摘 要 為進(jìn)一步探討數(shù)字表征對貝葉斯推理的影響，特別是自然頻數(shù)促進(jìn)效應(yīng)的作用機(jī)制，以285 名小學(xué)生為被試，考察不同嵌套集合建模能力兒童在解決三種數(shù)字表征的貝葉斯推理問題時(shí)的表現(xiàn)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：（1） 具有高嵌套集合建模能力的兒童能更好地解決貝葉斯推理問題；（2） 相比于概率和幾率格式，兒童在自然頻數(shù)格式下的推理表現(xiàn)更好；（3） 概率格式下高低嵌套集合建模能力被試的推理表現(xiàn)無差異，但在自然頻數(shù)和幾率格式下，高嵌套集合建模能力被試的推理成績好于低嵌套集合能力被試。這表明在適當(dāng)?shù)臄?shù)字表征下，嵌套集合建模能力是影響兒童進(jìn)行貝葉斯推理的關(guān)鍵因素。

關(guān)鍵詞 兒童 貝葉斯推理 嵌套集合建模能力 數(shù)字表征

1 引言

日常生活中的兒童經(jīng)常會(huì)做出這樣的概率推理，當(dāng)看到地上有大灘積水，會(huì)認(rèn)為剛才下了雨，當(dāng)看到一群烏鴉都是黑的時(shí)，會(huì)認(rèn)為所有的烏鴉都是黑的。這樣的推理過程來自于兒童頭腦中仍在發(fā)展的推理意識。根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》，推理意識是兒童需要在小學(xué)階段掌握的核心素養(yǎng)之一，同時(shí)也是數(shù)學(xué)科目的六大核心素養(yǎng)之一（李星云， 2016）。貝葉斯推理作為一種根據(jù)先驗(yàn)知識和當(dāng)前證據(jù)信息進(jìn)行錨定、組合、調(diào)整，對逆條件事件進(jìn)行主觀概率估計(jì)的過程（謝云天， 史滋福， 2021），為兒童日后逐漸發(fā)展起來的概率推理素養(yǎng)、有效處理隨機(jī)性、識別事件之間的聯(lián)系、考慮替代行動(dòng)方案等能力的發(fā)展具有重要作用。

然而，大量研究表明，無論是普通大學(xué)生（Weberet al.， 2018）還是專家教授（Hoffrage et al.， 2015），成人似乎都無法很好地解決貝葉斯推理問題。不過，Téglás 等（2011）通過讓嬰兒選取裝有不同顏色比的黃藍(lán)小球盒子發(fā)現(xiàn)，即便是12 個(gè)月大的嬰兒也存在一些基本的概率直覺，而5 歲的兒童就能根據(jù)先驗(yàn)概率和證據(jù)信息，正確判斷一個(gè)黑色硬幣更有可能從哪個(gè)袋子里摸出，并且如果將證據(jù)信息更新，兒童還會(huì)改變策略（Girotto amp; Gonzalez， 2008）。這似乎說明，在還未接受系統(tǒng)的讀寫和數(shù)學(xué)技能教育時(shí)，兒童就已經(jīng)能基于先驗(yàn)概率和證據(jù)信息進(jìn)行定性的貝葉斯推理。

Zhu 和Gigerenzer（2006）最早通過實(shí)驗(yàn)探究小學(xué)兒童能否定量地進(jìn)行貝葉斯推理，結(jié)果表明，當(dāng)用概率格式（如某人撒謊的概率是80%）表征時(shí)，所有兒童都無法完成貝葉斯推理問題；但用自然頻數(shù)格式（如10 個(gè)人里面有8 個(gè)人撒謊）時(shí)，六年級兒童的正確率從0% 急劇上升到53.5%。雖然近來Pighin 等（2017）發(fā)現(xiàn)意大利兒童在自然頻數(shù)表征時(shí)的正確率僅為16%，沒能復(fù)制Zhu 和Gigerenzer（2006）中53.3% 這樣的高成功率，但確也發(fā)現(xiàn)了自然頻數(shù)格式對貝葉斯推理有促進(jìn)作用。

