文| 孫 磊

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的第一要素，是學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維的重要基礎(chǔ)和前提?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》中提出，數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中也提出：數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過(guò)對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)抽象能力主要包括數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)，這些是進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。沒(méi)有數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析就無(wú)從談起。筆者結(jié)合多年的課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教育對(duì)象的認(rèn)知特點(diǎn)，從以下幾個(gè)方面談一談小學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)途徑。

一、尊重認(rèn)知規(guī)律，從積累感性經(jīng)驗(yàn)過(guò)渡到發(fā)展抽象能力

“乘法分配律”教學(xué)片段：

師：學(xué)校要做校服，每件上衣45 元，每條褲子35元，買這樣6 套校服，一共要多少元？

生：方法一：（45+35）×6=480（元）；方法二：45×6+35×6=480（元）。

師：五年級(jí)有4 個(gè)班，四年級(jí)有6 個(gè)班，每個(gè)班需要24 根跳繩，一共需要多少根跳繩？

生：方法一：（4+6）×24=240（根）；方法二：4×24+6×24=240（根）。

師：每張辦公桌300 元，每把椅子140 元，購(gòu)買2套辦公桌椅一共要多少錢？

生：方法一：（300+140）×2=880（元）；方法二：300×2+140×2=880（元）。

師：觀察這些等式，你有哪些發(fā)現(xiàn)？在小組內(nèi)互相說(shuō)一說(shuō)。

（45+35）×6=45×6+35×6

（4+6）×24=4×24+6×24

（300+140）×2=300×2+140×2

生：兩個(gè)數(shù)之和乘一個(gè)數(shù)等于兩個(gè)數(shù)分別乘這個(gè)數(shù)，再把兩次的積加起來(lái)。

師：請(qǐng)你試著用點(diǎn)子圖圈一圈或者用實(shí)物卡片擺一擺，解釋你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

師：（最后逐步過(guò)渡到代數(shù)思維）如果用a、b、c分別代表三個(gè)數(shù)，你會(huì)用字母表示這個(gè)規(guī)律嗎？

生：（a+b）×c=a×c+b×c

乘法分配律的探究需要學(xué)生在大量的數(shù)學(xué)實(shí)例中進(jìn)行不完全歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而在理解的基礎(chǔ)上運(yùn)用。數(shù)學(xué)思維的發(fā)展依據(jù)年齡特征要經(jīng)歷直觀行動(dòng)思維、具體形象思維、抽象邏輯思維等階段。小學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)是從具體形象思維到抽象邏輯思維不斷發(fā)展的，必須積累大量的感性經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上提升數(shù)學(xué)抽象能力。教師進(jìn)行教學(xué)時(shí)應(yīng)該運(yùn)用學(xué)生熟悉的事物將抽象的概念直觀化、生動(dòng)化，讓學(xué)生在形象思維的基礎(chǔ)上形成抽象思維。

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中一定要注意運(yùn)用多種方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)真實(shí)、有趣的問(wèn)題情境，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、多種感官配合積累大量的感性實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，真正把課堂還給學(xué)生。在積累了較為充分的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)后，通過(guò)回憶感知、操作演示、數(shù)形結(jié)合，逐步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、概括、提煉數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、規(guī)律和方法，從而培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的能力。

二、堅(jiān)持“啟發(fā)—發(fā)現(xiàn)”原則，從充分觀察和實(shí)踐逐步過(guò)渡到歸納總結(jié)

“圓的認(rèn)識(shí)”教學(xué)片段：

師：怎樣才能畫(huà)一個(gè)圓呢？大家先試著畫(huà)一畫(huà)，并和組員交流畫(huà)圓的方法。（學(xué)生利用各種學(xué)具獨(dú)立實(shí)踐，并交流心得）

師：請(qǐng)各組派代表演示一下你們是怎么畫(huà)圓的，并介紹你們選的學(xué)具是什么，選這些學(xué)具的用途是什么。

生：我們選擇的學(xué)具有圖釘、繩子、鉛筆。用繩子一頭綁住圖釘，一頭綁上鉛筆，把圖釘一端固定，鉛筆一端繞圖釘旋轉(zhuǎn)一周。雖然有些不圓，但是基本畫(huà)出圓了。

