康稱彩

【摘要】運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力.在新課標(biāo)中，運(yùn)算能力的內(nèi)涵被進(jìn)一步細(xì)化，要求學(xué)生在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上理解運(yùn)算問題，并能簡潔地進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和數(shù)式變形，另外還強(qiáng)調(diào)了代數(shù)推理的重要性.運(yùn)算能力是溝通數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維的橋梁，本文從新課標(biāo)的視野出發(fā)闡述提升初中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的策略.

【關(guān)鍵詞】新課標(biāo)；初中數(shù)學(xué)；運(yùn)算能力

新課標(biāo)提升了對運(yùn)算能力的培養(yǎng)要求，不僅強(qiáng)調(diào)運(yùn)算能力在培養(yǎng)學(xué)生必備品格方面的作用，還滲透了對一些高階思想的教學(xué)，除了重視對學(xué)生規(guī)則意識和程序意識的培養(yǎng)，還著重對學(xué)生一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)科學(xué)態(tài)度的培養(yǎng).在新課標(biāo)視野下，教師在運(yùn)算模塊教學(xué)中需要運(yùn)用更多綜合性的策略.

1 注重結(jié)構(gòu)化教學(xué)，強(qiáng)化運(yùn)算一致性

提升學(xué)生的運(yùn)算能力，并非通過大量的機(jī)械化訓(xùn)練來實(shí)現(xiàn)，而是要注重運(yùn)算的內(nèi)涵.初中數(shù)學(xué)會涉及大量的實(shí)數(shù)運(yùn)算以及代數(shù)運(yùn)算，這些運(yùn)算雖然形式上有所不同，但是本質(zhì)上存在通性，都遵循相同的算理，即所謂運(yùn)算的一致性.在教學(xué)中，如果能注重結(jié)構(gòu)化教學(xué)，可以大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)不同類型運(yùn)算的效率.

例如 教學(xué)人教版“同底數(shù)冪的除法”這一課時(shí)，跟“同底數(shù)冪的乘法”有所不同，課本不再從實(shí)際問題出發(fā)，引出一系列特殊的算式，然后觀察算式獲得一定的規(guī)律從而得到法則，而是選擇從知識的內(nèi)部發(fā)展出發(fā)，由數(shù)的運(yùn)算中“除法是乘法的逆運(yùn)算”，啟發(fā)學(xué)生思考在式子運(yùn)算中這一原理是否適用來作為切入點(diǎn)，這其實(shí)就是在強(qiáng)化運(yùn)算的一致性，本節(jié)課有幾個(gè)比較重要的教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn).

關(guān)鍵點(diǎn)1

師：學(xué)習(xí)完整式的乘法，同學(xué)們想想看我們接下來還要學(xué)些什么？

生：整式的除法.（基于數(shù)的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生容易想到加減乘除四種運(yùn)算類型的完備性）

師：根據(jù)我們學(xué)習(xí)整式乘法的經(jīng)驗(yàn)，我們先從最簡單的單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式入手，28x4y2÷7x3y這個(gè)式子大家會算嗎？

生：會.跟單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式一樣，應(yīng)該是系數(shù)除以系數(shù)，同底數(shù)冪除以同底數(shù)冪.（大部分學(xué)生都認(rèn)同他的觀點(diǎn)）

師：同底數(shù)冪相除的部分你會算嗎？（生：不會）你能不能大膽猜測下同底數(shù)冪除法的法則.

生：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.那么同底數(shù)冪相除，應(yīng)該是底數(shù)不變，指數(shù)相減？（教師給予肯定的目光）

師：你能不能舉個(gè)例子來佐證你的猜想？

生：33÷32=3.

關(guān)鍵點(diǎn)2

師：剛才那位同學(xué)的猜想大家能不能用一個(gè)等式表示出來？

生：am÷an=am-n.（基于同底數(shù)冪的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生容易寫出）

師：猜想是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的前提，但是我們必須用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明來解釋這個(gè)猜想的合理性.有哪位同學(xué)可以解釋下？（學(xué)生沉默）大家想想看，小學(xué)的時(shí)候我們怎么得到除法法則的？

生：我記得是由乘法得到的，已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算，叫做除法.

師：很好，我們說除法是乘法的逆運(yùn)算，在式子運(yùn)算中同樣適用，你能用它來解釋am÷an=am-n這個(gè)式子嗎？（小組討論）

生：可以.由同底數(shù)冪的乘法得到amam-n=an，根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算得到am÷an=am-n.（強(qiáng)化代數(shù)推理）

關(guān)鍵點(diǎn)3

師：數(shù)學(xué)是追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，大家剛才都完成了對于am÷an=am-n的證明，但是還不嚴(yán)謹(jǐn)，誰來補(bǔ)充一下？

生：我覺得指數(shù)位置的m要大于n.（師：為什么？）因?yàn)橥讛?shù)冪乘法強(qiáng)調(diào)的是指數(shù)要為正整數(shù)，所以要想amam-n=an，則m-n>0，即m>n.