對于自然頻數(shù)促進(jìn)作用，目前存在兩種爭論的觀點(diǎn)：生態(tài)理性觀（Gigerenzer amp; Hoffrage， 1995）和嵌套集合假設(shè)（Barbey amp; Sloman， 2007）。生態(tài)理性觀根據(jù)進(jìn)化論的視角認(rèn)為，當(dāng)任務(wù)以進(jìn)化生態(tài)相一致的信息呈現(xiàn)時(shí)，人類的大腦應(yīng)該更擅長于這些任務(wù)（Brase， 2021a）。相比概率格式，人類更早接觸頻數(shù)格式，并在進(jìn)化過程中產(chǎn)生了一種獨(dú)特的頻數(shù)認(rèn)知機(jī)制，大腦會(huì)更自主地處理與頻數(shù)表征有關(guān)的數(shù)據(jù)信息，因而有更高的效率（Navarrete amp;Santamaria，2011）。而嵌套集合假設(shè)則認(rèn)為，自然頻數(shù)的促進(jìn)是由于自然抽樣過程將貝葉斯推理問題中的邏輯關(guān)系清晰化（Barbey amp; Sloman， 2007）。且眾多研究也表明，如果提供能夠明晰嵌套集合關(guān)系的樹圖（Binder et al.， 2021）、韋恩圖（Reani et al.，2018）和圖標(biāo)數(shù)組（Brase， 2021a）等都可以提高被試的推理成績。因此，即使使用概率表征，如果被試足夠有能力在心理中建立起與題目相對應(yīng)的嵌套集合關(guān)系或者模型，則預(yù)測會(huì)有更好的貝葉斯推理表現(xiàn)。可見，目前兩種理論的分歧主要在于自然頻數(shù)如何影響被試的內(nèi)部心理表征。

最近，Brase（2021b）結(jié)合嵌套集合理論和心理模型理論（Johnson-Laird， 1983），提出了嵌套集合建模能力（nested sets modeling ability）的概念，即推理者從概念上構(gòu)建嵌套集合的心理模型的能力。他們以大學(xué)生為被試，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，嵌套集合建模能力雖然不像數(shù)學(xué)能力和空間能力對貝葉斯推理能力的提高作用那樣顯著，但的確可以在一定程度上預(yù)測被試的貝葉斯推理表現(xiàn)，高嵌套集合建模能力個(gè)體的推理成績明顯好于低嵌套集合建模能力個(gè)體。近期的一項(xiàng)元分析表明，對自然頻數(shù)促進(jìn)作用的理論之爭主要在自然頻數(shù)如何影響個(gè)體的心理內(nèi)部表征（McDowell amp; Jacobs， 2017），這似乎可以在一定程度上解釋，Pighin 等（2017）之所以沒有復(fù)制Zhu 和Gigerenzer（2006）中的高正確率，可能是由于自然頻數(shù)對于不同嵌套集合建模能力兒童存在不同的影響，以致于兒童在心理中構(gòu)建對應(yīng)的嵌套模型存在差異。這可能因?yàn)椴煌瑖以诮虒W(xué)中對嵌套集合建模能力的培養(yǎng)不同，中國小學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中會(huì)更多地訓(xùn)練數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本公式，而老師在教學(xué)中也更側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯思維能力 （夏小剛， 呂傳漢， 2006），這更有助于兒童建立嵌套集合建模能力。對于正處在具體運(yùn)算階段的小學(xué)兒童，其思維可逆且開始進(jìn)行心理運(yùn)算，能在頭腦中依靠動(dòng)作的格式對事物的關(guān)系系統(tǒng)進(jìn)行逆反、互反、傳遞等可逆運(yùn)算（章勤瓊， 徐文彬，2016）。高嵌套集合建模能力可能使他們更好地感知貝葉斯問題中的嵌套結(jié)合結(jié)構(gòu)，進(jìn)而在心理上建立起對應(yīng)的集合模型促進(jìn)推理表現(xiàn)。因此，本研究假設(shè)，高嵌套集合建模能力的兒童的貝葉斯推理表現(xiàn)會(huì)優(yōu)于低嵌套集合建模能力兒童。

