劉婷 于海杰 吳廣瑩 王世佳

摘 要：圓是幾何圖形中既實(shí)用又完美的圖形，在其簡約的外形下，潛藏著無窮的數(shù)學(xué)奧秘。為更好地了解教材，掌握圓的相關(guān)知識，為圓的單元教學(xué)做準(zhǔn)備，本文以人教版、北師大版和蘇教版教材為例，對不同版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材“圓”單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行比較研究，通過分析三個版本教材在年級段編排設(shè)置、生活情境編排、概念呈現(xiàn)方式、數(shù)學(xué)文化編排和教材習(xí)題編排五個方面的異同點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上提出教學(xué)建議，為本單元教學(xué)提供參考。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；教材研究；圓

中圖分類號：G623.5? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1673-260X（2024）04-0113-06

教材研究是確立教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)、設(shè)計教學(xué)過程的前提和依據(jù)，也是教師備課的基礎(chǔ)。教材研究，反映了教師對教材的理解程度，同時也可影響教師對教學(xué)的實(shí)施。

圓是圖形與幾何領(lǐng)域第三學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容。圓的學(xué)習(xí)與以往長方形、三角形等平面圖形的學(xué)習(xí)有著顯著的不同，它是直線圖形到曲線圖形的過渡，無論是學(xué)習(xí)曲線圖形的思想還是方法，對于學(xué)生而言都是一種跨越和挑戰(zhàn)。

本文以人教版、北師大版和蘇教版教材為例，通過比較三個版本教材關(guān)于“圓”的單元教學(xué)內(nèi)容，異中求同、同中存異，深入了解教材編排意圖，更好地把握“圓”單元教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)起點(diǎn)，加深教師對“圓”的理解，為教師課堂組織教學(xué)奠定基礎(chǔ)。

1 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》分析

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中，“圓”屬于圖形與幾何領(lǐng)域，是第三學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容，課標(biāo)對本單元的教學(xué)提出以下幾個方面要求：

1.1 學(xué)段目標(biāo)

會計算常見平面圖形的周長和面積，初步形成空間觀念和幾何直觀。

1.2 內(nèi)容要求

1．認(rèn)識圓和扇形，會用圓規(guī)畫圓；認(rèn)識圓周率；探索圓的周長和面積計算公式，能解決簡單的實(shí)際問題。

2.在圖形認(rèn)識與測量的過程中，進(jìn)一步形成量感、空間觀念和幾何直觀。

1.3 學(xué)業(yè)要求

會用圓規(guī)畫圓，能描述圓和扇形的特征；知道圓的周長、半徑和直徑；會計算圓的周長和面積。

1.4 教學(xué)提示

1.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，推導(dǎo)圓等平面圖形的面積公式，形成空間觀念和推理意識。

2.圓的教學(xué)可以列舉生活中的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生概括圓的特點(diǎn)，加深對圓的理解；了解中國古代數(shù)學(xué)家的杰出貢獻(xiàn)，傳播數(shù)學(xué)中的中華傳統(tǒng)文化。

通過以上分析，可見《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》這四個方面的表述都融入了核心素養(yǎng)，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)有機(jī)融合（見表1）。

因此，在教材分析時應(yīng)關(guān)注教材編排是否體現(xiàn)出核心素養(yǎng)理念，是否符合目標(biāo)，以及是如何體現(xiàn)這些要求。

2 三版教材“圓”單元結(jié)構(gòu)分析

對三個版本教材進(jìn)行橫向比較與梳理，分析三版教材結(jié)構(gòu)，把握教材設(shè)計意圖，豐富對“圓”的認(rèn)識和理解，提出教學(xué)建議，為教學(xué)提供參考。以下是對三版教材“圓”單元結(jié)構(gòu)的分析。