師：如果圖釘一端不綁死，而是個(gè)環(huán)，鉛筆再繞圖釘旋轉(zhuǎn)就更圓了。

生：我們選擇的學(xué)具是尺子和鉛筆。尺子一端有個(gè)小孔，我們就將鉛筆尖穿過(guò)小孔，按住尺子的另一頭不動(dòng)，讓鉛筆旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個(gè)圓了。

師：看到大家用不同的學(xué)具都畫(huà)出了一個(gè)圓，老師也想畫(huà)一個(gè)圓。看看老師用一支粉筆在黑板上畫(huà)一個(gè)圓。（教師利用手指和粉筆畫(huà)出一個(gè)圓）

師：還有選擇不同學(xué)具畫(huà)圓的嗎？

生：我們選擇用圓規(guī)畫(huà)圓，找一點(diǎn)固定圓規(guī)的一只腳，捏著圓規(guī)的上端旋轉(zhuǎn)一周，圓就畫(huà)好了。

師：這么多種畫(huà)圓的方法，老師選了兩種。我們一起來(lái)看看。（課件播放圖釘、繩子、鉛筆畫(huà)圓和圓規(guī)畫(huà)圓的動(dòng)畫(huà)視頻）

師：觀察思考不同的畫(huà)圓方法有什么相同之處。

生：都有固定不動(dòng)的點(diǎn)和固定的長(zhǎng)度。

師：都是先定點(diǎn)，再定長(zhǎng)，最后旋轉(zhuǎn)一周。定點(diǎn)就是圓心，定長(zhǎng)就是半徑。

“啟發(fā)—發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)要堅(jiān)持培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立展開(kāi)實(shí)踐探索活動(dòng)，并組織學(xué)生嘗試將實(shí)踐探索后的發(fā)現(xiàn)做總結(jié)。上述案例中，教師要求學(xué)生用各種方式畫(huà)圓，但不是停留在方法技能指導(dǎo)的層次，而是啟發(fā)學(xué)生觀察并實(shí)踐，將“固定的一點(diǎn)”和圓心、“繩長(zhǎng)”和半徑巧妙聯(lián)系起來(lái)，打通了圓的特征和畫(huà)圓方法之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立技能目標(biāo)背后的意義支撐，從而實(shí)現(xiàn)了圓從生活走向數(shù)學(xué)的最終抽象。

然而，比賽并沒(méi)有讓觀眾滿意。面對(duì)職業(yè)排名402名的墨西哥菜鳥(niǎo)，他僅憑點(diǎn)數(shù)獲勝?！爸匦谋容^飄，打拳沒(méi)有力量，打了就跑?！编u市明的經(jīng)紀(jì)公司老板李勝賽后收到很多批評(píng)。

教師不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，還要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程。課堂教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)觀察、思考進(jìn)而實(shí)踐探索，新的知識(shí)才能從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中生長(zhǎng)出來(lái)，這樣的過(guò)程對(duì)學(xué)生而言有著深刻的印象和積極的意義。原有的數(shù)學(xué)知識(shí)概念是學(xué)生思維的載體，不斷生成的知識(shí)概念正是數(shù)學(xué)抽象思維加工的結(jié)果。按照維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，要相信學(xué)生的潛在發(fā)展水平，學(xué)生墊一點(diǎn)腳尖能摘到的果子，教師一定不要替代。所以課堂教學(xué)進(jìn)程要慢下來(lái)，讓學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，最終建構(gòu)屬于自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、重視直觀演示，從教師的介入演示過(guò)渡到學(xué)生的自發(fā)表達(dá)

“相遇問(wèn)題”教學(xué)片段：

師：淘氣和笑笑兩家相距520 米，兩人同時(shí)從家里出發(fā)，相向而行。淘氣每分鐘走60 米，笑笑每分鐘走70 米。幾分鐘后兩個(gè)人相遇？相遇時(shí)兩人分別走了多少米？

