張澤勇

摘要：求二面角的大小是高數(shù)學(xué)中的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，也一直是歷年高考的高頻考點(diǎn)，重點(diǎn)考查邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).但是大部分學(xué)生仍然畏懼這類題型或者解此類題的方法非常單一，本文中通過“一題多解”來探究二面角的求法，幫助學(xué)生掌握解決此類題的方法，領(lǐng)悟解題過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

關(guān)鍵詞：二面角；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思想

1真題再現(xiàn)

題目（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）如圖1，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為BC的中點(diǎn).

（1）證明：BC⊥DA；

（2）點(diǎn)F滿足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值.

2解法探究

由于問題（1）只需先證明BC⊥平面ADE即可得到結(jié)論，因此本文重點(diǎn)探究問題（2）中求解二面角的方法.

方法1：坐標(biāo)法.

解：設(shè)DA=DB=DC=2.

結(jié)合題意，得AC=AB=2，DE=AE=2.

所以AE2+DE2=AD2，即AE⊥DE.

又AE⊥BC，DE∩BC=E，所以

AE⊥平面BCD.

如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，則D（2，0，0），A（0，0，2），

B（0，2，0），E（0，0，0）.

設(shè)平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為n1=（x1，y1，z1），n2=（x2，y2，z2）.

由EF=DA=（－2，0，2），可得

F（－2，0，2），所以AF=（－2，0，0）.

又AB=（0，2，-2），則有

－2x1+2z1=0，2y1－2z1=0，2y2－2z2=0，－2x2=0.

易得n1=（1，1，1），n2=（0，1，1）.

設(shè)二面角D-AB-F的大小為θ，則

|cosθ|=|n1·n2||n1||n2|=23×2=63.

所以sinθ=1－69=33.

故二面角D-AB-F的正弦值為33.

歸納：此方法是在能夠建立空間直角坐標(biāo)系的前提下，通過分別求出兩個平面的法向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求出二面角的余弦值，然后求出二面角的正弦值.

方法2：基底法.

解：設(shè)DA=DB=DC=2.

令DA=a，DB=b，DC=c，則

a·b=2，a·c=2，b·c=0.

設(shè)平面ABD的法向量為m=xa+yb+zc.

由m·DB=0，m·DA=0，得（xa+yb+zc）·b=0，（xa+yb+zc）·a=0.

令y=－1，解得m=2a－b－3c，則|m|=26.

易證CA⊥平面ABF，所以CA是平面ABF的一個法向量.又CA=a－c，|CA|=2，所以

cos〈CA，m〉=CA·m|CA||m|=82×26=63.

所以sin〈CA，m〉=1－cos2〈CA，m〉=33.

歸納：此方法是在確定基底的前提下，先求出兩個平面的法向量（用基底表示），進(jìn)而求出二面角的余弦值.

點(diǎn)評：以上兩種方法都是將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，將向量的運(yùn)算結(jié)果翻譯為幾何結(jié)論，有效避免了尋找二面角的平面角，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，將“數(shù)”與“形”完美結(jié)合.但對學(xué)生計(jì)算能力的要求較高，這就需要在教學(xué)中加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).

方法3：定義法.

解：如圖3，取AB的中點(diǎn)P，BF的中點(diǎn)N，連接AE，DE，PN，PE，DP，則PN∥AF.

由EF=DA，可知四邊形ADEF為平行四邊形，則DE∥AF，所以

DE∥PN.

方法1中已證DE⊥AE.

又DE⊥BC，BC∩AE=E，所以

DE⊥平面ABC，則

DE⊥AB.

所以PN⊥AB.

又在等邊三角形ABD中PD⊥AB，

所以∠DPN是二面角D-AB-F的平面角.

設(shè)DA=DB=DC=2，又因?yàn)椤螪PN與∠PDE互補(bǔ)，

sin∠DPN=sin∠PDE=PEDP=33.

歸納：利用此方法求解二面角，其實(shí)質(zhì)就是在圖中先確定二面角的平面角，然后求出平面角的大小即二面角的大小.所以利用定義法求解二面角最關(guān)鍵的步驟就是確定二面角的平面角.

方法4：分割法[1].

解：如圖4，取AB的中點(diǎn)P，連接DP，DE，PE.在方法3中已證DE⊥平面ABC，DE∥AF，所以AF⊥平面ABC.又AF平面ABF，則平面ABC⊥平面ABF，所以二面角C-AB-F為直二面角.在等邊三角形ABD中，AB⊥DP，又PE是DP在平面ABC內(nèi)的射影，由三垂線逆定理得AB⊥PE.

所以∠DPE是二面角D-AB-C的平面角.

易得cos∠DPE=PEDP=33.

因?yàn)槠矫鍭BC將二面角D-AB-F分割為二面角D-AB-C和直二面角C-AB-F，設(shè)二面角D-AB-F的大小為θ，則θ=∠DPE+π2，所以

sinθ=sin∠DPE+π2=cos∠DPE=33.

方法5：三垂線法.