2.1 人教版“圓”單元結(jié)構(gòu)分析

人教版“圓”單元教學(xué)內(nèi)容分為五部分（見圖1）。一是圓的認(rèn)識，利用生活中的圓引入課題，設(shè)計多種方法畫圓，包括用圓規(guī)畫圓，理解圓的特征。二是圓的周長，從“給圓桌邊緣箍上一圈鐵皮”的生活情景入手，再通過測量多種圓形物品的周長和直徑，推導(dǎo)圓周長計算公式，最后展現(xiàn)圓周率的產(chǎn)生，感受數(shù)學(xué)文化的魅力。三是圓的面積，同樣以生活情境導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生用轉(zhuǎn)化的方法推導(dǎo)圓面積計算公式，體驗“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想和“無限接近”的極限思想。四是扇形，以生活中的扇形為例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識扇形及相關(guān)概念。五是整理和復(fù)習(xí)，設(shè)計如何確定圓形跑道的思考，并安排動手實(shí)踐、合作學(xué)習(xí)等活動，使學(xué)生獲得探究的體驗。

人教版教材通過生活情景和探究活動來讓學(xué)生了解圓，在學(xué)習(xí)圓周長和面積的過程中注重幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)圖形的經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。在圓面積公式的探究中滲透“化曲為直”的數(shù)學(xué)方法，學(xué)生在親自動手，積累經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步感受“極限”的思想。最后以整理與復(fù)習(xí)鞏固知識，不僅加強(qiáng)了知識之間的聯(lián)系，而且可以幫助學(xué)生進(jìn)行反思。此外，教材中加入了大量的生活素材和實(shí)踐性的活動，體現(xiàn)了“做中學(xué)”的教學(xué)理念，也讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的廣泛性。

2.2 北師大版“圓”單元結(jié)構(gòu)分析

北師大版“圓”單元內(nèi)容分為六個部分（見圖2）。一、二是圓的認(rèn)識，通過套圈游戲認(rèn)識圓，然后設(shè)計畫圓和“車輪為什么是圓的”等多個探究活動幫助學(xué)生了解圓的特征，積累活動經(jīng)驗。三是欣賞與設(shè)計，通過欣賞圖案、模仿圖案和設(shè)計圖案三個活動展開，來豐富學(xué)生的想象力和創(chuàng)新意識。四是圓的周長，結(jié)合實(shí)例認(rèn)識圓的周長，在探究圓的周長與直徑關(guān)系的過程中，理解圓周率的意義及圓周長的計算方法。五是圓周率的歷史，安排大量數(shù)學(xué)史和小組合作查找資料的活動，幫助學(xué)生增長數(shù)學(xué)的通識知識，建立對數(shù)學(xué)的整體意識。六是圓的面積，以“如何得到圓的面積”的問題，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生積極主動的思考。

北師大版教材在圓的認(rèn)識這一部分內(nèi)容上安排了較全面的知識，拓寬了圓的特點(diǎn)，與之前學(xué)習(xí)過的知識形成了緊密的聯(lián)系。在圓的認(rèn)識之后，編排了欣賞與設(shè)計、圓的周長、圓周率的歷史以及圓的面積等知識，不僅包含圓方方面面的知識點(diǎn)，而且可以使學(xué)生了解到研究曲線圖形的基本方法。同時，也滲透了曲線圖形和直線圖形的關(guān)系，這樣不僅擴(kuò)展了學(xué)生的知識面，而且從空間觀念方面來說，進(jìn)入了一個新的領(lǐng)域。

2.3 蘇教版“圓”單元結(jié)構(gòu)分析

蘇教版“圓”內(nèi)容分為四部分（見圖3）。一是圓的認(rèn)識，以生活中的圓導(dǎo)入，通過與之前圖形比較，理解圓和扇形的基本特征。二是圓的周長，編排例題，直觀形象地描述車輪的周長，比較車輪周長與直徑的關(guān)系，再通過數(shù)學(xué)實(shí)驗確認(rèn)圓周長計算公式。三是圓的面積，以數(shù)小方格引入課題，通過轉(zhuǎn)化的方法探索并掌握圓的面積公式以及解決一些實(shí)際問題。四是整理與復(fù)習(xí)，回顧圓的相關(guān)知識，歸納數(shù)學(xué)活動，積累探索學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)思維水平。

