底角相等，但結(jié)論僅僅靠驗(yàn)證還不夠。

教學(xué)分享：在探究式學(xué)習(xí)過程中，為了最大限度地挖掘?qū)W生自身的潛力，教師可以給學(xué)生提供一些學(xué)習(xí)資源和參考資料，引導(dǎo)他們進(jìn)行學(xué)習(xí)和思考。所以，當(dāng)學(xué)生使用對(duì)折和量角的方法得出等腰三角形的兩個(gè)底角相等時(shí)，教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生，結(jié)論僅靠驗(yàn)證還不夠，需要進(jìn)一步進(jìn)行邏輯證明。

已知：如圖2，在三角形ABC中，AB=AC

求證：∠B=∠C。

生4：我們前面所學(xué)的公理和定理中，SSS、SAS、ASA、AAS，都是在兩個(gè)三角形中進(jìn)行對(duì)比得出的結(jié)論：兩個(gè)三角形的三條邊相等；兩個(gè)三角形的兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等；兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的兩邊及夾角相等；兩個(gè)三角形的兩角及其中一角對(duì)應(yīng)的邊相等。而在圖2中，只有一個(gè)三角形ABC，無法使用上面的公理或定理，結(jié)合我們剛才動(dòng)手操作時(shí)將三角形沿頂角對(duì)折從而分成兩個(gè)全等的三角形，我們可以在進(jìn)行推理證明時(shí)，取線段BC的中點(diǎn)D，然后連接AD，這樣就可以得到兩個(gè)全等的三角形ABD和ACD，從而證明等腰三角形的兩個(gè)底角相等。以下是具體證明步驟：

證明：取BC的中點(diǎn)D，連接AD

∵AB=AC，BD=CD，AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

教師：這位同學(xué)通過作線段BC中線的方法得到兩個(gè)全等三角形，進(jìn)而證明等腰三角形的兩個(gè)底角相等。除此之外，同學(xué)們還有什么別的方法可以證明∠B=∠C。

教學(xué)分享：

教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計(jì)一些啟發(fā)性問題，激發(fā)學(xué)生的思考和興趣。這些問題應(yīng)具有一定的挑戰(zhàn)性，能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探索和思考。

如，在證明等腰三角形的兩個(gè)底角相等時(shí)，第一位同學(xué)用添加中線的方法進(jìn)行論證后，教師不是一鼓作氣把剩余內(nèi)容全部講授完，而是及時(shí)提問其他同學(xué)還有什么更好的方法，引導(dǎo)學(xué)生用前面所學(xué)的公理和定理自行推理證明，并進(jìn)行展示，使學(xué)生能夠主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)過程中。

生5：我們可以作角A的平分線并與線段BC相交于D。連接AD，這樣在三角形ABD和三角形ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，根據(jù)公理SAS可知三角形ABD和三角形ACD全等。所以，可以得出∠B=∠C。

證明：作角A的平分線并與線段BC相交于D，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（SAS），

∴∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）。

生6：可以通過頂點(diǎn)A作底邊BC的垂線AD，在直角三角形ADB和直角三角形ADC中，AB=AC，AD=AD，根據(jù)直角三角形中一條斜邊和一條直角邊都對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形就是全等三角形的定理可知，直角三角形ABD和直角三角形ACD全等，所以可得出：∠B=∠C。

證明：通過頂點(diǎn)A作底邊BC的垂線AD，

∵在直角三角形中AB=AC，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（直角三角形中一條斜邊和一條直角邊都對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形就是全等三角形），∴∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）。

師：同學(xué)們剛才通過作頂角的平分線、作底邊的中線、底邊的高線，用三種不同的方法證明了兩個(gè)三角形全等。由此，我們知道了所作的輔線，它既是頂角的平分線，又是底邊的中線和高線。也就是說，我們?cè)谟貌煌姆椒ㄔ谧C明等腰三角形兩個(gè)底角相等的同時(shí)，又得出了等腰三角形的另一個(gè)性質(zhì)：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合，簡(jiǎn)稱“三線合一”。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過多種方法解決同一個(gè)問題，提高他們靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，同時(shí)為得出等腰三角形的另一性質(zhì)提供鋪墊；讓學(xué)生通過猜想、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、邏輯證明、總結(jié)歸納，使他們對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生深刻印象；讓學(xué)生在運(yùn)用不同方法進(jìn)行推理證明的過程中，學(xué)會(huì)由問題入手，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，逐步倒推去解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推斷能力。）

（四）思維拓展，實(shí)際應(yīng)用

師：剛才我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考一下，在實(shí)際生活中，有哪些地方利用了等腰三角形的這些性質(zhì)呢？

生7：建筑工人在建房時(shí)，為了確定房梁是否水平，常用的方法是把一塊等腰三角板放在梁上，從頂角頂點(diǎn)系一重物，如果系重物的繩剛好經(jīng)過三角板底邊的中點(diǎn)，就認(rèn)為房梁是水平的。

師：能說一下理由嗎？

生7：首先，使用的工具是等腰三角板，要想知道是否經(jīng)過中點(diǎn)，看三角板的刻度就知道了。當(dāng)重物經(jīng)過了等腰三角板的中點(diǎn)，那懸掛的線就是底邊的中線。根據(jù)三線合一，它也是底邊的垂線，而懸掛的線是鉛垂方向（由物理知識(shí)可知，在懸掛的線上掛上重物后，重力的方向是豎直向下的，跟它垂直的房梁就是水平的），所以房梁就是水平的。

生8：江河上的斜拉索橋就是等腰三角形的。只有路兩邊的拉索在長(zhǎng)度相等的情況下，才能保證兩邊受力相等，保證橋的受力平衡。

師：同學(xué)們的分享很精彩，說明大家不僅掌握了今天所講的知識(shí)，還能在平時(shí)的生活里用心觀察，能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去思考問題。希望以后大家能發(fā)現(xiàn)更多蘊(yùn)含在生活中的數(shù)學(xué)知識(shí)，做到學(xué)以致用，有所創(chuàng)新。

教學(xué)分享：探究式學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到真實(shí)的情境和問題中。因此，教師可以設(shè)計(jì)一些真實(shí)的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生通過探索和解決問題理解數(shù)學(xué)概念和原理，這樣既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中。

五、教學(xué)總結(jié)

學(xué)生可以通過寫日記、小結(jié)等方式總結(jié)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和收獲。教師可以提供及時(shí)的反饋和評(píng)價(jià)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)不足并改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。為了評(píng)估探究式學(xué)習(xí)模式的實(shí)施效果，教師可以采用多種評(píng)估方法，如觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)情況、聽取學(xué)生的意見和建議、進(jìn)行作業(yè)和考試等。同時(shí)，教師還可以根據(jù)學(xué)生在探究式學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)和成長(zhǎng)評(píng)估學(xué)生的思維能力和問題解決能力。

探究式學(xué)習(xí)模式是一種有效的學(xué)習(xí)方式，它可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力。在探究式學(xué)習(xí)的實(shí)施過程中，教師應(yīng)注重學(xué)生的主動(dòng)性，真實(shí)情境的創(chuàng)建、問題驅(qū)動(dòng)、合作學(xué)習(xí)的運(yùn)用，反思和評(píng)價(jià)的作用，構(gòu)建探究式學(xué)習(xí)模式，并不斷改進(jìn)和完善這一教學(xué)模式來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和教學(xué)質(zhì)量。

（作者單位：甘肅省榆中縣教學(xué)研究室）

編輯：蔚慧敏