宋方寧 李碩

摘要：本文所探究的教學(xué)設(shè)計從整體出發(fā)，由特殊到一般，繼而歸納出偶函數(shù)的定義，再將其符號化，然后讓學(xué)生類比研究奇函數(shù)，深刻貫徹核心素養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過程.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；奇偶性；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0002-03

函數(shù)的奇偶性是在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性與最大（小）值后又學(xué)到的一函數(shù)性質(zhì)，是對函數(shù)概念的深化學(xué)習(xí)，是經(jīng)歷大量函數(shù)的具體事例，從中分化、類比、抽象概括而得到的[1].本文從教學(xué)內(nèi)容解析、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置、學(xué)生學(xué)情分析、教學(xué)過程設(shè)計、教學(xué)反思五個方面進(jìn)行教學(xué)設(shè)計.

1 教學(xué)內(nèi)容解析

函數(shù)的奇偶性屬于人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第三章第二節(jié)的內(nèi)容，這是學(xué)生掌握函數(shù)單調(diào)性與最大（?。┲岛蟮囊粋€重要的函數(shù)性質(zhì)，也是后面學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的基礎(chǔ).

“函數(shù)的奇偶性”作為一節(jié)概念課，是在上節(jié)課學(xué)習(xí)完函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.教材中通過對兩個熟悉函數(shù)特征的繼續(xù)研究，發(fā)現(xiàn)其具有對稱性的特征，由此在函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的對稱性之間構(gòu)起一座橋梁，為新知識的學(xué)習(xí)提供教學(xué)思路，進(jìn)而利用函數(shù)解析式描述函數(shù)圖象的這個特征.要經(jīng)歷對不同函數(shù)實例進(jìn)行研究的過程，從中推理、概括得到函數(shù)奇偶性的概念，同時提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

基于以上分析，確定本節(jié)課的重點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的概念和奇偶函數(shù)的判斷.

2 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下：

（1）能從“數(shù)”和“形”兩個角度認(rèn)識函數(shù)的奇偶性，感悟數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵.

（2）經(jīng)歷奇偶性概念的探究歷程，由特殊到一般，由圖形語言到符號語言，理解函數(shù)的圖象特征與形式化定義.

（3）理解函數(shù)奇偶性的概念，掌握用奇偶性的概念判斷奇偶性的方法，并能夠解決一些簡單問題.

（4）培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、抽象的能力，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3 學(xué)生學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對稱、中心對稱等知識，并且已掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，能夠畫出其圖象，因此學(xué)生能夠通過畫圖來觀察其特征.

對學(xué)生來說發(fā)現(xiàn)函數(shù)奇偶性是比較容易的，但是用數(shù)學(xué)符號語言描述數(shù)與形之間的聯(lián)系存在困難，也就是說靈活轉(zhuǎn)換圖象與語言的能力較弱，并且存在小組合作交流能力較弱的現(xiàn)象.

基于以上分析，確定本節(jié)課的難點(diǎn)是能夠?qū)⒑瘮?shù)的圖象特征轉(zhuǎn)化為符號語言.

4 教學(xué)過程設(shè)計

引言設(shè)計：數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這道出了“數(shù)”和“形”不可分割的特點(diǎn).

4.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

師：“數(shù)形結(jié)合”的思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中運(yùn)用得非常廣泛，上一節(jié)課我們就運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，以函數(shù)f（x）=x2，f（x）=x為例研究了函數(shù)的單調(diào)性，從形的角度以函數(shù)的圖象入手，來研究圖象的特征；再從數(shù)的角度將其特征符號化，最終抽象出函數(shù)的性質(zhì)，同時也發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì).那么這兩個函數(shù)的圖象除了單調(diào)性外，還具有哪些其他的特征呢？

生：對稱性.

師：其實，對稱性就是函數(shù)的一種性質(zhì)“奇偶性”.接下來我們將繼續(xù)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，來研究“函數(shù)的奇偶性”.（板書課題）

4.2 運(yùn)用方法，研究性質(zhì)

師：首先從函數(shù)的圖象入手進(jìn)行思考.

問題1：我們知道函數(shù)f（x）=x2，f（x）=x的圖象是對稱的，那么它們的圖象有何具體的特征呢？

追問1：你如何判斷這個函數(shù)的圖象就是對稱的呢？

追問2：如何判斷函數(shù)f（x）=x4-5x2+7圖象的對稱性呢？

預(yù)案：（沉默）

師：看來對于解析式較為復(fù)雜、難以畫出圖象的函數(shù)，我們無法準(zhǔn)確判斷函數(shù)圖象的對稱性，那么究竟應(yīng)該根據(jù)什么來判斷呢？我們一起來進(jìn)行探究.

師：以f（x）=x2的圖象為例，從“形”的角度看，這個圖象關(guān)于y軸對稱，折疊后完全重合.我們通過幾何畫板的動態(tài)演示來具體觀察（動態(tài)圖）.

師：我們知道函數(shù)的圖象是由點(diǎn)構(gòu)成的，那么完全重合意味著什么呢？

預(yù)案：意味著折疊后函數(shù)圖象上的每一個點(diǎn)與其對應(yīng)點(diǎn)是完全重合的.

師：接下來我們類比研究“單調(diào)性”時數(shù)形結(jié)合的方法，從“數(shù)”的角度來研究函數(shù)f（x）=x2的圖象中的點(diǎn)與其對應(yīng)點(diǎn)有何特征.

