劉占明

摘? ?要：以“三角形的三邊關(guān)系”一課為例，教師要通過合理的教學(xué)情境搭建培養(yǎng)學(xué)生形成推理意識的平臺和路徑，引導(dǎo)學(xué)生通過推理得出三角形三邊的關(guān)系，同時精心設(shè)計教學(xué)，實現(xiàn)學(xué)生經(jīng)歷、感悟、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗過程，發(fā)展推理意識。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；推理意識；活動經(jīng)驗

中圖分類號：G623.5? ?文獻標識碼：A? ?文章編號：1009-010X（2024）13-0017-05

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）116頁課例32作圖理解三角形提出用直尺和圓規(guī)作三角形，直觀感受為什么三角形中任意兩條邊的長度之和大于第三條邊的長度。首先啟發(fā)學(xué)生在操作過程中思考三角形邊長之間的關(guān)系，感悟命題“任意兩邊之和大于第三邊”的意義，然后引導(dǎo)學(xué)生用“兩點之間線段最短”這個基本事實說明數(shù)學(xué)命題的正確性，形成推理意識。新冀教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材進行了內(nèi)容架構(gòu)調(diào)整，設(shè)計了三角形三邊關(guān)系試教課來幫助學(xué)生感悟三角形的三邊關(guān)系，進一步培養(yǎng)他們的推理意識。

一、緣起：尋找瓶頸，落實推理

“三角形三邊關(guān)系”是冀教版數(shù)學(xué)新教材四年級上冊“圖形和幾何”部分的知識，是在學(xué)生初步理解角、三角形以及三角形具有穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上進行的。學(xué)生在用尺規(guī)作圖完成三角形的基礎(chǔ)上，觀察計算數(shù)據(jù)，推理三角形三邊關(guān)系，并用“兩點間線段最短”推理驗證三角形三邊關(guān)系的過程。新教材試教面臨著兩個問題，其一，四年級學(xué)生沒有學(xué)習(xí)關(guān)于“尺規(guī)作圖”的知識積累，對作圖過程中“尺、規(guī)”的使用更沒有任何痕跡。其二，用“兩點間線段最短”推理三角形的三邊關(guān)系時，學(xué)生從已知經(jīng)驗不能形成直接知識間的聯(lián)系，需要合理的引導(dǎo)關(guān)聯(lián)。對于課本所展示的內(nèi)容，筆者有以下幾個想法：①關(guān)于長度為4cm、5cm及8cm的三條邊的三角形的“兩邊之和大于第三邊”這個論斷是否適用于所有類型的三角形？②操作、判斷三條邊不能圍成三角形的關(guān)鍵在哪里？③如何架構(gòu)“兩點間線段最短”與三角形三邊關(guān)系的驗證推理的聯(lián)系？④學(xué)生的推理能力如何落實？針對上述難題，我們在構(gòu)思“三角形三邊關(guān)系”這一主題的教學(xué)環(huán)境及實踐環(huán)節(jié)時，進行了深入研究和探討。

二、踐行：追根漣源，落地抓手

（一）復(fù)習(xí)引入，埋下推理的種子

1.關(guān)于線段你知道什么呢？

2.你是如何理解“兩點間線段最短”的呢？

本環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過回憶“線段”相關(guān)知識，并通過“兩點間哪條路線最短”的情景創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生把“兩點間線段最短”的認知與“三角形三邊關(guān)系”建立聯(lián)系，激活已知為后續(xù)環(huán)節(jié)做好鋪墊。借助情境圖抽離“三角形”，此時教師追問：三角形的三條邊又會有什么關(guān)系呢？引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)主題。

（二）尺規(guī)操作 ，形成直觀助力推理

學(xué)生推理技能的發(fā)展是一個緩慢的過程，需要通過直觀的方式來支持。新教材中的三角形作圖內(nèi)容，對于學(xué)生來說，在熟悉繪圖步驟和尺規(guī)操作技巧等方面都應(yīng)該得到加強和培養(yǎng)。

