張偉明 梁婷婷

【摘? ?要】通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)，可以認(rèn)識(shí)圖形特征，掌握測(cè)量方法。教師以人教版教材“立體圖形的體積和表面積”的教學(xué)為例，通過(guò)三次圖形運(yùn)動(dòng)，逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形特征，掌握?qǐng)D形測(cè)量方法，類(lèi)化圖形結(jié)構(gòu)，從而更好地聯(lián)通圖形與幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】圖形與幾何；圖形的運(yùn)動(dòng)；體積；表面積

一、緣起

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)“圖形與幾何”領(lǐng)域進(jìn)行了調(diào)整，將《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的“圖形的認(rèn)識(shí)”“圖形的測(cè)量”“圖形的運(yùn)動(dòng)”“圖形的位置”四個(gè)主題，整合為“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”兩個(gè)主題。這一變化說(shuō)明“認(rèn)識(shí)”與“測(cè)量”、“位置”與“運(yùn)動(dòng)”在教學(xué)內(nèi)容上緊密關(guān)聯(lián)。比如，圖形特征的刻畫(huà)有助于測(cè)量方法的掌握，而測(cè)量方法的習(xí)得又有助于圖形特征的理解。兩者又可以通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)的視角實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)，即在圖形的運(yùn)動(dòng)中認(rèn)識(shí)圖形特征，掌握測(cè)量方法，實(shí)現(xiàn)圖形特征認(rèn)識(shí)與圖形運(yùn)動(dòng)之間的一致性，使各主題緊密結(jié)合。

那該領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)如何展開(kāi)深入思考與實(shí)施呢？對(duì)此，筆者參閱吳正憲老師、張秋爽老師關(guān)于“以運(yùn)動(dòng)視角刻畫(huà)圖形特征”和“以運(yùn)動(dòng)視角理解圖形測(cè)量”的觀(guān)點(diǎn)［1］，結(jié)合人教版教材六年級(jí)下冊(cè)“整理和復(fù)習(xí)”單元中的“立體圖形的體積和表面積”這一內(nèi)容進(jìn)行實(shí)踐。一方面，作為小學(xué)階段“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”領(lǐng)域的最后一課，“立體圖形的體積和表面積”的教學(xué)需要對(duì)立體圖形的體積和表面積進(jìn)行系統(tǒng)梳理；另一方面，這一復(fù)習(xí)內(nèi)容對(duì)學(xué)生整合所學(xué)的有關(guān)圖形的零碎知識(shí)提出了更高要求（如圖形的特征、圖形之間的關(guān)聯(lián)、計(jì)算公式的由來(lái)等）。

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）第一次圖形運(yùn)動(dòng)：以圖形特征為焦點(diǎn)，激活知識(shí)鏈

對(duì)圖形特征的認(rèn)知主要體現(xiàn)在對(duì)圖形的抽象上。為此，學(xué)生需經(jīng)歷從實(shí)際物體抽象出幾何圖形的過(guò)程。以圖形的運(yùn)動(dòng)為視角，可通過(guò)圖形的動(dòng)態(tài)演繹，使學(xué)生對(duì)圖形特征的理解變得更為深刻。比如，三維直柱體也可通過(guò)二維平面圖形垂直平移得到。由此，學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化中再次認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線(xiàn)、面等特征，以已有的知識(shí)點(diǎn)為基礎(chǔ)，激活知識(shí)鏈。

在本內(nèi)容的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師先以課件的動(dòng)態(tài)方式演示“點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)、線(xiàn)動(dòng)成面、面動(dòng)成體”的過(guò)程，直觀(guān)呈現(xiàn)圖形的形成過(guò)程：一個(gè)點(diǎn)沿一個(gè)方向平移，運(yùn)動(dòng)后的軌跡是一條線(xiàn)（如線(xiàn)段）。一條線(xiàn)段沿同一個(gè)方向平移，運(yùn)動(dòng)后的軌跡能形成長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形；將這條線(xiàn)段繞著一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，運(yùn)動(dòng)形成的軌跡是圓（或扇形）。將平面圖形平移可形成長(zhǎng)方體、正方體、圓柱，旋轉(zhuǎn)可形成圓柱或圓錐（如圖1）。這一圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程再現(xiàn)了一維、二維和三維間的轉(zhuǎn)化，為學(xué)生回顧圖形的特征奠定基礎(chǔ)。接著，教師提出核心問(wèn)題：“看到V=Sh的計(jì)算公式，你想到了哪些圖形的體積？你想怎么說(shuō)明？”通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，幫助學(xué)生回憶并整理出長(zhǎng)方體、正方體、圓柱等立體圖形都能用這一公式計(jì)算體積。具體來(lái)說(shuō)，長(zhǎng)方體的體積為abh，正方體的體積為a?，圓柱的體積為πr?h。其中，ab、a?、πr?為底面積，h（a）為圖形的高。在運(yùn)動(dòng)視角下，學(xué)生能快速回憶起各種立體圖形的特征，為形成知識(shí)結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)。