蘇教版教材從認(rèn)識直線圖形到認(rèn)識曲線圖形，不僅拓寬學(xué)生的知識面，豐富學(xué)生圖形與幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，而且也可以給學(xué)生探索學(xué)習(xí)的方法注入一些新的內(nèi)容，并使他們的空間觀念得到進(jìn)一步的發(fā)展。教材將圓的認(rèn)識與生活實(shí)際緊密結(jié)合，注重從生活現(xiàn)象中提取數(shù)學(xué)問題，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)某橄蟾爬?。教材重視不同?shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，不斷提高解決問題的能力。

綜上可以看出，三個版本教材對“圓”的內(nèi)容編排基本是一致的，都安排了圓的認(rèn)識、圓的周長、圓的面積等知識內(nèi)容，以圓的認(rèn)識到測量這條主線貫穿全單元，而對每一部分內(nèi)容大致以情景-操作-發(fā)現(xiàn)-驗證-歸納的鏈條展開（見圖4）。

3 三版教材“圓”單元編排的差異

下面主要分析三個版教材“圓”單元的年級段編排設(shè)置、生活情境編排、概念呈現(xiàn)方式、數(shù)學(xué)文化編排和教材習(xí)題編排五個方面的差異，以便精準(zhǔn)把握教材意圖，確立教學(xué)目標(biāo)，探索教學(xué)策略。

3.1 年級編排設(shè)置

從教材編排可以看出，人教版和北師大版將“圓”編排在六年級上冊，蘇教版將此內(nèi)容編排在五年級下冊，但都安排在了第三學(xué)段（見表2）。

3.2 教材細(xì)節(jié)編排

三版教材在“圓”單元細(xì)節(jié)編排上有很大不同，各具特色。這里主要分析三版教材在生活情境、測量方法和知識結(jié)構(gòu)編排的異同。

3.2.1 生活情境編排分析

三版教材都是從學(xué)生的生活環(huán)境出發(fā)來認(rèn)識圓（見圖5）。在具體編排上都以“生活圓到數(shù)學(xué)圓”的序列展開，但在具體生活情境編排中還是有差異的。如在情境中引入圓，人教版和蘇教版關(guān)注在摩天輪、水滴、羽毛球拍等生活現(xiàn)象中抽取圓，而北師大版本教材則聚焦于在游戲“公平性”中導(dǎo)出圓。可以看出三個版本的教材都緊密聯(lián)系生活實(shí)際，促進(jìn)學(xué)生對圓的特征的認(rèn)識。

3.2.2 測量方法編排分析

在探究圓的周長方面，三版教材都提供了繞線法和滾動法來測量圓周長，然后通過測量出的數(shù)據(jù)得出周長與直徑的關(guān)系（見圖6）。蘇教版還增加了在正方形中畫最大的圓的活動，通過外切正方形和內(nèi)接六邊形，推理出圓的周長比直徑的4倍小，比3倍大，學(xué)生在經(jīng)歷直觀感知、動手操作、計算推理、驗證結(jié)論的過程中，發(fā)現(xiàn)知識、理解知識、應(yīng)用知識。

3.2.3 知識結(jié)構(gòu)編排分析

三版教材“圓”內(nèi)容大體一致，安排了圓的認(rèn)識、圓的周長、圓的面積等知識內(nèi)容。但是三個版本教材的知識結(jié)構(gòu)編排是存在一定差異的，以“圓的認(rèn)識”為例來進(jìn)行簡單的分析比較。

人教版從“生活中的圓”引出“數(shù)學(xué)中的圓”，以“你能想辦法在紙上畫一個圓嗎？”入手，引導(dǎo)學(xué)生利用生活物品畫圓，用問題引發(fā)學(xué)生的思考。設(shè)計圓規(guī)畫圓幫助學(xué)生掌握畫圓的方法，之后引導(dǎo)學(xué)生小組交流，探究圓的大小和位置的影響因素，學(xué)生在小組交流過程中進(jìn)行思維的碰撞和融合，進(jìn)一步理解圓的結(jié)構(gòu)特征（見圖7）。