明確要求，完成三角形。用圓規(guī)和直尺作邊長分別是8厘米、5厘米、6厘米的三角形。同步觀察思考：作圖過程中，圓規(guī)的作用是什么？直尺的作用是什么？

在本環(huán)節(jié)，通過學(xué)生利用尺規(guī)作三角形，讓學(xué)生熟悉鞏固尺規(guī)作三角形的方法，同時觀察體會圓規(guī)和直尺在作圖過程中的作用，為后面判定三條邊能否組成三角形構(gòu)建直觀表象支撐。

（三）數(shù)據(jù)比較，促進推理能力的成長

學(xué)生推理能力的形成必須經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，利用數(shù)據(jù)比較發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出結(jié)論。只有當“探索”的理念滲透到學(xué)生的全部數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中時，他們才能夠真正掌握知識。

1.問題引領(lǐng)，搭建推理平臺。見圖1，把任意兩條邊相加，與第三邊比較，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？

通過問題環(huán)境，教師清晰地指示并明確告知學(xué)生操作步驟，使他們在協(xié)同工作中尋找和發(fā)現(xiàn)答案，為推理提供方向。通過簡單的計算和比較，讓學(xué)生初步感知到三角形的兩邊之和大于第三邊。

2.借助已知，提供推理依據(jù)。我們需要驗證是否所有的三角形都具備這種特性。實際上，三角形的三條邊之間還存在特定的關(guān)系。通過設(shè)計問題，我們可以讓學(xué)生在前后知識點的銜接中進行推理，使得他們能夠找到推理的線索。

師：同學(xué)們通過對三角形的三個邊的數(shù)值分析，揭示了其三邊之間的聯(lián)系。假設(shè)我們隨意繪制了一個三角形，但無法得知它的三邊長，那么如何依據(jù)“兩點間直線距離最近”來證明“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”呢？

在這一環(huán)節(jié)中，再次點燃學(xué)生的認知基礎(chǔ)。從考慮兩點之間線段最短的角度出發(fā)，重新思考三角形的三邊關(guān)系。

生：將三角形的一條邊視為兩個頂點之間的線段，而其余兩條邊則可以被理解為兩點間的一條折線。根據(jù)這兩點間的線段長度最短，我們能夠推斷出AB這條邊比其他兩條邊更短。

當學(xué)生再次學(xué)習(xí)到“兩個點間線段最短”這個概念的時候，教師提出了這樣的問題：“怎樣才能正確地解釋為什么三角形的任何兩邊的總長度都超過了另外一邊的長度”中“任意”如何理解，給予學(xué)生充分地思考交流時間。直接引發(fā)學(xué)生進行猜測與思考，同時讓學(xué)生通過實驗與交流，一步步去引導(dǎo)他們進行問題的發(fā)現(xiàn)與解決。

3.交流推測，指明推理方向。學(xué)生通過不同的觀察角度確定兩點、線段、折線后舉例說明三角形兩個頂點間連線中“折線”（兩條邊）的長度都大于“線段”（一條邊）的長度。在這個過程中教師引導(dǎo)學(xué)生脫離“數(shù)據(jù)”的引導(dǎo)，歸納出三角形的一般性質(zhì)，教師應(yīng)積極推動學(xué)生運用觀察、試驗、比較、總結(jié)等方式來形成創(chuàng)新性的想法。這不僅能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，滿足他們的好奇心，還能教會他們使用現(xiàn)有信息去檢驗問題的思維方式。雖然理解和掌握三角形的三個邊的相互關(guān)聯(lián)并不困難，但難點在于怎樣引導(dǎo)他們在探索的過程中體驗到解決問題所需要的思考步驟，熟練掌握推理技巧。

4.實踐操作，驗證推理結(jié)果

師：剛才我們數(shù)據(jù)計算和“兩點之間線段最短”認識了三角形的三邊關(guān)系，下面請看一個用小棒擺三角形的問題。請你迅速操作并判斷一下，用圖2的兩組小棒擺三角形，結(jié)果怎么樣？并說明理由。