師：特別好，想得很仔細(xì).現(xiàn)在大家可以動(dòng)手給同底數(shù)冪的除法定義法則了嗎？

生：am÷an=am-n.（其中m，n為正整數(shù)且m>n）

師：你能用文字語言來陳述這個(gè)法則嗎？

生：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.（教師呈現(xiàn)同底數(shù)冪乘法法則，把二者放在同一個(gè)表格中進(jìn)行橫向?qū)Ρ龋?/p>

堅(jiān)持從知識的內(nèi)部關(guān)聯(lián)入手，注重結(jié)構(gòu)化教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生自主建構(gòu)和舉一反三的能力，這樣大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)不同類型運(yùn)算的效率.這樣的案例還有很多，例如二次根式加減這門課，基于結(jié)構(gòu)化教學(xué)，先讓學(xué)生猜想可能的運(yùn)算路徑，學(xué)生容易根據(jù)經(jīng)驗(yàn)猜想“二次根式相加減，就是把被開方數(shù)相加減，再開根號”，這樣的猜想合理但不正確，教師就要適時(shí)地干預(yù)，采用舉反例（4+9≠13）的方法糾正，然后再引導(dǎo)學(xué)生思考其他可能的路徑（類比合并同類項(xiàng)），最后再用運(yùn)算律解釋其合理性.重視結(jié)構(gòu)化教學(xué)，對運(yùn)算進(jìn)行聚類分析，能幫助學(xué)生明晰運(yùn)算的對象和意義.

2 注重程序示范，強(qiáng)調(diào)反饋糾正

堅(jiān)實(shí)的運(yùn)算基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)的重要保障，所以在運(yùn)算能力形成的認(rèn)知階段（學(xué)會怎么算）要重視教師的示范作用，特別是在初一年段，教師要肯花時(shí)間把運(yùn)算的每一個(gè)步驟講清楚、寫清楚，然后讓學(xué)生理解每一步的算理依據(jù)并能夠正確表述.

例如 學(xué)生經(jīng)常把“-22”與“-22”搞混，那么教師在辨析這兩個(gè)式子的時(shí)候就要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清式子中冪的結(jié)構(gòu)（底數(shù)和指數(shù)分別是什么），理清運(yùn)算的對象，可以通過讓學(xué)生復(fù)述“-22是以-2為底數(shù)，表示-2的2次冪；-22是以2為底數(shù)，表示2的2次冪的相反數(shù)，負(fù)號是冪的符號而不是底數(shù)2的符號”，達(dá)到區(qū)分的目的，發(fā)揮教師的示范性作用可以幫助學(xué)生形成規(guī)范性作答的習(xí)慣，確保運(yùn)算的準(zhǔn)確率.

另外，學(xué)生在做一些數(shù)值計(jì)算或者變形的時(shí)候總是喜歡跳步，所以往往因?yàn)槿笔шP(guān)鍵性步驟，導(dǎo)致一分未得，那么教師在初一年級的時(shí)候就要嚴(yán)格要求學(xué)生，引導(dǎo)他們將運(yùn)算程序化，當(dāng)然可以少一點(diǎn)練習(xí)題，但是每一道題目計(jì)算都需要學(xué)生歸納總結(jié)步驟，以幫助學(xué)生提高得分率.

例如 解有分母的一元一次方程，就要求學(xué)生在第一步去分母的時(shí)候，給每一項(xiàng)的式子先加一個(gè)括號，然后檢查是否漏乘，進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算時(shí)，要求學(xué)生先確定積的符號，再用代入法求解二元一次方程組的時(shí)候，代入列式的步驟要呈現(xiàn)出來等.

要想提高學(xué)生的運(yùn)算能力，不是依靠題海戰(zhàn)術(shù)或者機(jī)械化的計(jì)算訓(xùn)練，而是要適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生反饋糾正.有的時(shí)候讓學(xué)生復(fù)盤自己的運(yùn)算過程，自查自糾，有的時(shí)候可以人為地設(shè)置像這樣的習(xí)題：

例如 （2022·福建）推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，若推理過程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．

有人聲稱可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：

設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令x=m，

等式兩邊都乘以x，得x2=mx．①

等式兩邊都減m2，得x2-m2=mx-m2．②

等式兩邊分別分解因式，得（x+m）（x-m）=m（x-m）．③

等式兩邊都除以x-m，得x+m=m．④

等式兩邊都減m，得x=0．⑤

所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0．

以上推理過程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對應(yīng)的序號是．

這樣的習(xí)題，可以讓學(xué)生認(rèn)真參與到運(yùn)算的每一個(gè)步驟，思考每一個(gè)步驟所運(yùn)用的算理是否正確.這樣不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生綜合性的運(yùn)算知識，還可以提高學(xué)生的閱讀水平，在時(shí)間有限的課堂達(dá)到高效學(xué)習(xí)的目的.在進(jìn)行反饋糾正訓(xùn)練的時(shí)候，要讓學(xué)生反思“錯(cuò)在哪里”“為什么錯(cuò)”“如何訂正”以及“怎樣規(guī)避錯(cuò)誤”，這樣的過程比進(jìn)行單一運(yùn)算有趣味，更容易吸引學(xué)生的注意力.