此外，采用幾率格式，如一枚硬幣有1/2 的機(jī)會(huì)在落地時(shí)是正面，也被認(rèn)為能將問題中嵌套的子集關(guān)系明晰，進(jìn)而促進(jìn)推理表現(xiàn)（Girotto amp;Gonzalez， 2001）。如Pighin 等（2017）的實(shí)驗(yàn)表明，兒童在幾率格式上的推理表現(xiàn)與自然頻數(shù)格式一致。但根據(jù)Brase（2021a）的研究，幾率格式雖然采用了相同的自然抽樣和整數(shù)格式，卻仍然無法達(dá)到與自然頻數(shù)一樣的促進(jìn)作用。而且和自然頻數(shù)不同的是，自然頻數(shù)具有多事件性質(zhì)（即重復(fù)投擲硬幣100 次，這100 次結(jié)果中大約有50 次是正面的），而幾率格式則具有單一事件性質(zhì)（如投擲一枚硬幣，這枚硬幣有1/2 的機(jī)會(huì)正面朝上）。因此，綜合Zhu 和Gigerenzer（2006）的研究，本文提出假設(shè)，兒童在概率、幾率、自然頻數(shù)這三種數(shù)字表征格式的貝葉斯推理表現(xiàn)是有差異的。加之，嵌套集合建模能力是將題目外部表征轉(zhuǎn)化為內(nèi)部心理模型的能力，而幾率格式雖然也能傳遞題目的嵌套集合關(guān)系，但同自然頻數(shù)格式的理解在本質(zhì)上仍有不同（Sirotaet al.， 2015），因此，本文假設(shè)，在解決不同數(shù)字表征的貝葉斯推理問題時(shí)，高嵌套集合建模能力兒童與低嵌套集合建模能力兒童的推理表現(xiàn)存在差異。

值得一提的是，關(guān)于貝葉斯推理表現(xiàn)，目前越來越多的研究者兼顧推理結(jié)果與推理過程，即不僅關(guān)注推理者所得結(jié)果是否正確，而且關(guān)注其在推理過程中所使用的策略，即兒童在進(jìn)行貝葉斯推理時(shí)，除了正確回答或隨意猜測（Zhu amp; Gigerenzer，2006），往往還通過選擇問題中的某一數(shù)字，如基礎(chǔ)比率（保守主義策略）、擊中率（換位表征策略）、誤報(bào)率（Gigerenzer et al.， 2021），或者在題目給的數(shù)字上加減任一數(shù)字（Pighin et al.， 2017）等典型錯(cuò)誤策略進(jìn)行回答。

綜上，本文試圖在以往研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合推理結(jié)果和推理策略，考察不同嵌套集合建模能力的兒童在概率、幾率和自然頻數(shù)等三種不同數(shù)字表征格式下貝葉斯推理的表現(xiàn)差異，以期探究理論之爭的根源，即嵌套集合建模能力是否為自然頻數(shù)促進(jìn)效應(yīng)的關(guān)鍵。本研究提出如下假設(shè)：（1）高嵌套集合建模能力兒童的貝葉斯推理表現(xiàn)優(yōu)于低嵌套集合建模能力兒童；（2）兒童在解決不同數(shù)字表征的貝葉斯推理問題時(shí)存在差異；（3）高嵌套集合建模能力兒童更受益于自然頻數(shù)表征，幾率其次，而在概率格式表征中，嵌套結(jié)合建模能力的作用不顯著。

2 研究方法

2.1 被試

隨機(jī)選取某兩所小學(xué)的285 名學(xué)生為被試，其中男生151 人（M=10.53 歲，SD =1.12 歲），女生134 人（M=10.50 歲，SD =1.08 歲），根據(jù)G*Power3.1 計(jì)算出至少需要被試數(shù)158，所有被試均沒有接受過貝葉斯推理的相關(guān)學(xué)習(xí)。

2.2 實(shí)驗(yàn)材料

實(shí)驗(yàn)材料以數(shù)字表征格式的不同分為三種（以金幣問題為例）：概率版本（一枚硬幣如果是金幣的話，檢測機(jī)器發(fā)出聲音的概率是80%）、幾率版本（一枚金幣用機(jī)器檢測了100 次，其中80 次發(fā)出了聲音），自然頻數(shù)版本（100 枚金幣中有80 枚金幣在用機(jī)器檢測時(shí)發(fā)出了聲音）。每種實(shí)驗(yàn)材料都包括嵌套集合建模能力測試（Brase， 2021b）和4 個(gè)貝葉斯推理問題（Pighin et al.， 2017）。其中，嵌套集合建模能力測試由與集合論相關(guān)的測試一和二組成，共18 個(gè)題目，每題答對記1 分。將高低嵌套集合建模能力以測試得分的中值9 作為分界，得分大于等于9 的為高嵌套集合建模能力，小于9 的則為低嵌套集合建模能力。

2.3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

采用3（數(shù)字表征：概率、幾率、自然頻數(shù)）× 2（嵌套集合建模能力：高、低）兩因素被試間設(shè)計(jì)。因變量為貝葉斯推理表現(xiàn)，以推理成績和推理策略為評價(jià)指標(biāo)。