解：如圖5，過點(diǎn)E作OE⊥平面ABD，垂足為O.設(shè)DA=DB=DC=2.結(jié)合題意，得EA=EB=DE=2，則點(diǎn)O是等邊三角形ABD的中心.過點(diǎn)O作OM∥EF，使得OM=EF，連接MF，AM，DE，DO，則四邊形OEFM為平行四邊形，得OE∥MF.所以

MF⊥平面ABD.

由EF=DA，知EF∥AD，且EF=AD，則OM∥AD，且OM=AD，所以四邊形ODAM為平行四邊形，所以M∈平面ABD，AM為斜線AF在平面ABD內(nèi)的射影.

由方法3已證DE⊥AB，DE∥AF，所以AB⊥AF.

由三垂線逆定理，得AB⊥AM.

所以∠MAF（或其補(bǔ)角）為二面角D-AB-F的平面角.

在等邊三角形ABD中，DO=233；

在平行四邊形ODAM中，AM=DO=233；

在Rt△AMF中，MF=AF2－AM2=63.

所以sin∠MAF=MFAF=632=33.

歸納：方法4與方法5其實(shí)運(yùn)用的都是垂線法，兩種解法都是在已經(jīng)確定了其中一個半平面的垂線的前提下解題.在解題中，要確保垂線與兩個平面的交點(diǎn)后，才能找到解題的突破口.在方法3中，確定的垂線確實(shí)與兩個平面都相交，只是交點(diǎn)重合（交點(diǎn)重合的情況必定是垂線與二面角的棱相交的時候），此時可用分割法確定二面角的平面角.方法4中，無法確定其中一個平面的垂線與另一個平面

，則可通過平移垂線，使平移后的垂線與兩個平面都相交，確定了交點(diǎn)后可根據(jù)三垂線法得到二面角的平面角（或補(bǔ)角）.

方法6：兩個半平面的垂線所成角（或補(bǔ)角）的大小即為所求二面角的大小.

解：如圖6，過點(diǎn)E作OE⊥平面ABD，垂足為O，取AB的中點(diǎn)P，連接PE，OP，DE，EA，則OE⊥OP.

設(shè)DA=DB=DC=2，結(jié)合題意得EA=EB=DE=2，則點(diǎn)O是等邊三角形ABD的中心.在方法4中已證明平面ABC⊥平面ABF，AB⊥PE，又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ABF=AB，所以PE⊥平面ABF.

所以∠OEP（或其補(bǔ)角）為二面角D-AB-F的平面角.又OP=13DP=33，PE=12AC=1，

則在Rt△POE中，有sin∠OEP=OPPE=33.

歸納：方法6其實(shí)與方法1和方法2的解題思想本質(zhì)是一樣的，共同點(diǎn)是利用二面角中兩個半平面垂線的夾角與二面角的平面角的關(guān)系，通過求解兩垂線的夾角，進(jìn)而確定二面角的大小.

方法7：垂面法.

解：如圖7，取AB的中點(diǎn)P，BF的中點(diǎn)N，連接DE，PN，PE，EN，DP，

則PN∥AF，EP∥AC.

由EF=DA，可知四邊形ADEF為平行四邊形，則DE∥AF.

所以DE∥PN，可知平面PDE與平面PDEN是同一平面.在方法3中已證AB⊥DE，在方法4中已證AB⊥PE，又PE∩DE=E，PE，DE平面PDEN，則AB⊥平面PDEN.

所以∠DPN是二面角D-AB-F的平面角.

設(shè)DA=DB=DC=2.

由方法3，已計(jì)算sin∠DPN=33.

歸納：此方法是在確定了二面角的棱的垂面后，此垂面與二面角的兩個半平面的交線所成的角就是二面角的平面角.如果垂面與二面角的兩個半平面的交線無法確定，可以通過延展平面或者平移平面來確定兩交線.

點(diǎn)評：方法3～方法7都是根據(jù)二面角的平面角的作法，利用判定定理和性質(zhì)定理證明所作角即為所求角，這些方法不僅要求學(xué)生對相應(yīng)的知識非常熟悉，而且要有較強(qiáng)的邏輯推理和直觀想象能力.

以上7種方法都是通過挖掘題目中的隱含條件，雖然每種方法的側(cè)重點(diǎn)不同，但是本質(zhì)都是圍繞二面角的定義直接或間接求解二面角，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，所以“一題多解”的探究是有必要的.除了以上方法，其實(shí)還有一些其他求解二面角的方法，比如面積射影法、三面角公式法[2]，用這兩種方法同樣能解出此題.關(guān)于二面角的解法也許還有很多，解法的多樣性更能考查學(xué)生的綜合解題能力.本文中通過“一題多解”探究二面角的解法，幫助學(xué)生掌握解決此類題的方法，在知識與方法的整合中全面提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，并領(lǐng)悟解題過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

參考文獻(xiàn)：

［1］程宏詠.從一道調(diào)研試題談二面角的求法[J].數(shù)學(xué)之友，2022（10）：66-68.

［2］張東.從2020年一道高考題談二面角的求法[J].理科考試研究，2021（17）：17-19.