北師大版從套圈游戲到畫圓，在畫圓中體會圓的特征，從而引出對圓、圓心、半徑和直徑的認(rèn)識，以設(shè)問的方式引導(dǎo)學(xué)生探究圓的大小和位置的影響因素。在“試一試”中又將學(xué)生的視角引向生活，“以車輪為什么是圓的？”引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中探究圓與其他平面圖形的不同，并應(yīng)用所學(xué)知識解決生活中的問題，更加逼近圓的本質(zhì)理解。設(shè)計折紙活動探索圓的軸對稱性，在與其他平面圖形對稱性的比較中進(jìn)一步體會圓對稱性的特色（見圖8）。

蘇教版引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活經(jīng)驗抽象出圓的圖形，借助日常的學(xué)習(xí)用具畫圓，初步感知圓與已學(xué)平面圖形的不同之處。結(jié)合用圓規(guī)畫圓了解圓的各部分名稱，通過操作、比較、推理、想象和探索掌握圓的基本特征，初步了解扇形，知道弧和圓心角的含義，體會扇形與它所在的圓的關(guān)系（見圖9）。

3.3 概念呈現(xiàn)方式

考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平，三版教材沒有出示圓的具體定義，只是呈現(xiàn)出圓心、半徑和直徑的概念，而三版教材對圓心、半徑和直徑概念的表述是有差異的（見表3）。

從上表可以看出，人教版和蘇教版都是以一段文字對圓心、半徑和直徑進(jìn)行定義，北師大版則是以線段與字母結(jié)合的形式給出定義，北師大版的定義更簡潔明了，而且與之前學(xué)習(xí)的線段知識進(jìn)行結(jié)合，但是缺少了概括性。

3.4 數(shù)學(xué)文化編排

三版教材在學(xué)習(xí)過程中都加入了數(shù)學(xué)文化。通過“圓周率的歷史”等數(shù)學(xué)史閱讀，以及練習(xí)中大量和生活密切相關(guān)的問題，引導(dǎo)學(xué)生在厚重的歷史和精彩的現(xiàn)實(shí)中感受數(shù)學(xué)文化價值（見圖10）。人教版相比較于北師大版和蘇教版的數(shù)學(xué)文化知識較少，而北師大版和蘇教版教材所涉及的數(shù)學(xué)文化知識較多，在組織上是非常豐富的，知識全面具體。

3.5 教材習(xí)題編排

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“教材編寫建議”中指出，加強(qiáng)對教材例題和習(xí)題的分析，注重發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)，創(chuàng)新對例題和習(xí)題的使用，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)、學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)及通性共法。習(xí)題是教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，任何數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)都需要用練習(xí)來鞏固、深化。人教版、北師大版和蘇教版三個版教材都或多或少編排了一些關(guān)聯(lián)習(xí)題。對習(xí)題的比較研究，主要從習(xí)題排編數(shù)量、習(xí)題能力水平和習(xí)題問題情景三個方面入手。

3.5.1 習(xí)題安排數(shù)量分析

統(tǒng)計“圓”單元不同知識點(diǎn)的習(xí)題數(shù)量，將“圓”的知識大體分為圓的認(rèn)識、圓的周長、圓的面積和綜合性習(xí)題幾個部分（見表4）。

由表4可知，人教版教材和江蘇版教材關(guān)于“圓”單元的習(xí)題總量一樣，共56道。北師大版教材習(xí)題總量較少，共43道。人教版教材在圓的認(rèn)識、圓的周長、單元綜合性習(xí)題安排的習(xí)題數(shù)量基本相同?？梢钥闯鋈私贪娼滩牟粌H注重鞏固基礎(chǔ)知識，而且還重視單元綜合性練習(xí)。人教版教材在圓的面積安排的習(xí)題數(shù)量較多，可見人教版教材將圓的面積視為本單元的重難點(diǎn)。北師大版教材在每個領(lǐng)域安排的習(xí)題數(shù)量比較均衡，蘇教版教材在單元綜合習(xí)題安排的數(shù)量較多，可以看出蘇教版教材更加注重“圓”單元知識的綜合性。

3.5.2 習(xí)題能力水平分析

本文將習(xí)題能力水平分為知道事實(shí)和簡單技能、理解概念、運(yùn)用規(guī)則、解決問題四個部分，下面以“圓的周長”內(nèi)容為例分析統(tǒng)計（見表5）。

