李艷

摘要：北京大學(xué)每年都會舉辦“優(yōu)秀中學(xué)生暑期學(xué)堂”（簡稱“北大暑期學(xué)堂”），參加此次活動的營員由各重點高中推薦.營員們除了參加學(xué)校的學(xué)名師講座以及校園學(xué)習(xí)體驗外，還會參加各學(xué)科的綜合測評.測評優(yōu)秀者被評為優(yōu)秀營員，并影響后續(xù)強基A+政策的發(fā)放，因此本套試題對于準備北大暑期學(xué)堂、寒假學(xué)堂和強基考試的學(xué)生都有重要作用.本套題為2023年北大暑期學(xué)堂的數(shù)學(xué)試題，試題分文、理，且各為5道解答題（每題20分，共100分），其中文理有3道相同的題目.

關(guān)鍵詞：北大暑期學(xué)堂；數(shù)學(xué)試題；解答題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0048-05

2023年的測評分為兩場：第一場為語文、數(shù)學(xué)、英語，總時長為3個半小時；第二場為兩個選考科目，總時長為2個小時.其中，每一場都是所有考試科目的試卷一起發(fā)放一起收回，學(xué)生自行決定各科目的做題順序以及時長；選考科目為物理、化學(xué)、歷史、政治四個科目中選取兩個科目，其中物理、歷史必選其一.今年恢復(fù)了線下測評，因此數(shù)學(xué)試題也由去年的單項選擇題改為了解答題.試題分文理科，每科都是5道題，每題20分，共100分，只要選擇物理為選考科目的學(xué)生就考理科數(shù)學(xué)，其他學(xué)生考文科數(shù)學(xué)；文科和理科有3道題目是一樣的，因此共有7道試題，本篇文章的前5道為文科數(shù)學(xué)試題，后5道為理科數(shù)學(xué)試題.

1 真題詳解

題1（文科）在ΔABC中，過點A作∠B，∠C平分線的垂線，垂足分別為點D和點E，證明：DE∥BC.

解 析如圖1，設(shè)∠B，∠C的平分線交于點I，且分別交AC，AB于點G，H，連接AI，則I為△ABC的內(nèi)心，且AI平分∠A.

因為AD⊥BD，AE⊥CE，所以A，D，I，E四點共圓.

所以∠DEI=∠IAD=90°-∠AID.

在△AIG中，∠AID=180°-∠IAG-∠AGI

=180°-12∠BAC-（∠GBC+∠GCB）

=180°-12∠BAC-（12∠ABC+∠ACB）

=180°-12（∠BAC+∠ABC）-∠ACB

=90°-12∠ACB，

所以∠DEI=90°-∠AID=12∠ACB=∠BCI.

所以DE∥BC.（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

題2（文科）求由8個方程xj=1+27x2jx21+x22+…+x28（j=1，2，…，8）聯(lián)立所成的方程組的實數(shù)解.

解析易知xj>1（j=1，2，…，8）.

將已知的8個方程相加可得

x1+x2+…+x8=8+27.

由xj=1+27x2jx21+x22+…+x28可得

x21+x22+…+x28=27x2jxj-1（j=1，2，…，8）.

因此x21x1-1=x22x2-1=…=x28x8-1.

由x21x1-1=x2jxj-1可得

（x1-xj）（x1xj-x1-xj）=0（j=1，2，…，8）.

所以xj=x1或者xj=x1x1-1（j=2，3，…，8）.

即x2，…，x8的取值只有x1和x1x1-1兩種.

不妨設(shè)x1，x2，…，x8中共有m個x1，8-m個x1x1-1，則m≥1.

于是有x1+x2+…+x8=mx1+（8-m）x1x1-1.

而mx1+（8-m）x1x1-1=mx1+8-mx1-1+8-m=

m（x1-1）+8-mx1-1+8，

所以m（x1-1）+8-mx1-1=27.

因為x1>1，由均值不等式可得

27=m（x1-1）+8-mx1-1≥2m（8-m），

解得m≥7或m≤1，即m=1，7，8.

當m=8時，x1=x2=…=x8=1+74，此時原方程組成立，這種形式的解共有1個；

當m=1時，x1-1+7x1-1=27，解得x1=1+7，此時有

x2=x3=…=x8=x1x1-1=1+77，經(jīng)檢驗原方程組成立，這種形式的解有1個；

當m=7時，7（x1-1）+1x1-1=27，解得x1=

1+77，可知x2，…，x8中還有6個等于1+77，1個等于x1x1-1=1+7，這樣的解共有7個.

綜上，方程組共有9組解，分別為

（1+74，1+74，…，1+74），（1+7，1+77，…，1+77），

（1+77，1+7，…，1+77），…，（1+77，1+77，…，

1+7）.