參照Zhu 和Gigerenzer（2006）的研究，將標(biāo)準(zhǔn)答案正負(fù)百分之1 范圍內(nèi)的作答都被視為正確答案，以正確回答的題目數(shù)（分值為：0～4）為其推理成績。推理策略則依據(jù)Zhu 和Gigerenzer（2006）以及Pighin 等（2017）的研究將其分為3 種，貝葉斯策略（即以正確答案回答）、典型錯(cuò)誤策略：以基礎(chǔ)比率（保守主義策略，例如自然頻數(shù)版本問題1 中的100 個(gè)里的10 個(gè)）、擊中率（換位表征策略，例如自然頻數(shù)版本問題1 中的10 里的8 個(gè)）、誤報(bào)率（例如自然頻數(shù)版本問題1 中的90 里的9 個(gè)）進(jìn)行回答以及隨意猜測（除上述策略以外的回答）。

2.4 實(shí)驗(yàn)程序

在一節(jié)常規(guī)自習(xí)課上，由受過培訓(xùn)的任課老師將三種不同版本的測試材料（概率版本、幾率版本、自然頻數(shù)版本）以同等比例混合，在教室里隨機(jī)發(fā)放。每個(gè)兒童都有三十分鐘的時(shí)間完成測試。作答期間，老師沒有給兒童任何幫助，兒童也被告知問卷是匿名的，他們的表現(xiàn)不會(huì)被評估，所有完成測試的兒童都能獲得一份小禮品。

3 結(jié)果與分析

剔除未完成答卷4 份，有效回收281 份，回收率98%。將數(shù)據(jù)錄入計(jì)算機(jī)，運(yùn)用SPSS 26.0 進(jìn)行分析。描述統(tǒng)計(jì)的結(jié)果如表1 所示。

3.1 推理成績的分析

對推理成績進(jìn)行方差分析的結(jié)果表明，數(shù)字表征的主效應(yīng)顯著，F(xiàn) （2， 278） =13.89， p lt; .01， ηp2 =.09。事后檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，自然頻數(shù)格式明顯優(yōu)于幾率格式和概率格式，幾率格式明顯優(yōu)于概率格式。嵌套集合建模能力的主效應(yīng)顯著，F(xiàn) （1， 279） =14.81， p lt;.01， ηp2= .05，高嵌套結(jié)合建模能力被試的推理成績顯著優(yōu)于低嵌套集合建模能力被試。數(shù)字表征與嵌套集合建模能力的交互作用顯著，F(xiàn) （2， 278） =4.02， plt; .05， ηp2= .03。

進(jìn)一步簡單效應(yīng)分析發(fā)現(xiàn)，在概率格式下，高低嵌套集合建模能力被試的推理表現(xiàn)差異不顯著，而在自然頻數(shù)格式（F （1， 275） =11.85， p lt; .05）和幾率格式（F （1， 275） = 9.02， p lt; .05）下，高低嵌套集合建模能力差異顯著。二者的交互作用如圖1 所示。

被試反應(yīng)類型的百分比如圖2 所示。（1）對于正確的貝葉斯策略，在概率格式下，所有兒童都沒有使用正確的貝葉斯策略；而在幾率和自然頻數(shù)格式下，高嵌套集合建模能力被試使用貝葉斯策略顯著多于低嵌套集合建模能力被試（幾率：χ 2（1）=18.34， p lt; .01， V = .22；自然頻數(shù)：χ 2（1） = 22.28， plt; .01， V=.25）。（2）對于典型錯(cuò)誤策略（即使用基礎(chǔ)比率、擊中率、誤報(bào)率回答），相比于概率和幾率，在自然頻數(shù)下，無論嵌套集合建模能力高低，兒童都更少采用典型錯(cuò)誤策略（高能力：χ 2（2）=64.79， plt; .01， V = .31；低能力：χ 2（2） = 13.46， p lt; 01， V =.18）。（3）對于猜測策略，總體而言，無論何種數(shù)字表征，大多數(shù)兒童在解決貝葉斯推理問題時(shí)仍是采用猜測的策略。不過，高嵌套集合建模能力被試比低嵌套集合建模能力者使用猜測更少，χ 2（1） =29.76， plt; .01，V = .16。此結(jié)果與前人研究類似，即兒童錯(cuò)誤的回答主要是隨機(jī)猜測或直接采用題目中所出現(xiàn)的數(shù)字進(jìn)行作答（Pighin et al.， 2017）。

