摘要： 針對含無壓段的長距離調(diào)水工程，采用二階Godunov格式的有限體積法進行有壓與無壓交接水力計算模擬.首先根據(jù)有限體積法，分別對有壓與無壓的控制方程離散，采用Riemann求解器計算通量，并引入MINMOD斜率限制器進行數(shù)據(jù)重構(gòu).邊界處采用虛擬邊界，實現(xiàn)了計算區(qū)域與邊界處的統(tǒng)一.在1個無壓計算時步內(nèi)，進行數(shù)個有壓計算，從而實現(xiàn)有壓與無壓的交接計算.將所建模型與傳統(tǒng)特征線法計算結(jié)果進行對比，驗證了所建模型的精確性.結(jié)果表明，在庫朗數(shù)小于1.00時，MOC在有壓流與無壓流均會產(chǎn)生較大的計算誤差，而FVM計算更加準確.對比了有壓與無壓交接水力計算結(jié)果與有壓段獨立計算的結(jié)果，后者結(jié)果更加保守，工程經(jīng)濟性較差，證明了提出的有壓與無壓的交接水力計算的必要性與準確性.

關(guān)鍵詞： 有壓管流；明渠流；有限體積法；Godunov格式；水力瞬變

中圖分類號： TV143.1 "文獻標志碼： A 文章編號： 1674-8530（2024）04-0373-07

DOI：10.3969/j.issn.1674-8530.22.0249

吳金遠， 周領(lǐng)， 胡垠盈，等.有壓與無壓交接水力系統(tǒng)有限體積法模擬分析［J］.排灌機械工程學(xué)報，2024，42（4）：373-379，387.

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Finite volume method simulation analysis of combined hydraulic

transients of pressurized pipe flow and open channel flow

WU Jinyuan1，2， ZHOU Ling1，3*， HU Yinying1， XU Yuyang1

（1. College of Water Conservancy and Hydropower Engineering， Hohai University， Nanjing， Jiangsu 210098，China； 2. Shanghai Muni-cipal Engineering Design Institute （Group） Co.， Ltd.， Shanghai 200092， China； 3. Yangtze Institute for Conservation and Development， Nanjing， Jiangsu 210098， China）

Abstract： The finite volume method （FVM） of the second-order Godunov scheme was used to simulate the long-distance water conveyance system with pressurized and open channel sections. Firstly， the governing equations of pressurized pipe flow and open channel flow were respectively discretized according to FVM， the flux was calculated by the Riemann solver， and the MINMOD slope limiters were introduced to avoid spurious oscillations during data reconstruction. The virtual-boundary approach was presented to achieve a unified computation scheme for all the control volumes at the internal domain and boundaries. In an open channel calculation time interval， several pressure calculations were carried out to realize the joint calculation of pressurized pipe flow and open channel flow. The model proposed in this paper was compared with the traditional method of characteristics （MOC） to verify the accuracy of the proposed model， and the sensitivity of the calculation time interval was analyzed. The results show that when the Courant number is less than 1.00， MOC will produce large calculation errors in both pressurized pipe flow and open channel flow， while FVM calculations are more accurate. The results of the combined hydraulic calculation of pressurized pipe flow and open channel flow were compared with that of the independent calculation of the pressurized section. The latter result is more conservative， which makes the economics of the construction design stage poor. Therefore， the joint calculation of pressurized pipe flow and open channel flow proposed in this study is of high necessity.

Key words： pressurized pipe flow;open channel flow;finite volume method;Godunov scheme;hydraulic transients

由于水資源分布的不均勻性以及人類社會對水需求的不均衡性，長距離調(diào)水已經(jīng)成為必然.中國已有南水北調(diào)、引黃濟青、東深供水等工程［1-2］，能緩解和解決部分地區(qū)缺水的迫切需要［3］.而隨著輸水規(guī)模的日益增大，長距離輸水系統(tǒng)逐步包含有壓流、無壓重力流以及有壓與無壓相結(jié)合的復(fù)雜供水系統(tǒng)等，而在這些復(fù)雜系統(tǒng)運行中往往存在著高壓力、大流量、多流態(tài)等特點［4-6］，該類工程對水力運行安全可靠性、控制精準性要求很高［7-8］，因此，對該類工程的精確數(shù)值模擬是十分必要的.