題3（文理科）設(shè)an=3（n2+n）+7，求數(shù)列an的前2 023項中為立方數(shù)的項的個數(shù).

解析依題意，an≡1（mod3）.

當k∈N*時，（3k）3≡0（mod3），（3k+1）3≡1（mod3），（3k+2）3≡2（mod3），

若an為某個數(shù)的立方，則有

an=（3k+1）3（k∈N*）.

于是有3（n2+n）+7=27k3+27k2+9k+1.

即n2+n+2=9k3+9k2+3k.

若n≡0（mod3），則n2+n+2≡2（mod3）；

若n≡1（mod3），則n2+n+2≡1（mod3）；

若n≡2（mod3），則n2+n+2≡2（mod3）.

綜上可得n2+n+2≡1，2（mod3）.

而9k3+9k2+3k≡0（mod3），故n2+n+2=9k3+9k2+3k不可能成立.

因此數(shù)列an的前2 023項中為立方數(shù)的項的個數(shù)為0.

題4（文理科）證明：12+15+110+117+…+12 0232+1<π2.

證明1因為1k2+1<1k2-k=1k-1-1k（k≥2），

所以12+15+110+117+…+12 0232+1

<12+（1-12+12-13+…+12 022-12 023）

=32-12 023<32<π2.

證明2因為1k2+1<1k2-1=12（1k-1-1k+1） （k≥2），

所以12+15+110+117+…+12 0232+1

<12+12（1-13+12-14+13-15…+12 022-12 024）

=12+12（1+12-12 023-12 024）

<12+12（1+12）=54<π2.

證明3因為y=11+x2在（0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞減，

所以∫1011+x2dx>11+12，∫2111+x2dx>11+22，…，∫2 0232 02211+x2dx>11+2 0232，

所以? 12+15+110+117+…+12 0232+1

<∫1011+x2dx+∫2111+x2dx+…+∫2 0232 02211+x2dx

=∫2 023011+x2dx.

而∫2 023011+x2dx<∫+

SymboleB@

011+x2dx=|arctanx|+

SymboleB@

0

=π2，

所以12+15+110+117+…+12 0232+1<π2.

題5（文理科）設(shè)f（z）是最高次項系數(shù)和常數(shù)項均為 1的復(fù)系數(shù)多項式，證明：max|z|=1|f（z）|≥2.

證明設(shè)f（z）=zn+an-1zn-1+…+a1z+1（ai∈C）.

設(shè)1的n次單位根為w，w2，…，wn-1，wn

，其中w=ei2πn，則wn=1.

因為∑nk=1|f（wk）|≥|∑nk=1f（wk）|=|∑nk=1（wk）n+an-1［∑nk=1（wk）n-1］+…+a1（∑nk=1wk）+n|，

∑nk=1（wk）i=∑nk=1（wi）k=wi［1-（wi）n］1-wi=wi［1-（wn）i］1-wi=0（i=1，2，…n-1），

所以|∑nk=1（wk）n+an-1［∑nk=1（wk）n-1］+…+a1（∑nk=1wk）+n|=|n+0+…+0+n|=2n［1］.

所以∑nk=1|f（wk）|≥2n，進而max|z|=1|f（z）|≥2.

題6（理科）求由1，2，3，4，5，6六個數(shù)字構(gòu)成的至少有三位數(shù)字不同且1，6不相鄰的五位數(shù)個數(shù).

解析1先算出來所有1，6不相鄰的五位數(shù)個數(shù)，再減去只有1個數(shù)字和兩個數(shù)字不同的且1，6不相鄰的五位數(shù)的個數(shù)即可.

先考慮所有1，6不相鄰的五位數(shù)的個數(shù)，分為以下幾種情況：

（1）五位數(shù)中不包含1且不包含6：共有45=1 024個；

（2）五位數(shù)中只包含1或只包含6：共有

2×（C15×44+C25×43+C35×42+C45×4+C55）=4 202個；

（按照這個五位數(shù)中有一個1，兩個1，三個1，四個1，五個1進行分類）

（3）五位數(shù)中包含1且包含6：

若只有一個1和一個6：共有43×A24=768個；（插空法）

若1和6共有三個，且1和6都至少有一個：共有42×3×3×2=288個；

若有一個1，三個6，或三個1，一個6：共有4×2×2=16個；

若1和6各有2個：共有4×2=8個［2］；

綜上可得，1，6不相鄰的五位數(shù)的個數(shù)共有：

1 024+4 202+768+288+16+8=6 306個.

