許天樞 朱加佳

【摘 要】學(xué)校教育要突出對(duì)學(xué)生道德品質(zhì)與能力素養(yǎng)的培養(yǎng)。課堂教學(xué)應(yīng)以學(xué)生的整體發(fā)展為目標(biāo)，實(shí)施指向育人的教學(xué)實(shí)踐。教師在學(xué)科教學(xué)過(guò)程中應(yīng)充分挖掘?qū)W科的育人價(jià)值，將學(xué)科文化記憶與學(xué)生品德培養(yǎng)相結(jié)合，發(fā)揮學(xué)科的育人價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】記憶育德；學(xué)科育人；數(shù)學(xué)課堂；勾股定理

【中圖分類號(hào)】G421? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）15-0022-04

【作者簡(jiǎn)介】1.許天樞，南京市寧海中學(xué)分校（南京，210036）校長(zhǎng)，高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師；2.朱加佳，南京市第五十中學(xué)（南京，210003）教師，二級(jí)教師。

記憶作為客觀事物在人腦海中留存的主觀印象，建構(gòu)于人對(duì)客觀事物理解的基礎(chǔ)上。記憶育德通過(guò)調(diào)用記憶的方式將已知事物再融合理解，挖掘其中的育德價(jià)值，并滲透進(jìn)學(xué)科教學(xué)中。以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)中的獨(dú)家記憶，不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)科文化素養(yǎng)，還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感。數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中喚醒學(xué)生的學(xué)科記憶，可以激發(fā)學(xué)生的探究欲，豐富學(xué)生的情感體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，進(jìn)而形成正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀。

勾股定理作為“千古第一定理”，是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的里程碑，從數(shù)量關(guān)系到位置關(guān)系，聯(lián)結(jié)了代數(shù)與幾何。本文以“勾股定理”課堂教學(xué)為例，談教師如何引導(dǎo)學(xué)生在“勾股定理”的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展歷程中感受數(shù)學(xué)文化，探索數(shù)學(xué)學(xué)科記憶育德的實(shí)踐路徑。

一、尋找記憶：在文化印記中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)

教師應(yīng)在歷史發(fā)展的進(jìn)程與學(xué)科文化的傳承中喚醒學(xué)生的學(xué)科記憶，尋找適配主題的記憶元素，構(gòu)建記憶場(chǎng)，形成相關(guān)的記憶單元，為課堂教學(xué)的實(shí)施挖掘記憶素材，充分發(fā)揮記憶的育德作用。

教學(xué)導(dǎo)入階段，教師可以出示圖1，圖2，圖3。圖1分別是2002年在北京舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)與2021年在上海舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽，設(shè)計(jì)理念源于我國(guó)1800多年前三國(guó)時(shí)期趙爽的《周髀算經(jīng)注》，該書記錄了對(duì)勾股定理最早的證明。圖2為“勾股圓方圖”，這表明勾股定理是我國(guó)古人智慧的結(jié)晶。圖3為1955年希臘發(fā)行的郵票，是畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的啟發(fā)圖案，故勾股定理在西方也被稱為畢達(dá)哥拉斯定理。

圖1國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)徽中的“趙爽弦圖”“勾股圓方圖”元素，昭示了其歷史地位與重要性，說(shuō)明中國(guó)文化受到了世界的重視。這使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的主題研究產(chǎn)生敬畏之心，調(diào)動(dòng)了學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)與探究的積極性。

二、重構(gòu)記憶：在現(xiàn)象觀察中抽象數(shù)學(xué)

在尋找記憶過(guò)程中，學(xué)生形成了抽象的數(shù)學(xué)感知與數(shù)學(xué)印象，因此在數(shù)學(xué)文化中提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題就成為必然，通過(guò)問(wèn)題思考與問(wèn)題解決引導(dǎo)學(xué)生對(duì)現(xiàn)象本質(zhì)的挖掘則是應(yīng)然結(jié)果。教師可引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)象觀察出發(fā)，利用幾何直觀感受，猜想得出勾股定理的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)。

教師要將“尋找記憶”中的數(shù)學(xué)元素轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究其中關(guān)鍵數(shù)學(xué)元素之間的關(guān)系。如畢達(dá)哥拉斯受啟發(fā)的圖案中，抓住關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系——面積，并將其轉(zhuǎn)化為方格紙上的探究，便于計(jì)算與得出結(jié)論。記憶重構(gòu)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從文化記憶中抽象出數(shù)學(xué)模型，充分研究它的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)將學(xué)科的文化記憶融通形成自身的認(rèn)知記憶。

例如，將圖形關(guān)系探究特殊化為易于計(jì)算說(shuō)理的等腰直角三角形的三邊關(guān)系，以求得三邊所作正方形的面積，奠定探究面積關(guān)系的研究思路（見(jiàn)圖4）；在此基礎(chǔ)上變式，形成一般圖案的關(guān)系探究，在三邊關(guān)系最為典型的[3、4、5]的直角三角形基礎(chǔ)上開(kāi)展自主探究（見(jiàn)圖5）。這樣既能引導(dǎo)學(xué)生利用面積法探索直角三角形的三邊關(guān)系，又能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)[3、4、5]數(shù)據(jù)的感知，實(shí)現(xiàn)記憶的強(qiáng)化與深度建構(gòu)。

三、再現(xiàn)記憶：在操作探究中理解數(shù)學(xué)