（二）第二次圖形運(yùn)動(dòng)：貫通圖形測(cè)量，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)

圖形的長(zhǎng)度、面積、體積計(jì)算公式的推導(dǎo)建立在測(cè)量基礎(chǔ)上，比如：長(zhǎng)方形的面積是以面積單位對(duì)“行”和“列”進(jìn)行測(cè)量，從而歸納出長(zhǎng)方形的面積公式；長(zhǎng)方體的體積是以體積單位對(duì)“行”“列”和“層”進(jìn)行測(cè)量，進(jìn)而歸納出長(zhǎng)方體的體積公式。教師應(yīng)從運(yùn)動(dòng)的視角出發(fā)，幫助學(xué)生利用測(cè)量理解體積的計(jì)算公式，發(fā)展空間觀(guān)念。

在本內(nèi)容的展開(kāi)環(huán)節(jié)，教師可以利用V=Sh的計(jì)算公式，求長(zhǎng)方體、正方體、圓柱的體積，并引導(dǎo)學(xué)生思考：“你如何解釋這些立體圖形的體積都可以用V=Sh來(lái)計(jì)算？”以此引導(dǎo)學(xué)生回歸體積推導(dǎo)的基本圖形——長(zhǎng)方體，并由此推理其他立體圖形的體積，豐富學(xué)生對(duì)測(cè)量?jī)?nèi)涵的理解。

【教學(xué)片段1】

師：我們是如何推導(dǎo)長(zhǎng)方體的體積公式的？

生：用1立方厘米的小正方體進(jìn)行擺放，一行擺a個(gè)，擺了b行，有這樣的h層，長(zhǎng)方體的體積就用abh來(lái)計(jì)算。

師：長(zhǎng)方體的底面積a×b表示一層中每一行有a個(gè)小正方體，共有b行，即一層有幾個(gè)體積單位；h是指有這樣的h層。體積單位的個(gè)數(shù)可以用一層的個(gè)數(shù)×層數(shù)，即Sh來(lái)計(jì)算。那么，正方體的體積如何計(jì)算呢？

生：正方體的一層中，每一行a個(gè)小正方體，有a行，有這樣的a層，同樣可以用Sh來(lái)計(jì)算。

師：那么圓柱呢？

生：一層有πr?個(gè)小正方體，有h層。

師：這樣能看出體積單位嗎？

生：將圓柱平均分成16等分，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體。這樣，一層中每一行有πr個(gè)小正方體，共有r行，有h層。因此，圓柱的體積也可以用V=Sh來(lái)計(jì)算。

師：這個(gè)S和h究竟代表什么？

生：S就是一層有幾個(gè)小正方體，h就是有幾層。

師：有同學(xué)提到三棱柱也能用V=Sh計(jì)算體積。你知道三棱柱的形狀嗎？你想如何來(lái)說(shuō)明？

生：三棱柱的底部是“一層三角形”，它有幾層這樣的三角形，體積可以用V=Sh來(lái)表示。

在運(yùn)動(dòng)視角下，引導(dǎo)學(xué)生理解S表示平面圖形的面積，h表示平面圖形平移的距離。當(dāng)平面圖形的面積不變時(shí)，運(yùn)動(dòng)的距離越長(zhǎng)，直柱體的體積越大；反之，運(yùn)動(dòng)的距離越短，直柱體的體積越小。由此推導(dǎo)立體圖形的體積=平面圖形的面積×運(yùn)動(dòng)的距離。這使得學(xué)生體會(huì)到各類(lèi)直柱體體積計(jì)算方法的一致性，認(rèn)識(shí)到這些直柱體的體積都能用V=Sh來(lái)計(jì)算。

【教學(xué)片段2】

師：一層的高最小是不是1厘米？如果將1厘米繼續(xù)縮減下去，你能想象此時(shí)的形狀嗎？

生：高為1毫米的一層。

師：這時(shí)用于度量的體積單位是什么？

生：1立方毫米。

師：高還能再小下去嗎？

生：1微米、1納米……

師：你能想象出這個(gè)圖形的形狀嗎？

生：很薄很薄的一片。

師：那么S表示什么？h又表示什么呢？

生：S表示平面圖形的面積，h表示平面圖形平移的距離。

師：是的，因此立體圖形的體積=平面圖形的面積×運(yùn)動(dòng)的距離。我們將這種可以通過(guò)平面圖形平移得到的立體圖形稱(chēng)為直柱體。

教師從立體圖形體積的計(jì)算過(guò)渡到表面積的整理。如沿圓柱的一條高剪開(kāi)，可得到兩個(gè)圓形的底面和一個(gè)長(zhǎng)方形的側(cè)面；對(duì)于長(zhǎng)方體、正方體、三棱柱等圖形，沿一條高剪開(kāi)，也可得到兩個(gè)底面和一個(gè)長(zhǎng)方形的側(cè)面。這些立體圖形的側(cè)面都是長(zhǎng)方形，其面積均由底面周長(zhǎng)C平移h這一距離得到（如圖2），因此這些立體圖形的側(cè)面積也能用底面周長(zhǎng)×運(yùn)動(dòng)距離來(lái)計(jì)算。教師通過(guò)板書(shū)（如圖3）整理相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)到在運(yùn)動(dòng)視角下，體積和表面積的計(jì)算方法更具有一般性和一致性。