由表5可知，三版教材在知道事實(shí)和簡單技能、理解概念和運(yùn)用規(guī)則方面設(shè)計了較少的習(xí)題，而在解決問題方面設(shè)計了超過一半總數(shù)的習(xí)題，可見三版教材都十分注重問題解決策略的應(yīng)用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，符合了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》的“四能”要求。

3.5.3 習(xí)題問題情景分析

本文將習(xí)題問題情境分為無問題情境、個人問題情境、社會問題情境、職業(yè)問題情境、科學(xué)問題情境幾個部分，下面以綜合單元習(xí)題為例分析統(tǒng)計（見表6）。

由表6可知，人教版和北師大版教材在綜合單元習(xí)題中設(shè)計了大量的問題情境，并且問題情境的類型比較多樣，有利于學(xué)生接觸豐富多彩的生活，而蘇教版的問題情境習(xí)題數(shù)量較少。三版教材單元綜合習(xí)題設(shè)計了較多的社會問題情境習(xí)題，來引導(dǎo)學(xué)生更加關(guān)注社會中的問題，知道數(shù)學(xué)來源于生活，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

4 三版教材比較研究對教學(xué)的建議

每個版本教材都有各自的優(yōu)勢和特色，通過分析比較，總結(jié)以下幾點(diǎn)教學(xué)建議。

4.1 實(shí)踐活動引領(lǐng)，體現(xiàn)“做中學(xué)”

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》指出：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累的。如在進(jìn)行圓的面積教學(xué)時，教師可指導(dǎo)學(xué)生將把圓分成若干等份的小扇形拼一拼，從而“化圓為方”，再通過觀察、對比、推理得出圓的面積計算公式。這樣，不僅幫助學(xué)生認(rèn)識圓的特征，探索圓的積計算公式，而且學(xué)生能夠提高動手操作能力，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

4.2 豐富數(shù)學(xué)思想，彰顯數(shù)學(xué)價值

在“圓”單元中，蘊(yùn)含了多種數(shù)學(xué)思想方法。以圓的面積教學(xué)為例，教師可以利用現(xiàn)代信息技術(shù)，呈現(xiàn)將圓分成16份、32份、64份甚至更多份的情況，讓學(xué)生直觀地看到圖形的變化趨勢，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生想象：若分的份數(shù)無限增加，最后會是怎樣的情況？如此，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中可以領(lǐng)悟和運(yùn)用“極限”的數(shù)學(xué)方法，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力和內(nèi)在價值。

4.3 聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，展現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用

圓在生活中無處不在，因此在教學(xué)中，要利用好生活情景，用這些情景來引發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生探究。以圓的認(rèn)識教學(xué)為例，可以用“車輪為什么是圓的”來提問，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用相關(guān)知識去解決這個問題，以達(dá)到鞏固知識、加深體驗、學(xué)以致用的目的。同時，學(xué)生通過對生活問題的解決，也能更真實(shí)地體會數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用。

4.4 關(guān)注數(shù)學(xué)文化，弘揚(yáng)中華文化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 2022年版》中指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。數(shù)學(xué)的價值絕不是枯燥的計算過程，而是歷史的沉淀和結(jié)晶，它是人類最寶貴的財富。因此，教師應(yīng)整體把握教材內(nèi)容，盡可能了解圓的相關(guān)數(shù)學(xué)史料，以多樣化的方式融入數(shù)學(xué)課堂，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和對數(shù)學(xué)價值的認(rèn)識。

5 總結(jié)

教材是師生開展教學(xué)的最重要資源，教材是根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2022年版）》進(jìn)行編寫，雖然每個版本的教材內(nèi)容基本一致，但是三個版本的教材安排結(jié)構(gòu)和情景之間是存在較大差異的。通過對三個版本教材中“圓”單元的比較分析，可以發(fā)現(xiàn)三個版本的教材各具特色，分析其特色、衡量其優(yōu)劣，取長補(bǔ)短、靈活運(yùn)用，確定教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)起點(diǎn)，加深對“圓”的理解，為課堂教學(xué)奠定基礎(chǔ)。

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