現(xiàn)階段，對于輸水系統(tǒng)水力瞬變常用的數(shù)值模擬計算方法為特征線法（method of characteristics， MOC），但MOC在復(fù)雜管網(wǎng)系統(tǒng)中，受制于庫朗數(shù)條件［9］，在有壓瞬變流中需要進行插值計算或者調(diào)整波速進行計算；而在無壓非恒定流中，其波速時刻都會產(chǎn)生變化，因此只能進行插值計算，從而產(chǎn)生較大的計算誤差.而在無壓非恒定流中，隱式差分法也常常被使用，例如Preissman隱式法，但其編碼計算更復(fù)雜，效率也較低［10］.綜上所述， 由于MOC計算缺乏穩(wěn)定性，而隱式差分法效率低下，所以針對含有無壓段的復(fù)雜水力輸水系統(tǒng)，需建立一種新的求解方式，以彌補上述方法的缺陷.

有限體積法（finite volume method， FVM）最早被運用于求解淺水方程，而鮮用于有壓管流.ZHAO等［11］基于Godunov求解格式，采用Riemann求解方法，得到了一階與二階的水錘計算格式.LEN等［12］建立和評估了一種管道內(nèi)部與邊界處均具有二階Godunov精度的有限體積法求解格式.而后不僅將該格式應(yīng)用于有壓管流，還拓展至明渠非恒定流、均質(zhì)流以及明滿交替流之中.畢勝等［13］基于Godunov格式，建立了二維水流-輸運方程的高精度耦合數(shù)學(xué)模型.趙越等［14］采用Godunov格式，并引入雙虛擬邊界對水錘方程進行數(shù)值求解，實現(xiàn)了計算區(qū)域內(nèi)部與邊界處的統(tǒng)一，并研究了庫朗數(shù)、對流項等參數(shù)的敏感性.

為了解決MOC在處理有壓流與無壓流工序復(fù)雜、精度較低的問題，文中采用二階Godunov的FVM，對某含有明渠段的長距離輸水工程的水力瞬變進行模擬，并分析有壓段獨立計算以及計算時間步長對有壓與無壓聯(lián)合計算的影響.

2 計算分析

2.1 簡單算例驗證

為了驗證上述有壓流與無壓流數(shù)學(xué)模型及其求解格式的正確性，分別對其進行模型驗證.

2.1.1 有壓段模型驗證

設(shè)置一上游水庫，下游閥門的簡單管道，管道長500 m，波速為1 000 m/s，上游水頭為10 m，初始流速為0.1 m/s，重力加速度為9.806 m/s2，總的計算時間取10 s，下游閥門設(shè)置為瞬時關(guān)閉，管道無摩阻，將閥門處的水錘計算結(jié)果與MOC計算結(jié)果進行對比，并分析庫朗數(shù)Cr對2種計算格式的影響.

根據(jù)圖3與圖4的計算結(jié)果（其中精確解為管道在無摩阻條件下理想的水錘波計算結(jié)果），當(dāng)庫朗數(shù)Cr為1.00時，MOC與FVM均能夠模擬精確計算結(jié)果，驗證了文中有壓流模型的準確性.同時，當(dāng)庫朗數(shù)小于1.00時，2種計算格式均會產(chǎn)生一定的數(shù)值耗散，但相比于MOC，在相同庫朗數(shù)條件下，F(xiàn)VM數(shù)值耗散更小，說明文中所采用的模型計算更加準確.

2.1.2 無壓段模型驗證

選擇LEN［19］論文中的算例進行無壓流模型的驗證.該模型參數(shù)：管道長1 000 m，截面為直徑15 m的圓形，管道中點處存在一閘門，閘門上游水深為10 m，下游水深為3 m，初始時刻為靜水狀態(tài)，上下游出口處均無進出流量.閘門設(shè)置為瞬時開啟，將文中模型計算所得的管道內(nèi)水面線與MOC、論文中的結(jié)果進行對比.具體計算結(jié)果如下：

根據(jù)圖5所示的模擬計算結(jié)果（以LEN［19］作為精確解），圖中x為明渠位置，y為明渠水深.在該算例中，相比于MOC，文中所建模型的計算值結(jié)果與精確解更接近，這是由于在無壓非恒定流中，其波速并不固定，會隨著時間與空間的變化而變化，因此， MOC在進行無壓非恒定流計算時，必須進行插值計算，從而造成了誤差，且誤差隨計算時間的延長而增大.這表明了文中所建立的求解無壓非恒定流模型的正確性與優(yōu)越性.