師：我們先來(lái)演示一下。同桌兩人模擬兩個(gè)人的行走過(guò)程，看看你能發(fā)現(xiàn)什么。和同伴交流一下。（教師巡視指導(dǎo)）

生：兩人是同時(shí)出發(fā)、面對(duì)面行走。

生：淘氣走得慢，笑笑走得快，淘氣和笑笑一共走了520 米，相遇時(shí)笑笑走的路程多。

師：像這樣兩人同時(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，叫作相遇問(wèn)題。請(qǐng)兩位同學(xué)到講臺(tái)上表演一下淘氣和笑笑是怎樣出發(fā)和相遇的。誰(shuí)愿意試一試？

（學(xué)生再次模擬演示相遇過(guò)程，體會(huì)到相遇時(shí)兩人所用的時(shí)間相等以及相遇點(diǎn)的位置靠近速度慢的一邊）

師：大家伸出雙手對(duì)他們的精彩表演表示感謝！鼓掌時(shí)也要掌心相對(duì)，兩只手同時(shí)出發(fā)最后相遇，這樣才能發(fā)出響聲！

師：幾分鐘后相遇？解決這個(gè)問(wèn)題畫(huà)線段圖是個(gè)不錯(cuò)的辦法，從圖中你能發(fā)現(xiàn)什么？（課件逐步出示線段圖幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。線段圖動(dòng)畫(huà)演示兩人的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，在相遇點(diǎn)標(biāo)上小旗，兩個(gè)人的運(yùn)動(dòng)過(guò)程都被劃分為4 個(gè)小格，通過(guò)逐步涂色來(lái)演示兩個(gè)人每分鐘共同走過(guò)的路程）

生：淘氣走的路程+笑笑走的路程=520（米）。

生：兩人每分鐘一共走的路程是：60+70=130（米）。

師：你能用方程來(lái)解決這道題嗎？在練習(xí)本上試一試。

以前學(xué)生只研究過(guò)單一物體單一方向的行程問(wèn)題，本節(jié)課學(xué)習(xí)的是兩個(gè)物體且方向不同的行程問(wèn)題。學(xué)生對(duì)相遇問(wèn)題的理解有一定難度。教師只有準(zhǔn)確把脈學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，設(shè)計(jì)直觀演示活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生積極參與到操作過(guò)程中，學(xué)生才能夠理解相遇問(wèn)題的本質(zhì)特征和數(shù)量關(guān)系。

康德在《純粹理性批判》中指出，直觀概念是我們認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，新的概念都是從直觀概念中發(fā)展而來(lái)的。直觀演示對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)具有促進(jìn)作用，因?yàn)槌橄蟮囊?guī)律或空間想象，往往需要在頭腦中建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型。一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生僅僅通過(guò)數(shù)學(xué)信息通常不能抽象出數(shù)學(xué)模型。課堂上，教師通常選擇利用教具或多媒體進(jìn)行直觀演示，如在小學(xué)低段使用數(shù)字卡片、幾何圖形計(jì)數(shù)器、動(dòng)物貼紙，在小學(xué)的高段采用標(biāo)準(zhǔn)化的儀器、實(shí)物進(jìn)行演示。在使用教具或多媒體時(shí)，一定要注意直觀演示適時(shí)、適量、適度，力求使直觀演示起到積極的作用。直觀演示容易吸引學(xué)生，而發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律和本質(zhì)特征，需要學(xué)生進(jìn)行細(xì)致的觀察和縝密的思考。教師教學(xué)要重視過(guò)程，處理好過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系。教師能用實(shí)物演示的，就盡量不要用動(dòng)畫(huà)；能用動(dòng)態(tài)演示的就盡量不用靜態(tài)；學(xué)生能主動(dòng)演示的，教師就盡量不要代替。教師要大膽鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)演示表達(dá)，強(qiáng)調(diào)直觀演示活動(dòng)要緊緊抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。情境是數(shù)學(xué)問(wèn)題的外在依托。教師在課堂教學(xué)中要時(shí)刻牽著數(shù)學(xué)思維發(fā)展這條主線，讓直觀演示突破情境，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)和內(nèi)涵。