伴隨記憶場(chǎng)域的構(gòu)建，學(xué)生腦海中已經(jīng)形成多個(gè)記憶模塊，但缺少每個(gè)記憶模塊之間的聯(lián)系鏈條。為了將這些記憶模塊形成整體，教師需要在原記憶的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究與追尋，讓學(xué)生能夠像數(shù)學(xué)家一樣思考，在知識(shí)發(fā)現(xiàn)和知識(shí)應(yīng)用中形成閉環(huán)。教師可通過(guò)記憶再現(xiàn)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)探索的自豪感，引發(fā)其對(duì)文化傳承與發(fā)展的共鳴。

從數(shù)學(xué)文化現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問(wèn)題，從數(shù)學(xué)問(wèn)題回到數(shù)學(xué)現(xiàn)象，教師在課堂教學(xué)過(guò)程中挖掘數(shù)學(xué)文化中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng)。如“趙爽弦圖”體現(xiàn)的勾股定理，教師可在幾何關(guān)系中推理并證明，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考，探索更多的證明方法。教師通過(guò)表格呈現(xiàn)直角三角形三邊的規(guī)律，指導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)工具，如字母表示數(shù)、完全平方式等進(jìn)行論證。例如，教師展示圖6，圖7，圖8。圖6為趙爽弦圖的數(shù)學(xué)化表示，探究四個(gè)全等的直角三角形與兩個(gè)正方形之間的面積關(guān)系；圖7為畢達(dá)哥拉斯證明方法，是類似圖6將四個(gè)全等的直角三角形翻了出去，找尋三角形與正方形之間的面積關(guān)系證得；圖8為美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德利用面積法證得，探究?jī)蓚€(gè)全等的直角三角形和一個(gè)直角三角形之間的關(guān)系。三種證明方法都是文化記憶的再現(xiàn)。

四、創(chuàng)新記憶：在問(wèn)題解決中應(yīng)用數(shù)學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，數(shù)學(xué)教育承載著立德樹(shù)人的根本任務(wù)和實(shí)施素質(zhì)教育的功能，其中最重要的一項(xiàng)是發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感，樹(shù)立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀。在數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中，教師通過(guò)記憶喚醒與重構(gòu)，幫助學(xué)生形成對(duì)知識(shí)的初步理解與應(yīng)用，但知識(shí)習(xí)得不是教育的最終目標(biāo)，教師還要關(guān)注學(xué)生的情感發(fā)展與體驗(yàn)。

1.在問(wèn)題中尋證明

經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C過(guò)程與猜想之后，學(xué)生已經(jīng)初步形成對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)與理解，將學(xué)科的文化記憶構(gòu)建成為自己的認(rèn)知與學(xué)科知識(shí)記憶。此時(shí)，教師可引入其他證明方法，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)探索過(guò)程的殊途同歸，在數(shù)學(xué)的變化與創(chuàng)新中感知數(shù)學(xué)之美。

意大利著名畫家達(dá)·芬奇證明了勾股定理（見(jiàn)圖9），若設(shè)第一幅圖中空白部分的面積為S1，第三幅圖中空白部分的面積為S2，探索S1，S2與a，b，c的關(guān)系并利用達(dá)·芬奇的方法證明勾股定理。如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程后的形狀好似一棵樹(shù)，故被稱為“勾股樹(shù)”，這是畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來(lái)的，故被稱為“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”（見(jiàn)圖10）。在“勾股樹(shù)”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，探究a，b，c，d，m之間的關(guān)系。歐幾里得編纂的《幾何原本》中也有證明勾股定理的方法，教師可借此圖引導(dǎo)學(xué)生探究勾股定理（見(jiàn)圖11）。

2.在問(wèn)題中探應(yīng)用

從文化到數(shù)學(xué)、從數(shù)學(xué)到生活，教師引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題中感受數(shù)學(xué)文化，以全新的視角思考文化記憶帶動(dòng)學(xué)科發(fā)展的過(guò)程。例如：教師讓學(xué)生觀察“趙爽弦圖”的變化（見(jiàn)圖12）。若將“趙爽弦圖”的四個(gè)直角三角形中較長(zhǎng)的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，在Rt△ABC中，AC=m，BC=n，∠ACB=90°，求這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)（圖中實(shí)線部分）。教師還可以引入數(shù)學(xué)文化的問(wèn)題思考。如圖13，明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地。送行二步恰竿齊，五尺板高離地?！狈g成現(xiàn)代文為：如圖，秋千OA靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（AC=1尺），將它往前推進(jìn)兩步（EB=10尺），此時(shí)踏板升高離地五尺（BD=5尺），求秋千繩索（OA或OB）的長(zhǎng)度。

再如，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探索生活情境問(wèn)題，這既能提升學(xué)生的問(wèn)題解決能力，又能潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生形成新的文化記憶理解。如圖14，消防云梯主要是用于高層建筑火災(zāi)等救援任務(wù)，它能讓消防員快速到達(dá)高層建筑的火災(zāi)現(xiàn)場(chǎng)，執(zhí)行滅火、疏散等救援任務(wù)。消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，縮短救援時(shí)間，降低救援難度和風(fēng)險(xiǎn)。如圖，已知云梯最多只能伸長(zhǎng)到50米（即AA'=BB'=50米），消防車高3.4米，救人時(shí)云梯伸長(zhǎng)至最長(zhǎng)，在完成從33.4米（即A'M=33.4米）高的A處救人后，還要從51.4米（即B'M=51.4米）高的B處救人，這時(shí)消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AB為多少米？

總之，記憶育德建立在學(xué)科文化記憶的背景下，通過(guò)學(xué)科文化記憶的喚醒、重構(gòu)、創(chuàng)新，促進(jìn)學(xué)生問(wèn)題解決能力的提升和學(xué)科文化素養(yǎng)的發(fā)展，充分發(fā)揮記憶的德育價(jià)值，拓寬了學(xué)科德育的途徑。

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