2.2 工程實例分析

已知某大型輸調(diào)水工程由有壓輸水段與無壓重力流段組成，2部分由一高位水池相連接.該工程的具體布置圖如圖6所示.

由于該工程中無壓段長度約為120 km，約為有壓段長度的12倍，為了提高模擬計算精度，將無壓段長度進行縮減.簡化后的管道參數(shù)如表1所示，表中L為管長，D為管徑， μ為管道糙率，sp為管道坡率.

在該工程中，5臺水泵完全相同，泵組相應(yīng)的參數(shù)：額定流量Qr=22 m3/s，額定揚程Hr=162 m，額定轉(zhuǎn)速nr=333.33 r/min，額定效率ηr=0.924，額定功率50 000 kW，單臺機組的轉(zhuǎn)動慣量GD2=330 t·m2.前池水位取上游設(shè)計水位0.72 m，高位水池池底高程142 m，設(shè)計水位148.50 m，下游水庫水位為6.83 m；調(diào)壓室主室為直筒型，橫截面為D=12 m的圓形，阻抗口直徑為3.5 m；高位水池面積為4 500 m2；泵后閥門采用折線關(guān)閉規(guī)律，轉(zhuǎn)折開度為0.2，第1段關(guān)閉時間為25 s，第2段關(guān)閉時間為35 s.

已知該工程對計算參數(shù)存在以下要求：最大反轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速不超過400 r/min，最大水頭不超過210 m，不出現(xiàn)負壓，調(diào)壓室最高涌浪高度不大于175 m，不小于76 m.采用二階Godunov格式的有限體積法對上述系統(tǒng)的五泵失電工況進行數(shù)值模擬，分析各項參數(shù)控制值是否滿足工程要求，具體計算結(jié)果如圖7所示.

根據(jù)圖7的計算結(jié)果，二階Godunov格式的有限體積法對于類似的復(fù)雜工程也有很好的適用性.且文中所計算的各項參數(shù)均滿足工程要求，同時根據(jù)圖7d高位水池水位H″的計算結(jié)果，文中對于有壓與無壓聯(lián)合的計算符合預(yù)期結(jié)果，且基本滿足工程要求，即該種有壓與無壓的聯(lián)合求解方式是合理的.

為了研究不同參數(shù)對于系統(tǒng)中水力瞬變結(jié)果的影響，對系統(tǒng)中參數(shù)進行敏感性分析.

1） 聯(lián)合計算的必要性分析

為了驗證聯(lián)合計算的必要性，將高位水池考慮為恒水位水池進行獨立計算，以此來比較有壓段的計算結(jié)果，具體計算結(jié)果如圖8以及表2所示，圖中H為泵出口處水頭，H′為調(diào)壓室水位.

根據(jù)圖8與表2的計算結(jié)果，當(dāng)把有壓段進行獨立計算時，對于水泵的最大反轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速nmax-r沒有影響，但是泵出口處的最大壓力Hmax-p與調(diào)壓室的最大涌浪高度Hmax-s計算結(jié)果更大.這是由于水泵最大反轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速一般出現(xiàn)在閥門快關(guān)時間段內(nèi)，而此時高位水池并不會出現(xiàn)過大的水位波動；而隨著時間流逝，高位水池中的水會在重力作用下從無壓段流走，進而導(dǎo)致2種情況下在后續(xù)的計算中產(chǎn)生較大的差異.因此，在實際工程設(shè)計中，獨立計算可以保證安全性有較大的裕度，但是經(jīng)濟性較差，而聯(lián)合計算結(jié)果更貼近實際情況，且可以一定程度減少調(diào)壓井等平水建筑物的施工量，經(jīng)濟性更好，因此，對于含有有壓與無壓的復(fù)雜輸調(diào)水工程，聯(lián)合計算是必要的.