4 討論

4.1 數(shù)字表征對兒童貝葉斯推理的影響

本實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，兒童在自然頻數(shù)表征的貝葉斯推理中表現(xiàn)最好，他們更多采用正確的貝葉斯策略，更少出現(xiàn)典型的錯(cuò)誤回答。小學(xué)兒童依舊無法通過概率形式進(jìn)行貝葉斯推理，這與Zhu 和Gigerenzer（2006）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致?？梢?，自然頻數(shù)格式無論對兒童還是成人，仍是貝葉斯推理問題中更好的數(shù)字表征格式。兒童之所以在概率格式下的推理表現(xiàn)如此之低，這可能與概率格式的不熟悉和較高的計(jì)算難度有關(guān)。兒童看到概率格式表征下的問題可能會(huì)因?yàn)椴皇煜ぎa(chǎn)生畏難情緒和數(shù)學(xué)焦慮，影響其獨(dú)立思維進(jìn)而只能選擇題目中出現(xiàn)的數(shù)字進(jìn)行回答，無法正確地完成推理問題。Barroso 等（2021）的元分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)焦慮作為一種個(gè)體在解決與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題時(shí)，產(chǎn)生的緊張、焦慮等消極情緒，和數(shù)學(xué)成績之間存在顯著的負(fù)相關(guān)關(guān)系，而且它還會(huì)影響個(gè)體日常生活任務(wù)的執(zhí)行， 如健康和醫(yī)療決策（Rolison et al.， 2020）。近來，數(shù)學(xué)焦慮的機(jī)制和干預(yù)措施的探討已成為研究者的關(guān)注焦點(diǎn)（Rubinsten et al.， 2018）。因此，未來可以考慮更具生態(tài)效度的實(shí)驗(yàn)范式來測試兒童的數(shù)學(xué)焦慮，進(jìn)一步探討與兒童貝葉斯推理的具體影響。

此外，本研究結(jié)果表明，兒童在幾率格式條件下的表現(xiàn)優(yōu)于概率格式。雖然沒能復(fù)制Pighin 等（2017）的研究結(jié)果，但似乎其自然抽樣的方式也在一定程度上能幫助高嵌套集合建模能力者更好地完成推理。Brase（2008）對幾率格式和自然頻數(shù)促進(jìn)作用一致的解釋是，幾率格式的促進(jìn)作用很大程度上是被試將幾率格式和自然頻數(shù)格式混淆，即將單事件的幾率格式理解為多事件的頻數(shù)格式。而兒童在對幾率格式的理解上可能與自然頻數(shù)仍存在差異。背后的原因可能不僅是接受度和熟悉度上面的差別，而是兩者在概念和問題理解上的差別造成了無論是兒童還是成人都存在的推理困難。

根據(jù)Sirota 等（2015）的觀點(diǎn)，被試在自然頻數(shù)格式下的表現(xiàn)優(yōu)于幾率格式，是因?yàn)樽匀活l數(shù)格式能促使被試將貝葉斯問題解釋為可以用集合操作的問題，激活大腦中適當(dāng)?shù)闹R、問題模式和相應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，從而改進(jìn)貝葉斯推理。對推理者而言，盡管幾率格式同樣采用整數(shù)和自然抽樣，但它所表征的仍是單事件概率（Brase， 2021a），它更多涉及可能性以及概率知識。相比較而言，兒童在小學(xué)三年級就對集合和頻數(shù)統(tǒng)計(jì)有了初步的認(rèn)識和學(xué)習(xí)（唐佳麗， 李勇， 2022），所以兒童可能在自然頻數(shù)條件下時(shí)比幾率條件更熟悉問題的解決方式，進(jìn)而能更好地使用集合知識去理解并解決貝葉斯問題。這更符合嵌套集合假設(shè)的觀點(diǎn)，而不是生態(tài)理性觀。

4.2 高低嵌套集合建模能力在兒童貝葉斯推理中的作用

Johnson 和Tubau（2015）認(rèn)為，不該過度關(guān)注外部表征所帶來的在計(jì)算需求的便利，如自然抽樣使得問題結(jié)構(gòu)變得透明，而忽視了貝葉斯問題的文本理解和問題解決中所需的數(shù)字處理能力以及工作記憶、元認(rèn)知調(diào)節(jié)和相關(guān)存儲(chǔ)知識和技能的貢獻(xiàn)。由于嵌套集合建模能力是一種從心理上對嵌套集合進(jìn)行表征的能力，因此，本研究的結(jié)果也發(fā)現(xiàn)，無論是自然頻數(shù)還是幾率格式條件下，具有較高嵌套集合建模能力的兒童不僅在貝葉斯推理問題中有更好的表現(xiàn)，且有更低的猜測頻率。