基于已有的信息，我們觀察到4厘米、5厘米及8厘米的三個短條可以形成符合條件的三角形。然而，當嘗試用4厘米、5個厘米和10厘米的小棍來構(gòu)建三角形的時候，可以發(fā)現(xiàn)無法實現(xiàn)。因為這些長度的組合產(chǎn)生了“10+5>4”“4+10>5”和“4+5<10”的結(jié)果，盡管滿足了“兩邊之和大于第三邊”的要求，但由于“4+5<10”這個事實的存在，導(dǎo)致無法構(gòu)成三角形。為了讓學(xué)生產(chǎn)生更好地直觀依據(jù)，教師又提出：如果用尺規(guī)作圖會出現(xiàn)什么現(xiàn)象呢？

生：用圓規(guī)分別畫兩條5厘米、4厘米線段時出現(xiàn)的兩條弧線始終沒有交點（圖3）。

通過猜想、演示更加強化了三角形“任意”兩邊之和大于第三邊的推理結(jié)論。為了更好地引導(dǎo)學(xué)生在實際操作中觀察、猜想進而得到新的發(fā)現(xiàn)，教師在此基礎(chǔ)上繼續(xù)提問：如果用10厘米、5厘米、5厘米的小棒擺三角形，結(jié)果又會怎樣（圖4）？

生：因為5+5=10，兩條邊的和等于第三條邊，這三根小棒也不能拼成三角形。

師：試著想一想如果會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？

生：兩根5厘米的小棒會和10厘米的小棒重合。

師：通過剛才的拼擺和驗證，在比較三角形的三條邊時，你有沒有新的發(fā)現(xiàn)？

生：判斷三根小棒（三條邊）是否能組成三角形時，只要計算兩條短邊的和與最長邊比較就可以。

經(jīng)過對實際數(shù)據(jù)的研究，學(xué)生得以驗證并修正他們的推論，確信三角形的任何兩邊的總長度都超過第三邊。進一步證明只有當“三角形中的兩個較小邊加起來能超越第三邊”這個前提成立時才能構(gòu)成三角形。合情推理與演繹推理完美結(jié)合。

（三）分層練習(xí)，助力推理的提升

訓(xùn)練不只是要加強對已學(xué)知識的理解，同時也需要進行一定程度的提升。這種提升還包括對學(xué)生學(xué)習(xí)情緒和問題處理能力的增強。因此，筆者設(shè)計了鞏固型和拓展型兩個層次的訓(xùn)練。

1.鞏固型：

大多數(shù)學(xué)生都能夠正確地作出決定，而一部分的學(xué)生則從中學(xué)到了三角形的任何兩邊的總長必須超過第三邊這一事實。這不僅增強了他們的邏輯思維能力，也讓他們更加深入了解了這個概念。

2.拓展型：

如果三角形兩條邊的長分別為5分米和9分米，那么第三條邊最長是多少分米？最短是多少分米？（取整分米數(shù)）

第三條邊最長是（? ?）分米，那么 5+9>（? ?）

第三條邊最短是（? ?）分米，那么 5+（? ?）>9

此項訓(xùn)練分成兩個任務(wù)，首先設(shè)立了第一階段的問題作為引導(dǎo)，為學(xué)生提供了一個思考的基礎(chǔ)平臺，他們可以運用現(xiàn)有的理解（任意兩邊之和大于第三邊）來選擇適當?shù)拈L度作為第三邊。第二階段則進一步揭示了學(xué)生的認知：不僅對于前一階段所得出的“兩邊之和大于第三邊”有了更深入地領(lǐng)悟，還發(fā)現(xiàn)了如果需要保持這種關(guān)系，那么兩邊之間的差距也需要遵循同樣的規(guī)律，因此三角形的任何兩邊之差必定小于第三邊這既符合直覺又經(jīng)過嚴密的論證。由此可見，一些學(xué)生能夠輕易地得到以下兩個等式：5+9>第三邊邊長，9-5<第三邊邊長，然后從這兩種情況自然推出結(jié)果：第三邊的最大值應(yīng)為13厘米，最小值則是5厘米。