只有一個數(shù)字的五位數(shù)共有6個；

只有兩個數(shù)字不同且1，6不相鄰的五位數(shù)共有（C26-1）×（25-2）=420個.

所以至少有三位數(shù)字不同且1，6不相鄰的五位數(shù)個數(shù)共有

6 306-6-420=5 880個.

解析2設(shè)由1，2，3，4，5，6六個數(shù)字構(gòu)成的且1，6不相鄰的n位數(shù)個數(shù)為Sn，其中末位數(shù)字為1或6的有xn個，末位數(shù)字既不是1也不是6的共有yn個，于是有

Sn=xn+yn，且xn+1=xn+2yn，yn+1=4（xn+yn）.

由xn+1=xn+2yn，得yn=xn+1-xn2.

所以yn+1=xn+2-xn+12.

代入yn+1=4（xn+yn）中得

xn+2=5xn+1+4xn.

同理可得yn+2=5yn+1+4yn.

所以Sn+2=5Sn+1+4Sn，其中S1=6，S2=6×6-2=34.

所以S3=5×34+6×4=194，

S4=5×194+4×34=1 106，

S5=5×1 106+4×194=6 306.

所以1，6不相鄰的五位數(shù)的個數(shù)共有6 306個.

以下同解析1.

題7（理科）設(shè)P是單位圓Γ內(nèi)一點，P距Γ的圓心的距離為12，圓Γ的內(nèi)接梯形ABCD的對角線交于點P，求梯形ABCD面積的最大值.

解析根據(jù)圓的對稱性可知，圓的內(nèi)接梯形為等腰梯形.以Γ的圓心為原點，OP所在直線為y軸建立直角坐標系xOy（不妨設(shè)A，B兩點在y軸右側(cè)，BC為上底），如圖2所示，則P（0，12）.

設(shè)A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），其中-π2<α<β<π2，則D（-cosα，sinα），C（-cosβ，sinβ）.

因為CA=（cosα+cosβ，sinα-sinβ），CP=（cosβ，12-sinβ），且A，C，P三點共線，

故（cosα+cosβ）（12-sinβ）=（sinα-sinβ）cosβ.

即12（cosα+cosβ）=sin（α+β）.（*）

從而α+β∈（0，π），

即α+β2∈（0，π2）.

由（*）得

cosα+β2cosα-β2=2sinα+β2cosα+β2.

即cosα-β2=2sinα+β2.

則SABCD=12（2cosα+2cosβ）|sinα-sinβ|

=（cosα+cosβ）（sinβ-sinα）

=4cosα+β2cosα-β2cosα+β2sinα-β2

=8cos2α+β2sinα+β21-cos2α-β2

=8cos2α+β2sinα+β21-4sin2α+β2

=8（1-sin2α+β2）（1-4sin2α+β2）sin2α+β2.

設(shè)sin2α+β2=a（0

SABCD=8（1-a）（1-4a）a

=8（1-a）2（1-4a）a.

令f（a）=（1-a）2（1-4a）a（0

則f ′（a）=-2（1-a）（1-4a）a-4（1-a）2a+（1-a）2（1-4a）

=（1-a）（16a2-11a+1）.

令f ′（a）=0，解得a1=11-5732∈（0，1），a2=11+5732∈（0，1）.

則f ′（a）和f（a）的變化見表1.

因為f（1）=0，

f（a1）=f（11-5732）

=（1-11-5732）2（1-11-578）11-5732

>0，

所以［f（a）］max=f（11-5732）

=（21+57）1457-9064.

所以，當sin2α+β2=11-5732時，梯形ABCD面積取得最大值

（21+57）1457-9064.

2 結(jié)束語

從內(nèi)容來看，“北大暑期學(xué)堂”的考查內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的延伸拓展，結(jié)合往年試題來看，出現(xiàn)比較多的模塊是不等式與方程、平面幾何、數(shù)論、計數(shù)、組合以及復(fù)數(shù)，并且對這些模塊的知識考查比較深入靈活，超過了高考對這部分知識的考查要求.因此，想在“北大暑期學(xué)堂”的考試中取得不錯的成績還需要在平時學(xué)習(xí)中對這些知識模塊的學(xué)習(xí)向深層次、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程轉(zhuǎn)化［3］.

參考文獻：

[1]楊文學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)原理與方法叢書：復(fù)數(shù)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2016.

[2] 唐浩哲.2022 年北大暑期學(xué)堂數(shù)學(xué)試題及其詳解[J].數(shù)理化解題研究，2023（4）：104-108.

[3] 伏奮強.“強基計劃”下“數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)”課堂教學(xué)例談[J].基礎(chǔ)教育論壇，2022（12）：78-79.

［責任編輯：李璟］