陳巍，理學博士，現(xiàn)為中國科學院自然科學史研究所副研究員。主要研究科技知識在古代世界的傳播并把世界連為一體的歷程。喜愛“上窮碧落下黃泉”，品鑒各個文明在應(yīng)對相似問題時展現(xiàn)出的智慧。

古代絲綢之路上最著名的旅行者當屬馬可·波羅（1254—1324），2024年正值他逝世700 周年。這位來自威尼斯的商人，與他的父親和叔叔一道，發(fā)揚無與倫比的探險精神、好奇心和適應(yīng)能力，成為東西方文化交流的使者。正是他留下的口述記錄，為歐洲人提供了對遙遠東方的美好向往，激勵一代又一代人跨越漫長艱險的旅途。發(fā)現(xiàn)美洲的哥倫布就是繼承馬可·波羅壯志的最偉大人物之一。

在紀念馬可·波羅時，不應(yīng)忘記他首先是一名成功的商人。他的游記里有很多各地特產(chǎn)商品的價格信息、對旅途所需時間的預估，以及對中國貨幣、食鹽生產(chǎn)和稅收的描述，都反映了他接受的良好商人技能訓練。在當時的意大利，商業(yè)實踐顯著影響著數(shù)學知識的發(fā)展和普及。雖然馬可·波羅本人沒有留下數(shù)學著作，我們依然可以通過同時期的商業(yè)數(shù)學教材一探馬可·波羅可能擁有哪些數(shù)學知識。

從斐波那契出發(fā)

早在9 世紀，意大利的海上城邦開始興起。這些城邦雖彼此爭斗，但都奉行重視航海貿(mào)易的政策。以商業(yè)立國誘使它們不管在和平還是戰(zhàn)爭時期，都或多或少與東方的伊斯蘭世界保持聯(lián)系。這讓它們不僅成為東方和歐洲之間各種貨物交換的中介，還是科技、藝術(shù)等交匯融合的口岸。

直到12 世紀，意大利商人還使用羅馬數(shù)字記數(shù)，那是一種非位值制數(shù)字體系，只能結(jié)合從羅馬時代流傳下來的算盤進行運算，對于日常商業(yè)計算來說十分繁瑣。這一困境直到斐波那契（約1170—約1240 或1250）引入阿拉伯數(shù)字才得到解決。斐波那契來自比薩，因此又名比薩的萊昂納多。他的父親掌管北非港口布吉亞的貿(mào)易站，斐波那契自幼跟隨父親在北非游歷。那時的北非地區(qū)與意大利城邦雖信仰不同，在經(jīng)濟上的聯(lián)系卻已經(jīng)十分緊密。斐波那契在北非的算術(shù)學校很快發(fā)現(xiàn)一種與意大利完全不同，但在書寫大數(shù)字和計算乘除法方面都更加便捷的數(shù)字，它由原創(chuàng)于印度的1—9，以及阿拉伯人增加的0 組成。

這種數(shù)字在這之前幾十年已經(jīng)在翻譯成拉丁語的阿拉伯數(shù)學著作里出現(xiàn)過，不過傳播范圍很小。1202 年，斐波那契在《算術(shù)之書》中向歐洲人系統(tǒng)介紹了印度- 阿拉伯數(shù)字，包括整數(shù)和分數(shù)的表示方法。這部書包括許多純粹的數(shù)學知識，例如廣為人知的斐波那契數(shù)列。然而，斐波那契把面向商業(yè)的應(yīng)用型知識放在艱深的數(shù)學問題之前，反映了他心目中學習知識的優(yōu)先次序。這些實用知識包括貨幣和計量單位的換算，以及利潤、利息的計算等。從實際應(yīng)用起步，再過渡到數(shù)學難題，循序漸進的編排也是《算術(shù)之書》獲得成功的一個原因。

1227 年，斐波那契把《算術(shù)之書》加以修訂，獻給與他同為神圣羅馬帝國宮廷服務(wù)的另一名蘇格蘭科學家邁克爾·斯科特，這個版本在后世影響更大。盡管如此，阿拉伯數(shù)字在歐洲并沒有迅速取代羅馬數(shù)字，而是直到印刷術(shù)廣泛使用后才獲得壓倒性優(yōu)勢。

意大利的算術(shù)學校

斐波那契還著有另一部專門面向商業(yè)計算的著作，可惜此書已經(jīng)佚失。有學者指出，這部商業(yè)數(shù)學著作可能對隨后2 個世紀的商人教育產(chǎn)生更直接影響。這類教育主要是在13 世紀意大利各城邦開辦的算術(shù)學校里推行的。

嚴格來說馬可·波羅年輕時不一定接觸過阿拉伯數(shù)字，因為斐波那契的著作最先擴散到位于意大利西北部的比薩周邊，而威尼斯的算術(shù)學?？赡苁窃?4 世紀早期才建立的。馬可·波羅接觸阿拉伯數(shù)字要么是在東方旅行的途中，要么是1295 年他返回威尼斯之后。