四、采取變式教學(xué)，從發(fā)現(xiàn)規(guī)律過(guò)渡到舉一反三

“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)片段：

師：剛才同學(xué)們分別用量、拼、折等方法驗(yàn)證了“三角形的內(nèi)角和是180 度”。請(qǐng)大家思考以下數(shù)學(xué)問(wèn)題。

1.已知等腰三角形的頂角是110°，求底角的度數(shù)。

2.已知直角三角形一個(gè)銳角的是65°，求另一銳角度數(shù)。

3.求等邊三角形中每個(gè)角的度數(shù)。

生：可以應(yīng)用三角形內(nèi)角和是180°來(lái)解決這些問(wèn)題。（過(guò)程略）

師：兩個(gè)完全相同的三角尺拼成一個(gè)大三角形后，新三角形的內(nèi)角和是多少呢？為什么？

生：也是180°，雖然兩個(gè)180°加起來(lái)是360°，但是有兩個(gè)直角拼成了一個(gè)平角，這個(gè)平角不能算大三角形的角，所以新三角形的內(nèi)角和仍然是180°。

師：多個(gè)三角形可以拼成四邊形、五邊形、六邊形……它們的內(nèi)角和又是多少呢？根據(jù)今天的學(xué)習(xí)，你有哪些啟發(fā)？

在研究了三角形內(nèi)角和后，教師設(shè)計(jì)了一系列變式問(wèn)題逐步拓展學(xué)生思維的深度。特別是把兩個(gè)相同的三角尺拼成大一個(gè)大三角形求其內(nèi)角和這個(gè)變式問(wèn)題，學(xué)生憑直覺(jué)認(rèn)為一個(gè)三角尺內(nèi)角和是180°，兩個(gè)拼起來(lái)內(nèi)角和理應(yīng)是360°，在實(shí)際操作中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)直角拼到大三角形的邊上了，內(nèi)角和仍然是360°－180°=180°。最后依次呈現(xiàn)三角形拼成各種多邊形，引發(fā)學(xué)生探究多邊形內(nèi)角和的規(guī)律。教學(xué)重視發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更重視運(yùn)用規(guī)律解決新問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

小學(xué)階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過(guò)程，在實(shí)踐與體驗(yàn)中感悟數(shù)學(xué)理性的邏輯之美，發(fā)現(xiàn)生活表象背后的數(shù)學(xué)規(guī)律。這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程并非數(shù)學(xué)家所描述的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，而是學(xué)生自己理解自主建構(gòu)的思維過(guò)程。課堂中，教師普遍重視知識(shí)的傳遞和技能的訓(xùn)練，往往忽視學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。教師采取變式教學(xué)，學(xué)生采取自主探究式的學(xué)習(xí)對(duì)于知識(shí)概念的自主建構(gòu)意義重大，相當(dāng)于教師給學(xué)生搭建探究學(xué)習(xí)的腳手架，培養(yǎng)其自學(xué)能力、自悟能力。學(xué)生完整經(jīng)歷“問(wèn)題猜想—問(wèn)題驗(yàn)證—得出結(jié)論”這樣像數(shù)學(xué)家一樣的思考過(guò)程，也是從普遍現(xiàn)象到提煉出一般規(guī)律的思維發(fā)展過(guò)程。

史寧中教授說(shuō)：數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，特別是創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，是“悟”出來(lái)的，而不是“教”出來(lái)的，因?yàn)閿?shù)學(xué)結(jié)果是“看”出來(lái)的，而不是“證”出來(lái)的。會(huì)“悟”、會(huì)“看”的底蘊(yùn)是把握數(shù)學(xué)基本思想。基本思想是數(shù)學(xué)的精髓。在教學(xué)活動(dòng)中，基本思想將是主線，但是數(shù)學(xué)思想不像數(shù)學(xué)知識(shí)一樣被明明白白地寫(xiě)在教材里，而是隱含在教材中的，需要教師挖掘、提煉出來(lái)，并貫穿到教學(xué)過(guò)程中。抽象是基本的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)抽象方法是數(shù)學(xué)化的一般方法，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中必定要用到的數(shù)學(xué)方法。所以，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生逐步感悟抽象思想，這樣才能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。