問題2：我們先在圖象上取一點(diǎn)A（1，1），過點(diǎn)A作y軸的垂線，與圖象交于另一點(diǎn)A′（-1，1），可知這兩點(diǎn)是關(guān)于y軸對稱的，你能發(fā)現(xiàn)它們的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)有何特征嗎？

追問1：同樣的，再取一個點(diǎn)B（2，4），過其作y軸的垂線，與圖象交于它的對稱點(diǎn)B′（-2，4），現(xiàn)在你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

追問2：你還能舉出一個例子嗎？

問題3：我們通過三個實例得到這個規(guī)律，是否函數(shù)圖象上任意一個點(diǎn)都滿足這個規(guī)律呢？

師生活動：教師通過幾何畫板演示在f（x）=x2的圖象上任取點(diǎn)P，P′是P的對稱點(diǎn)，拖動點(diǎn)P，P′的橫坐標(biāo)總與P相反，縱坐標(biāo)相等，從而驗證剛才得出的規(guī)律是正確的.

追問1：那么如何將得到的規(guī)律用數(shù)學(xué)符號語言表示出來？

預(yù)案：對于任意一個x，都有f（-x）=f（x）.

師：剛才我們是通過圖象進(jìn)行分析得到的，其實從數(shù)的角度也可以進(jìn)行證明（語言解釋）：f（-x）=（-x）2=x2；也就是說對于任意一個x，都有f（-x）=f（x）.

追問2：那么對任意一個x還有什么要求？（定義域R）.

追問3：那么你能概括出f（x）=x2是偶函數(shù)的定義了嗎？

預(yù)案：對于定義域內(nèi)R的任意一個x，都有f（-x）=f（x），這時我們稱此函數(shù)為偶函數(shù).

問題5：函數(shù)f（x）=|x|的圖象是否也具有類似的特征呢？請同學(xué)們以小組為單位，類比上面的研究方法進(jìn)行探究.

師生活動：教師用幾何畫板演示在圖象上任取點(diǎn)P，P′是P的對稱點(diǎn)，拖動點(diǎn)P，發(fā)現(xiàn)P′的橫坐標(biāo)總與P相反，縱坐標(biāo)相等.

追問1：那么如何將得到的規(guī)律用數(shù)學(xué)符號語言表示出來？

師：可以符號化為對于任意一個x，都有f（-x）=f（x），同樣可進(jìn)行證明：f（-x）=|-x|=|x|.

追問2：那么對任意一個x還有什么要求呢？

追問3：你能給出它是偶函數(shù)的定義了嗎？

預(yù)案：對于定義域R內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=f（x），這時我們稱此函數(shù)為偶函數(shù).

問題6：你能根據(jù)這兩個具體的偶函數(shù)，概括出一般的偶函數(shù)定義嗎？

預(yù)案：一般地，如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù).

【設(shè)計意圖】通過對兩例函數(shù)的研究，都是由特殊點(diǎn)到一般點(diǎn)，由特殊函數(shù)到一般函數(shù)，最后概括歸納其定義，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

問題7：請同學(xué)們觀察以下函數(shù)f（x）=x和

f（x）=1x的圖象.你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)的圖象有什么共同特征嗎？（小組討論）

預(yù)案：這兩個函數(shù)，總是有當(dāng)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)時，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)；符號化為對于任意一個x，都有f（-x）=-f（x）；任意一個x要滿足在定義域內(nèi).

問題8：你能歸納出奇函數(shù)的定義嗎？

預(yù)案：一般地，如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù).

【設(shè)計意圖】通過小組討論，借助研究偶函數(shù)的方法類比研究奇函數(shù)，自主歸納出奇函數(shù)的定義，有助于培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力，符合核心素養(yǎng)的基本要求，同時鞏固數(shù)形結(jié)合的思想方法，加強(qiáng)記憶.

4.3 鞏固練習(xí)，加強(qiáng)記憶

題形一判斷下列函數(shù)的奇偶性.

（1）f（x）=2x2+2xx+1；

（2） f（x）=x3-2x;

（3）f（x）=|x|x2+1.

【設(shè)計意圖】通過對不同函數(shù)類型的判斷與類比，強(qiáng)化學(xué)生用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟與方法.

題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.

（1）若函數(shù)f（x）=2x-a2x+1的圖象關(guān)于y軸對稱，則常數(shù)a=.

（2）已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，f（x）=2x+2x-a，則f（1）=.

【設(shè)計意圖】通過對函數(shù)奇偶性的實際應(yīng)用，讓學(xué)生感悟其內(nèi)涵與本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對其性質(zhì)的內(nèi)化與理解.

4.4 課堂小結(jié)，提高升華

（1）本節(jié)課我們是如何對函數(shù)奇偶性進(jìn)行研究的？

（2）偶函數(shù)和奇函數(shù)有什么不同？如何用符號來表示？

（3）本節(jié)課體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生回顧所運(yùn)用的思想方法，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，加強(qiáng)對函數(shù)奇偶性概念的記憶.

5 教學(xué)反思

函數(shù)奇偶性是一個形式化概念，具有抽象性，因此本節(jié)課采用整體教學(xué)策略.讓學(xué)生完整經(jīng)歷概念的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法探究問題，讓學(xué)生能夠在以后的學(xué)習(xí)過程中繼續(xù)沿用該數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］黃邦杰.直觀想象·類比提高·提升素養(yǎng)：對“函數(shù)的奇偶性”一課的幾點(diǎn)思考[J].中國數(shù)學(xué)教育，2021（08）：7-8.

［責(zé)任編輯：李璟］