根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，小學(xué)兒童的思維水平處于具體運(yùn)算階段（7～12 歲），該階段兒童的思維具有可逆性且開始逐漸內(nèi)化，能在頭腦中對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行思維操作達(dá)到抽象思考，這符合心理模型理論中理解階段的初期概念，即根據(jù)感知到的外部信息和自身已有的經(jīng)驗(yàn)知識在心里構(gòu)建一個(gè)對應(yīng)的心理模型（Johnson-Laird， 1983）。因此，對于思維水平是具體運(yùn)算且正向形式運(yùn)算轉(zhuǎn)變的小學(xué)階段兒童，具有高嵌套集合建模能力可能使他們更好地感知貝葉斯問題中的嵌套結(jié)合結(jié)構(gòu)，進(jìn)而在心理上建立起對應(yīng)的集合模型幫助推理，使題目的邏輯關(guān)系變得更“清晰”，簡化了計(jì)算過程。

同時(shí)，有研究表明，東西方人群的思維方式和認(rèn)知風(fēng)格存在差異（Varnum et al.， 2008）。東方人群多為整體性思維者，將世間的一切事物看做一個(gè)整體，這個(gè)整體中的事物相互關(guān)聯(lián)，注重“關(guān)系”，而西方人群是分析型思維者，強(qiáng)調(diào)個(gè)人和部分的重要性，認(rèn)為事物相互獨(dú)立（Ferris et al.， 2018）。史滋福等（2015）的研究也發(fā)現(xiàn)，不同認(rèn)知風(fēng)格者在貝葉斯推理過程中的加工方式存在差異，場獨(dú)立者能在推理過程中比場依存者注意力更集中，付出的心理努力更多，表現(xiàn)出比場依存者更優(yōu)的信息加工方式。因此，這可能在一定程度上說明，中西方的思維和認(rèn)知差異也可能使得中國兒童有較為突出的嵌套集合建模能力，導(dǎo)致Pighin 等（2017）沒有復(fù)制Zhu 和Gigerenzer（2006）研究中的高正確率。

嵌套集合建模能力不是某種數(shù)學(xué)能力的變式，因?yàn)樗鼉H涉及了集合的嵌套邏輯關(guān)系，獨(dú)立于數(shù)字理解和計(jì)算推導(dǎo)，它不僅是空間能力的細(xì)化，因?yàn)檫@樣的建模能力在沒有圖形表征輔助下的貝葉斯題目中仍存在明顯的促進(jìn)作用。因此，未來有關(guān)嵌套集合建模能力的作用值得進(jìn)一步研究。

4.3 高低嵌套集合建模能力兒童在不同數(shù)字表征上的貝葉斯推理表現(xiàn)

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在概率格式下，無論嵌套集合建模能力高低與否都不能促進(jìn)任何的貝葉斯推理，而當(dāng)采用自然頻數(shù)或者幾率格式時(shí)，高嵌套集合建模能力兒童有更好的推理表現(xiàn)，這說明嵌套集合建模能力需要通過特定的數(shù)字表征格式才能更好地發(fā)揮其促進(jìn)作用。個(gè)體運(yùn)用內(nèi)部能力對問題的推理效果同外部的數(shù)字表征方式有關(guān)。這與前人結(jié)果類似，無論計(jì)算能力高還是低的被試都無法從概率格式下獲益，而且自然頻數(shù)促進(jìn)效應(yīng)也只能對高計(jì)算能力被試產(chǎn)生效果（Chapman amp; Liu， 2009）。

相比于概率格式，自然頻數(shù)和幾率格式能將題目中的嵌套關(guān)系清晰化，進(jìn)而促進(jìn)被試?yán)闷淝短准辖Ｄ芰υ谛闹袠?gòu)建起對應(yīng)的嵌套集合模型，達(dá)成更好的推理表現(xiàn)。這再一次體現(xiàn)了嵌套集合觀的思想，而不是生態(tài)理性觀，被試推理表現(xiàn)的提升不是來自頻數(shù)獨(dú)特的處理機(jī)制，而是數(shù)字表征通過明晰嵌套集合關(guān)系來影響心理內(nèi)部表征。通過在更好處理資源（更好的嵌套集合建模能力）的情況下，減少處理需求（更好的數(shù)字表征），縮短了問題與解決方案之間的距離，明確與問題解決相關(guān)的內(nèi)容，進(jìn)而促進(jìn)被試的推理表現(xiàn)（Johnson amp; Tubau，2015）。

