劉亞峰，額爾敦布和，2，趙巧紅

（1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.呼和浩特民族學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

守恒律是非線性偏微分方程組（PDEs）最重要的解析性質(zhì)之一，可以幫助對(duì)高階PDEs進(jìn)行求解和約化。學(xué)者們從20世紀(jì)初開始對(duì)PDEs守恒律進(jìn)行研究，經(jīng)過一個(gè)多世紀(jì)的不懈努力已經(jīng)建立了乘子法［1-3］、對(duì)稱作用于已知守恒律［4］、遞推公式［5］、對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法［6-9］以及Ibragimov新守恒定理［10-12］等一系列有效方法。此外，自20世紀(jì)80年代以來隨著數(shù)學(xué)軟件的不斷發(fā)展，陸續(xù)問世了Maple、Mathematica 等數(shù)學(xué)軟件，成為推導(dǎo)PDEs守恒律的強(qiáng)有力工具。筆者將分別使用Ibragimov 新守恒定理和對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法推導(dǎo)3階形變Boussinesq型方程［13］和耦合KdV方程［14］的守恒律，并對(duì)2種方法進(jìn)行分析比較，揭示2種方法的內(nèi)在聯(lián)系。

1 預(yù)備知識(shí)

現(xiàn)給出一個(gè)PDEs

其中自變量x=(x1,x2,…,xn)，因變量u=(u1,u2,…,uN)，且?ku表示u對(duì)x的所有k階偏導(dǎo)數(shù)（k為正整數(shù)），即（以下表示為）。

下面，給出幾個(gè)定義：

定義1定義

為xi的全導(dǎo)數(shù)算子，其中i,j,k=1,2,…,n，α=1,2,…,N。

定義2假設(shè)

為PDEs（1）的一個(gè)單參數(shù)Lie點(diǎn)變換群，其中ξ(x,u)=，η(x,u)=，并且可以使PDEs（1）保持不變，則Lie點(diǎn)變換群（3）稱為PDEs（1）的點(diǎn)對(duì)稱。

點(diǎn)對(duì)稱（3）的無窮小生成元為：

下面分別是無窮小生成元式（4）的特征形式（5）和k階延拓式（6）：

定義3假設(shè)u(x)為PDEs（1）的解，則存在下面的散度表達(dá)式

式（7）中Φi[u]稱為局部守恒量。

2 對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法

對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法是利用PDEs線性化系統(tǒng)的解以及PDEs線性化系統(tǒng)的伴隨系統(tǒng)的解來推導(dǎo)PDEs的守恒律。具體的步驟是：（a）通過Fréchet導(dǎo)數(shù)將PDEs線性化，求得PDEs的線性化系統(tǒng)；（b）對(duì)線性化系統(tǒng)使用共軛Fréchet導(dǎo)數(shù)，求得其共軛系統(tǒng)；（c）求解PDEs的線性化系統(tǒng)，即將PDEs擁有的點(diǎn)對(duì)稱轉(zhuǎn)化為局部對(duì)稱的特征形式；（d）求解PDEs線性化伴隨系統(tǒng)；（e）將（c）、（d）求得的解任意配對(duì)代入給出的斜對(duì)稱公式中構(gòu)造出PDEs的守恒律。

下面，介紹上述方法構(gòu)造PDEs守恒律所涉及的一些計(jì)算公式。

1）步驟（a）中提到的Fréchet導(dǎo)數(shù)，其計(jì)算公式為

其中U(x)=(U1(x),…,Um(x))，V(x)=(V1(x),…,Vm(x))為2個(gè)任意的函數(shù)。

由于式（4）是點(diǎn)對(duì)稱（3）所對(duì)應(yīng)的無窮小生成元，而式（3）是PDEs（1）的點(diǎn)對(duì)稱，則公式（8）中為確定方程的解，所以有（其中也可以由公式（5）給出）。

2）步驟（b）中提到的共軛Fréchet導(dǎo)數(shù)，其計(jì)算公式為

其中σ=1,…,r，且ω(x)=(ω1(x),…,ωr(x))是任意函數(shù)。

設(shè)U(x)=u(x)為PDEs（1）的解，如果它滿足[u]ωσ[u]=0,ρ=1,…,N，則函數(shù)集就是PDEs（1）的共軛對(duì)稱。

3）對(duì)于PDEs（1），公式（8）中求得的與公式（9）中求得的組成的任意一對(duì)滿足守恒定律恒等式：

其對(duì)應(yīng)守恒量為：

其中j1,…,jq和i1,…,ip是指標(biāo)的有序組合，且1 ≤j1≤…≤jq≤i≤i1≤…≤ip≤n。

下面，將利用上述方法構(gòu)造2個(gè)高階PDEs的守恒律。

2.1 3階形變Boussinesq型方程的守恒律

Boussinesq方程描述水波的運(yùn)動(dòng)情況，在很多非線性系統(tǒng)里面都能找到其變形方程。下面，將構(gòu)造3階形變Boussinesq型方程［13］

的守恒律。

根據(jù)式（8）、式（9）分別求得方程組（12）的線性算子和共軛算子

可求得方程組（12）擁有以下4個(gè)點(diǎn)對(duì)稱：

再結(jié)合公式=ηρ(x,u)-，使得方程組（12）對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)的解：

由公式[u]ωσ[u]=0 及共軛算子（14）可以得到關(guān)于函數(shù)的共軛系統(tǒng)