2） 計算時間步長的影響

根據(jù)文中的1.3節(jié)可以得出，文中對于有壓與無壓的聯(lián)合計算主要取決于有壓段與無壓段的計算時間步長，為了既能夠滿足聯(lián)合計算精度的要求，同時還有著較高的計算效率.文中分別選擇不同的有壓段的計算時間步長（0.010，0.025，0.050，0.100 s），與文中所采用的0.070 s的計算結(jié)果進行對比分析，并保持各時間間隔下庫朗數(shù)均為0.95左右，以降低庫朗數(shù)對計算結(jié)果的影響.要求各計算時間步長下的總計算時間為1 200 s，并分別選擇第1個涌波極大值點與最后1個極小值點進行誤差分析.具體計算結(jié)果如圖9、表3所示（表中所計算的誤差值均是以0.01 s的計算結(jié)果為標準），表中tcpu為程序計算時長，HA為A點的水頭，εA為A點處的計算相對誤差，HB為B點處的水頭，εB為B點處的計算相對誤差.

根據(jù)圖9與表3的計算結(jié)果所示，取不同的時間間隔對于計算結(jié)果的精度確實有著一定的影響.當(dāng)時間間隔較大時，點A和點B的計算結(jié)果均小于時間間隔較小時的計算結(jié)果.且各時間間隔下的計算結(jié)果與0.01 s的相對誤差隨著時間間隔的變大而變大，且隨著計算時間的延長，各時間間隔下的相對誤差都會增大.但是當(dāng)時間間隔變小時，其計算時間呈現(xiàn)指數(shù)級增加.例如，文中所選擇的時間間隔為0.07 s，計算間隔為0.01 s的7倍，但是其計算時間僅約為0.01 s的1/40，而其在A，B這2點的具體計算的絕對誤差均小于0.05 m，A點相對誤差也不足1%，且在過渡過程的計算中，往往最主要的在于瞬變剛開始時刻各參數(shù)的變化值，且當(dāng)計算至點A時，水泵處閥門已經(jīng)完全關(guān)閉，此時管道內(nèi)的主要瞬變過程已經(jīng)結(jié)束.因此，選擇較大的計算時間步長，不僅對于該工程中整個瞬變過程中控制參數(shù)的計算結(jié)果影響不大，而且還可以大大提高對該工程的計算模擬效率.

3 結(jié) 論

1） 分別建立了二階Godunov格式的FVM有壓瞬變流與無壓非恒定流的數(shù)學(xué)模型，并實現(xiàn)了對某含有明渠段的長距離輸水工程的水力瞬變計算模擬.

2） 無論是有壓流還是無壓流，MOC均受限于庫朗數(shù)條件，在Crlt;1.00時，會產(chǎn)生嚴重的數(shù)值耗散，造成計算結(jié)果的誤差，而二階Godunov格式的FVM對于庫朗數(shù)的影響小，計算更加精確.

3） 當(dāng)有壓段進行獨立計算時，其由于未考慮高位水池通過無壓段流走的流量，使得有壓段的計算結(jié)果過于保守，可能使得工程在設(shè)計施工階段時的經(jīng)濟性較差.

4） 當(dāng)選擇較大的計算時間步長時，其計算結(jié)果與小時間間隔會有一定差異，但是其對于整個瞬變過程中各參數(shù)的計算結(jié)果并無過大影響，且還可以大大提高水力瞬變的模擬精度.

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（責(zé)任編輯 朱漪云）

收稿日期： 2022-10-22； 修回日期： 2023-04-03； 網(wǎng)絡(luò)出版時間： 2024-04-11

網(wǎng)絡(luò)出版地址： https：//link.cnki.net/urlid/32.1814.TH.20240408.1528.020

基金項目： 國家自然科學(xué)基金資助項目（51839008，51679066）；霍英東教育基金會青年教師基金項目（161068）

第一作者簡介： 吳金遠（1997—），男，江蘇宜興人，助理工程師（wjy_hhu@163.com.），主要從事水電站、泵站水力學(xué)研究.

通信作者簡介： 周領(lǐng)（1985—），男，安徽滁州人，教授（zlhhu@163.com），主要從事水電站、泵站水力學(xué)研究.