最后，從本實(shí)驗(yàn)的結(jié)果來看，盡管在自然頻數(shù)下，也仍有一部分高嵌套集合建模能力兒童無法完成貝葉斯推理，這一方面可能是因?yàn)閿?shù)字格式這樣的外部表征帶來的推理效果提升是有限的，即使自然頻數(shù)格式對被試的推理表現(xiàn)的提升也只有大約24%（McDowell amp; Jacobs， 2017）。另一方面可能是由于文字表達(dá)的貝葉斯推理問題對于小學(xué)階段的兒童還過于抽象。根據(jù)嵌套集合假設(shè)，任何一種能使貝葉斯題目中的嵌套關(guān)系變得清晰的方式，都應(yīng)該能夠促進(jìn)被試的推理（Barbey amp; Sloman， 2007）。加之，Gigerenzer 等（2021）的研究發(fā)現(xiàn)，大約一半的四年級兒童可以在圖標(biāo)數(shù)組的輔助下完成貝葉斯推理。那么，如果輔以圖形表征或輔以哪類圖形表征，能更好地促進(jìn)高低嵌套集合建模能力兒童的推理表現(xiàn)，這值得進(jìn)一步探討。在未來的教育教學(xué)中，可以更好地結(jié)合兒童的思維發(fā)展特點(diǎn)來因材施教，探索更加符合兒童思維特點(diǎn)的表征方式并予以針對性的訓(xùn)練，促進(jìn)兒童明確信息間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，運(yùn)用更優(yōu)化的思維策略解決問題。

5 結(jié)論

（1）高嵌套集合建模能力的兒童在貝葉斯推理問題上有更好的表現(xiàn)；

（2）相比于概率和幾率格式，兒童更適合在自然頻數(shù)格式下進(jìn)行推理；

（3）高嵌套集合建模能力兒童在自然頻數(shù)表征下的獲益更為明顯，在幾率格式下次之，而在概率格式，嵌套集合建模能力作用不大。

參考文獻(xiàn)

李星云. （2016）. 論小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)建——基于PISA2012 的視角.

課程·教材·教法， 36 （5）， 72-78.

史滋福， 廖紫祥， 劉妹. （2015）. 基礎(chǔ)比率和認(rèn)知風(fēng)格對貝葉斯推理影響的

眼動(dòng)研究. 心理科學(xué)， 38（5）， 1045-1050.

唐佳麗， 李勇. （2022）. “統(tǒng)計(jì)與概率”在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的編排分析. 數(shù)

學(xué)教育學(xué)報(bào)， 31 （1）， 59-63.

夏小剛， 呂傳漢. （2006）. 跨文化視野下中美學(xué)生數(shù)學(xué)思維差異的比較. 比

較教育研究， 27 （8）， 63-67.

謝云天， 史滋福. （2021）. 貝葉斯推理的三重加工心智模型. 心理學(xué)探新，

41 （3）， 230-236.

章勤瓊， 徐文彬. （2016）. 論小學(xué)數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)的多層級理解及其教學(xué). 課

程·教材·教法， 36 （3）， 43-49.

Barbey， A. K.， amp; Sloman， S. A. （2007）. Base-rate respect： From ecological

rationality to dual processes. Behavioral and Brain Sciences， 30（3）， 241-254.

Barroso， C.， Ganley， C. M.， McGraw， A. L.， Geer， E. A.， Hart， S. A.， amp; Daucourt，

M. C. （2021）. A meta-analysis of the relation between math anxiety and math

achievement. Psychological Bulletin， 147 （2）， 134-168.

Binder， K.， Krauss， S.， Schmidmaier， R.， amp; Braun， L. T. （2021）. Natural frequency

trees improve diagnostic efficiency in Bayesian reasoning. Advances in Health

Sciences Education， 26 （3）， 847-863.

Brase， G. L. （2008）. Frequency interpretation of ambiguous statistical information

facilitates Bayesian reasoning. Psychonomic Bulletin and Review， 15 （2）， 284-

289.

Brase， G. L. （2021a）. What facilitates Bayesian reasoning？ A crucial test of

ecological rationality versus nested sets hypotheses. Psychonomic Bulletin and

Review， 28 （2）， 703-709.