經(jīng)求解共軛系統(tǒng)（17），得到如下4組解：

由解（16）、解（18）可以看出方程組（12）有4組對(duì)稱特征形式和4組共軛對(duì)稱，它們可以有16種配‘對(duì)’，也就是有16 組對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’。以解（16）中這一對(duì)為例，將這一對(duì)代入公式（11）中，可得如下守恒量：

將其他組合也分別代入公式（11）可得其他6個(gè)非平凡守恒量：

2.2 耦合KdV方程的守恒律

KdV方程是用來刻畫水波運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的非線性偏微分方程，隨著對(duì)KdV方程的深入研究，逐漸發(fā)現(xiàn)了耦合KdV方程，而耦合KdV方程描述一些長波在相互作用時(shí)傳播的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并且這些長波都具有不同的色散關(guān)系。耦合KdV方程在物理領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，下面將構(gòu)造以下耦合KdV方程

的守恒律。其中q、r、u、v是4個(gè)位勢函數(shù)，k為任意常數(shù)。

根據(jù)公式（8）求得方程組（21）的線性算子：

其中

根據(jù)公式（9）求得方程組（21）的共軛算子：

其中

可求得方程組（21）擁有以下5個(gè)點(diǎn)對(duì)稱：

經(jīng)求解共軛系統(tǒng)（26），得到如下5組解：

由解（25）、解（27）可以看出方程組（21）有5組對(duì)稱特征形式和5組共軛對(duì)稱，它們可以有25種配‘對(duì)’，也就是有25組對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’。以解（25）中這一組合為例，將這一組代入公式（11）中，可得如下守恒量：

將其他‘對(duì)’也分別代入公式（11）可得其他6組非平凡守恒量：

3 Ibragimov新守恒定理的主要思想和運(yùn)用

著名學(xué)者Ibragimov為了克服Noether定理［15］依賴變分對(duì)稱的局限性而提出了新守恒定理。

下面，介紹一些該方法相關(guān)的定義和定理。

定義4PDEs（1）的拉格朗日函數(shù)表示為

式中{vα} 為一個(gè)新的因變量，稱為勢函數(shù)組。

歐拉微分算子的定義為

將上述算子作用于拉格朗日函數(shù)公式（30），可以得到PDEs（1）所對(duì)應(yīng)的共軛方程組

定理PDEs（1）的任意一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱都能得到一組守恒律，其對(duì)應(yīng)守恒向量公式為

其中對(duì)稱特征形式wα=ηα-ξjuαj。

下面，將利用該方法構(gòu)造3階形變Boussinesq型方程和耦合KdV方程的守恒律。

3.1 3階形變Boussinesq型方程的守恒律

通過將方程組（12）代入公式（30），可以得到其拉格朗日函數(shù)為

式中m=(t,x,u,v)，n=(t,x,u,v)為勢函數(shù)。

根據(jù)公式（32），得到方程組（12）的共軛方程組為

求解方程組（35），得到如下解

以式（15）中X1和解（36）中為例，將它們代入公式（33）中，可得如下守恒量：

3.2 耦合KdV方程的守恒律

通過將方程組（21）代入公式（30），可以得到其拉格朗日函數(shù)為

其中m=(t,x,u,v,q,r)，n=(t,x,u,v,q,r)，h=(t,x,u,v,q,r)，l=(t,x,u,v,q,r)。

根據(jù)公式（32），得到方程組（21）的共軛方程組為：

求解方程組（40），得到如下解

以式（24）中的X3和解（41）中(m1,n1,h1,l1)=(0,v,0,r)為例，將這一對(duì)代入公式（33）中，可得如下守恒量：

4 結(jié)論

筆者運(yùn)用對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法和Ibragimov的新守恒定理推導(dǎo)出2個(gè)高階非線性偏微分方程的守恒律，通過觀察2個(gè)方程的守恒定律發(fā)現(xiàn)(Φtk,Φkx)=(Ψtk,Ψxk)(k=1,2,…,7),說明2種方法構(gòu)造的守恒律完全一致。其中，對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法是借助Fréchet導(dǎo)數(shù)以及共軛Fréchet導(dǎo)數(shù)計(jì)算出目標(biāo)PDEs的對(duì)稱特征形式和共軛對(duì)稱，然后任意配對(duì)代入公式（11）導(dǎo)出目標(biāo)PDEs的守恒律；而Ibragimov新守恒定理主要是基于拉格朗日函數(shù)、PDEs的點(diǎn)對(duì)稱以及其共軛系統(tǒng)的勢函數(shù)，借助公式（33）推出目標(biāo)PDEs的守恒律。雖然兩者在原理上是不一樣的，但可以看出對(duì)稱-共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法中共軛系統(tǒng)的解ω^σ跟Ibragimov新守恒定理中共軛系統(tǒng)的勢函數(shù)(mj,nj)（或(mj,nj,hj,lj)）是相同的，并且在2種方法的計(jì)算過程中也可以看出對(duì)稱一共軛對(duì)稱‘對(duì)’方法中與新守恒定律中[Xi,(mj,nj)]（或[Xi,(mj,nj,hj,lj)]）相互對(duì)應(yīng)，說明2種方法是等價(jià)的，同時(shí)也驗(yàn)證了2種方法推導(dǎo)高階PDEs守恒律的可行性和可操作性。