3 簡化運(yùn)算思維，優(yōu)化運(yùn)算途徑

如果說前面的兩個(gè)策略是為了提高學(xué)生運(yùn)算的準(zhǔn)確率，那么這一個(gè)策略就是為了提高學(xué)生運(yùn)算的品質(zhì).我們知道，有些時(shí)候數(shù)式存在特殊結(jié)構(gòu)，如果能幫助學(xué)生形成特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)意識，那么學(xué)生就更有機(jī)會用比較簡化的運(yùn)算思維來優(yōu)化運(yùn)算的途徑.數(shù)式中存在很多特殊結(jié)構(gòu)，比如相反數(shù)、倒數(shù)、完全平方、平方差、共軛、對偶等，如果只是簡單地識記，其實(shí)不利于學(xué)生形成自動(dòng)化的意識，但是如果能把這些式子中蘊(yùn)含的對稱思想和數(shù)形結(jié)合思想道明，可以大大提高學(xué)生自動(dòng)化水平.

例如 一元二次方程的求根公式x=-b±Δ/2a是反映根與系數(shù)關(guān)系的復(fù)雜形式，里面蘊(yùn)含著整式、分式、根式，內(nèi)容豐富，單獨(dú)看并無特殊，但是合在一起看，就會發(fā)現(xiàn)里面存在對偶（共軛）結(jié)構(gòu)，它們的和與它們的積都不含根式，韋達(dá)定理就是跟它們相關(guān)的運(yùn)算結(jié)論，屬于根與系數(shù)的簡潔形式.如果碰到這樣的習(xí)題：“已知x=1是方程x2+3x+m=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是”.大部分學(xué)生都會習(xí)慣性地選擇將x=1代入方程求解出m的值，然后再求解方程，這樣運(yùn)算的效率大大降低，如果學(xué)生對韋達(dá)定理熟練掌握，那么根據(jù)韋達(dá)定理的兩根之和為-3，就可以快速求解出方程的另外一個(gè)根.這樣“設(shè)而不求”的方法，在二次函數(shù)的綜合題中經(jīng)常會用到.像這樣的對偶結(jié)構(gòu)在代數(shù)運(yùn)算中很常見，比如，在三角函數(shù)中也存在“如果∠A+∠B=90°，那么sin∠A=cos∠B”，學(xué)生通過觀察特殊角的三角函數(shù)值表容易發(fā)現(xiàn)這種對偶關(guān)系.

運(yùn)算也并非簡單地識別完運(yùn)算對象，然后就要依據(jù)法則進(jìn)行程序化運(yùn)算，有的時(shí)候也需要關(guān)注到式子中是否含有特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu).以下面這道題為例：

例題 （2022-2023廈門期末質(zhì)檢）△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝67.5°，BC的長為2/2π．點(diǎn)P是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，BP＝m（m≥2）．射線OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到射線OD，如圖1所示．點(diǎn)Q是射線OD上的點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O不重合，連接PQ，PQ＝n．

（1）求⊙O的半徑；

（2）當(dāng)n2＝m2-2m＋2時(shí)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)Q的位置會隨之變化，記Q1，Q2是其中任意兩個(gè)位置，探究直線Q1Q2與⊙O的位置關(guān)系．

對于第（2）問中出現(xiàn)的式子“n2＝m2-2m＋2”，大部分學(xué)生把它當(dāng)作方程進(jìn)行求解，對等式中的式子進(jìn)行毫無方向的變形，比如出現(xiàn)n2-1=（m-1）2的變形，這部分學(xué)生其實(shí)具備特殊代數(shù)結(jié)構(gòu)的意識，但是并不知道這些特殊變形有什么具體的作用，有的會根據(jù)（m-1）20討論n的取值范圍.

顯然，在這樣的圖形問題中，學(xué)生缺乏數(shù)形結(jié)合的思想，未能正確地把代數(shù)式的信息和圖形的信息對應(yīng)起來，導(dǎo)致選錯(cuò)了運(yùn)算的途徑，進(jìn)行了一些無效的運(yùn)算操作.所以除了對稱思想，數(shù)形結(jié)合思想的也能夠提高學(xué)生特殊代數(shù)結(jié)構(gòu)的自動(dòng)化意識.

4 結(jié)語

綜上所述，算法是通過有限的步驟解決數(shù)學(xué)問題的程序，這種程序通?？梢岳糜?jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn).所以滲透算法的思想，是信息化時(shí)代培養(yǎng)學(xué)生信息化素養(yǎng)的重要任務(wù).挖掘運(yùn)算中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是新課標(biāo)與舊課標(biāo)內(nèi)容要求上的最大不同，也是核心素養(yǎng)下運(yùn)算教學(xué)的新方向.

【基金項(xiàng)目：本文系思明區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“基于新課標(biāo)視角的初中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力提升策略探究”的研究成果（編號：2202220001）】

參考文獻(xiàn)：

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