Brase， G. L. （2021b）. Which cognitive individual differences predict good Bayesian

reasoning？ Concurrent comparisons of underlying abilities. Memory and

Cognition， 49 （2）， 235-248.

Chapman， G. B.， amp; Liu， J. J. （2009）. Numeracy， frequency， and Bayesian reasoning.

Judgment and Decision Making， 4（1）， 34-40.

Ferris， D. L.， Reb， J.， Lian， H. W.， Sim， S.， amp; Ang， D. （2018）. What goes up must

keep going up？ Cultural differences in cognitive styles influence evaluations of

dynamic performance. Journal of Applied Psychology， 103（3）， 347-358.

Gigerenzer， G.， amp; Hoffrage， U. （1995）. How to improve Bayesian reasoning without

instruction： Frequency formats. Psychological Review， 102（4）， 684-704.

Gigerenzer， G.， Multmeier， J.， F?hring， A.， amp; Wegwarth， O. （2021）. Do children

have Bayesian intuitions？ Journal of Experimental Psychology： General，

150 （6）， 1041-1070.

Girotto， V.， amp; Gonzalez， M. （2001）. Solving probabilistic and statistical problems： A

matter of information structure and question form. Cognition， 78 （3）， 247-276.

Girotto， V.， amp; Gonzalez， M. （2008）. Children’s understanding of posterior

probability. Cognition， 106 （1）， 325-344.

Hoffrage， U.， Hafenbr?dl， S.， amp; Bouquet， C. （2015）. Natural frequencies facilitate

diagnostic inferences of managers. Frontiers in Psychology， 6， 642.

Johnson， E. D.， amp; Tubau， E. （2015）. Comprehension and computation in Bayesian

problem solving. Frontiers in Psychology， 6， 938.

Johnson-Laird， P. N. （1983）. Mental models： Towards a cognitive science of

language， inference， and consciousness . Cambridge University Press.

McDowell， M.， amp; Jacobs， P. （2017）. Meta-analysis of the effect of natural

frequencies on Bayesian reasoning. Psychological Bulletin， 143 （12）， 1273-

1312.

Navarrete， G.， amp; Santamaria， C. （2011）. Ecological rationality and evolution： The

mind really works that way？ Frontiers in Psychology， 2， 251.

Pighin， S.， Girotto， V.， amp; Tentori， K. （2017）. Children’s quantitative Bayesian

inferences from natural frequencies and number of chances. Cognition， 168，

164-175.

Reani， M.， Davies， A.， Peek， N.， amp; Jay， C. （2018）. How do people use information

presentation to make decisions in Bayesian reasoning tasks？ International

Journal of Human-Computer Studies， 111， 62-77.

Rolison， J. J.， Morsanyi， K.， amp; Peters， E. （2020）. Understanding health risk

comprehension： The role of math anxiety， subjective numeracy， and objective

numeracy. Medical Decision Making， 40 （2）， 222-234.

Rubinsten， O.， Marciano， H.， Levy， H. E.， amp; Cohen， L. D. （2018）. A framework

for studying the heterogeneity of risk factors in math anxiety. Frontiers in

Behavioral Neuroscience， 12， 291.

Sirota， M.， Kostovi?ová， L.， amp; Vallée-Tourangeau， F. （2015）. Now you Bayes， now

you don't： Effects of set-problem and frequency-format mental representations

on statistical reasoning. Psychonomic Bulletin and Review， 22（5）， 1465-1473.

Téglás， E.， Vul， E.， Girotto， V.， Gonzalez， M.， Tenenbaum， J. B.， amp; Bonatti， L. L.

（2011）. Pure reasoning in 12-month-old infants as probabilistic inference.

Science， 332 （6033）， 1054-1059.

Varnum， M.， Grossmann， I.， Katunar， D.， Nisbett， R. E.， amp; Kitayama， S. （2008）.

Holism in a European cultural context： Differences in cognitive style between

central and east Europeans and westerners. Journal of Cognition and Culture，

8 （3-4）， 321-333.

Weber， P.， Binder， K.， amp; Krauss， S. （2018）. Why can only 24% solve Bayesian

reasoning problems in natural frequencies： frequency phobia in spite of

probability blindness. Frontiers in Psychology， 9， 1833.

Zhu， L. Q.， amp; Gigerenzer， G. （2006）. Children can solve Bayesian problems： The

role of representation in mental computation. Cognition， 98 （3）， 287-308.