目前現(xiàn)存最早的算術(shù)學校課本來自佛羅倫薩，成書于約1290 年。到14 世紀初，這類教材的內(nèi)容在不同城市已經(jīng)大同小異，主要包括對印度- 阿拉伯數(shù)字的介紹、用手指計算、整數(shù)和分數(shù)計算、比例計算、雙假設(shè)法、商業(yè)涉及的數(shù)學問題、實用幾何學、趣味數(shù)學、代數(shù)學等內(nèi)容。每個城市的教材在數(shù)學上都明顯受到斐波那契的影響，同時會根據(jù)當?shù)睾唾Q(mào)易往來地區(qū)的貨幣、度量衡、稅收等情況傳授知識。這些學校的學員不僅包括商人，還有會不時參與買賣的船員、工匠等。隨著識字率的提升，數(shù)學問題集又通過傳抄而在社會上廣泛流傳。

按今天的話說，商人們學習的數(shù)學知識的重點、難點主要集中在3 個“單元”，分別是“三的法則”“雙假設(shè)法”和“解方程”。

“三的法則”是中世紀商人最常用、最熟練的計算技巧。其實質(zhì)就是根據(jù)比例中的3 個已知量求出第4 個未知量。中世紀商人通常設(shè)法把已知量排列到比例算式的前3 位，把未知量排到最后，用現(xiàn)代方式表示相當于計算d=bc/a ，因此這類題目的表述方式是很重要的。例如課本里會出現(xiàn)這樣的問題：“如果400 磅胡椒價值49 又1/2 金幣，那么315 磅胡椒的價值是多少？”類似地還可以解決關(guān)于貨幣兌換、度量衡換算等問題。

“雙假設(shè)法”最早起源于中國的“盈不足術(shù)”，它的特點是對于求解類似ax+b=c 的線性方程問題，可以先提出2組不正確的答案，再利用公式得出最終最接近于正確的答案。同樣是前面的胡椒問題，可以先部分運用“三的法則”，得到400x =99/2×315，接下來畫出一個大× 符號，在× 的左上角和右上角分別寫2 次假設(shè)的x 值（例如圖中分別設(shè)x =10 和x =20），左下角和右下角分別寫2 次假設(shè)后與等式右側(cè)相差的數(shù)量（如圖中分別寫出2 次假設(shè)相差的11592 又1/2 和7592 又1/2），然后讓× 上的4個數(shù)字交叉相乘，再將2 個積相減，得到被除數(shù)（圖中結(jié)果是155925），再讓× 下方兩個數(shù)字相減，得到除數(shù)（圖中結(jié)果為4000），最后作除法計算，得出結(jié)果為38 又3925/4000（實際上還要換算成各級貨幣單位）。顯然對于比例求解來說，雙假設(shè)法顯得過于繁瑣，這一例題更多用來展示這種算法的步驟，同時也是告誡學生數(shù)學問題往往可以用不同方法得出答案。

在西方數(shù)學傳統(tǒng)中，方程一般被歸為阿拉伯數(shù)學家花拉子米的發(fā)明。在教材中會列出系數(shù)、未知數(shù)和常數(shù)擺放在不同位置的各類方程，除了一次和二次方程外，還有許多三次乃至四次的高階方程的解法，不過這些解法并不總是正確的。前面的胡椒問題也可以用方程解決，這時就不用再拘泥于“三的法則”里對數(shù)字順序的要求了，題目可以修改成“如果未知的數(shù)字給我315 磅胡椒，49 又1/2 金幣將給我400 磅胡椒”，當時還沒有未知數(shù)的表達符號，我們暫且用x 表示未知數(shù)，因此原題要計算的就是x/315=（99/2）400。兩邊都乘以315，再用右邊99/2 和315 的積除以400，就可以得到要求的未知數(shù)。

主要面向商人的算術(shù)學校在意大利持續(xù)繁榮到17 世紀，之后就隨著意大利城邦的衰落而逐漸減少。從以上問題中我們可以看出，當時商業(yè)數(shù)學教育主要沿循斐波那契傳統(tǒng)，力爭在滿足實際需要的基礎(chǔ)上訓練不同解題方法，為熱愛數(shù)學的人也留下了空間。不同城邦根據(jù)自身情況改編的算術(shù)教材，則從內(nèi)容上豐富了原本的數(shù)學著作?？梢哉f，數(shù)學家的數(shù)學和商人數(shù)學在當時是同源又平行發(fā)展的兩條脈絡(luò)。

回顧中國數(shù)學史，我們也可以發(fā)現(xiàn)元代以后，民間商業(yè)數(shù)學的聲勢逐漸浩大，與之相應(yīng)的是算盤取代算籌作為運算工具，但從數(shù)學角度講，這以后的中國本土數(shù)學水平卻一路走低，直到明末西方數(shù)學傳入才漸有起色。為什么意大利的兩條線索能夠并行發(fā)展、共同繁榮，而中國卻在商業(yè)數(shù)學始終傳承不輟的同時逐漸丟失原有數(shù)學優(yōu)勢，是值得深思的問題。