三、感悟：形成策略，提升學(xué)力

《課標》中指出，推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。知道可以從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論，能夠通過簡單的歸納或類比猜想，或發(fā)現(xiàn)一些初步結(jié)論。對自己及他人的問題解決過程給予合理解釋。推理意識有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，增強交流能力，是形成推理能力的經(jīng)驗基礎(chǔ)。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。

（一）借助問題情境，創(chuàng)設(shè)推理平臺

在這個關(guān)于三角形的三個邊關(guān)系的學(xué)習(xí)過程中，我們得出了這樣一個事實：三角形的任何兩個邊的總和都比第三個邊要大。這一觀點很容易被理解，但其背后的深層邏輯可能并不那么明顯。為揭示這種內(nèi)在的思考，本課通過利用直尺和圓規(guī)來構(gòu)建三角形，然后自然地提出了這樣的疑問：當我們將這兩條邊的長度相加并與剩余一條邊做對比時，你們發(fā)現(xiàn)了什么？這樣使學(xué)生親身參與到計算、觀測、比較及探討的過程中去，并且借此機會向他們提問一些例如“為什么”“你的想法是什么”等問題，激勵他們在基于數(shù)學(xué)原理和含義的基礎(chǔ)上進行推理。教師應(yīng)該持續(xù)創(chuàng)造出這些問題的環(huán)境，以便能進一步促進他們的思維能力的發(fā)展。

（二）凸顯推理過程，培養(yǎng)推理意識

推理的目的就是為了證實結(jié)論。在實際教學(xué)過程中，教師重過程輕結(jié)論亦或是重結(jié)論輕過程的教學(xué)意識直接決定了教學(xué)過程中是否重視對學(xué)生素養(yǎng)能力的培養(yǎng)。推理的結(jié)論是顯化的，而推理的過程是內(nèi)隱的。為實現(xiàn)對學(xué)生的邏輯思維能力全面提升，教師需要使其推理過程更加明顯。例如，當研究三角形的邊長關(guān)系時，教師可以先通過任務(wù)卡的方式引導(dǎo)學(xué)生對比兩個邊的總和及第三個邊的大小并將其數(shù)據(jù)填入表內(nèi)展示計算成果，接著再讓他們分享討論得出初始觀點。接下來，我們利用“直線距離最近”這個概念來解釋“三角形的任意兩邊之和都超過了第三邊”這一原理，并將整個思考過程及其最終答案也列在了表格里。學(xué)生通過觀察以及有條理地講述得到三角形“任意”兩邊之和大與第三條邊的結(jié)論。

在這個過程中，學(xué)生能夠從各種不同的視角去觀察，運用已有的知識進行思考，并以語言來描繪數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建過程。有助于讓學(xué)生的思維得到外化，也方便教師對學(xué)生的推理步驟、方法等進行針對性的指導(dǎo)，從而有效地培育學(xué)生的推理意識。

（三）累積活動經(jīng)驗，提升推理意識

學(xué)生通過參與數(shù)學(xué)活動而獲得對數(shù)學(xué)的體驗和認知。數(shù)學(xué)活動的目的是強調(diào)教育的過程性目標，而不僅僅是結(jié)果性目標。因為思想感悟和經(jīng)驗積累決定了人的思維方式，這些感悟和經(jīng)驗是通過體驗而得到，不是僅僅被教導(dǎo)出來的。因此，個體的親身經(jīng)歷是經(jīng)驗積累的必要條件。通過觀察、計算、比較和證明的過程，學(xué)生可以體會到學(xué)習(xí)中探索新知識的樂趣，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，并提升數(shù)學(xué)推理能力，這個過程具有教學(xué)價值。因此，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生親自經(jīng)歷問題的探索過程，完整地體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，在這個過程中，教師應(yīng)該智慧地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，并培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的推理意識。