（三）第三次圖形運(yùn)動(dòng)：類(lèi)化圖形結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移

圖形的運(yùn)動(dòng)不僅是具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是一種思維方式。通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)，學(xué)生可以深化對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量，這有利于他們用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察圖形世界，體會(huì)圖形在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的價(jià)值。

在本內(nèi)容的練習(xí)環(huán)節(jié)，教師出示了9個(gè)封閉的立體圖形（如圖4），要求學(xué)生根據(jù)提供的數(shù)據(jù)找一找9個(gè)圖形容積之間的關(guān)系。在之前的展開(kāi)環(huán)節(jié)，學(xué)生已經(jīng)探究出立體圖形體積與平面圖形及運(yùn)動(dòng)距離之間的關(guān)系。因此，學(xué)生能夠迅速發(fā)現(xiàn)②號(hào)、④號(hào)、⑤號(hào)、⑨號(hào)立體圖形的容積相等。這一過(guò)程促使學(xué)生理解在直柱體中，底面圖形可以從原來(lái)的正方形、長(zhǎng)方形、圓、三角形擴(kuò)展到平行四邊形、梯形、圓環(huán)，甚至任意的平面圖形。

【教學(xué)片段3】

師：大家說(shuō)的平行四邊形、梯形、圓環(huán)……都是平面圖形的形狀，那么平移的方向呢？

生：可以上下、左右平移。

生：還可以斜著平移。

師：是的，就是這里的④號(hào)棱柱。那你是怎么理解它的高的？

（根據(jù)學(xué)生的比畫(huà)，將三本數(shù)學(xué)書(shū)疊在一起進(jìn)行演示，讓學(xué)生理解斜棱柱的高是面與面之間垂直線(xiàn)段的長(zhǎng)度）

師：你還能發(fā)現(xiàn)其他關(guān)系嗎？

生：②號(hào)圖形的體積是⑦號(hào)圖形體積的2倍。⑦號(hào)圖形的底面是直角三角形，兩個(gè)完全一樣的直角三角形可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

（根據(jù)學(xué)生回答將兩個(gè)三棱柱拼成長(zhǎng)方體）

生：我知道了，平移距離相等，平面圖形的面積就成為決定體積的關(guān)鍵要素。因此，平面圖形面積推導(dǎo)中使用的倍拼法，同樣可以用于推導(dǎo)立體圖形的體積。

生：我還發(fā)現(xiàn)①號(hào)圓柱體的體積是⑥號(hào)圓錐體體積的3倍。

生：我覺(jué)得②號(hào)長(zhǎng)方體與⑧號(hào)四棱錐的體積之間也存在3倍關(guān)系。

師：你們會(huì)如何驗(yàn)證這一猜想？

生：制作等底等高的長(zhǎng)方體容器和四棱錐容器，將四棱錐容器倒?jié)M水，再倒入長(zhǎng)方體容器中，重復(fù)這個(gè)過(guò)程，看看是否需要3次。

師：這是很好的想法！

在本內(nèi)容的總結(jié)環(huán)節(jié)，教師帶領(lǐng)學(xué)生梳理并回顧“正三角形—正方形—正五邊形—正六邊形—正十八邊形”的形成過(guò)程。隨著正多邊形邊數(shù)的增加，其形狀無(wú)限趨近于圓形，直至完全變?yōu)閳A形。教師提問(wèn)：“這些正多邊形可以通過(guò)垂直平移得到相應(yīng)的直柱體，那么這些直柱體的體積應(yīng)如何計(jì)算呢？”借助在運(yùn)動(dòng)變化中特征保持一致的圖形，幫助學(xué)生得出“棱柱體積都可以用底面積×高計(jì)算”的結(jié)論。而圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的[13]，據(jù)此可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出棱錐體積也應(yīng)是與之等底等高棱柱體積的[13]（如圖5）。由此，學(xué)生解決問(wèn)題的思維從靜態(tài)地分析基本圖形的組成，提升至基于關(guān)系分析圖形特征和等積變化，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)化。

總之，在運(yùn)動(dòng)視角下進(jìn)行的“立體圖形體積和表面積”的教學(xué)實(shí)踐，在激發(fā)學(xué)生的討論、互動(dòng)及思維發(fā)展方面取得了令人滿(mǎn)意的成果。通過(guò)三次圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，將“立體圖形體積和表面積”的復(fù)習(xí)融入知識(shí)鏈激活、知識(shí)網(wǎng)構(gòu)建以及知識(shí)遷移應(yīng)用的過(guò)程中，使學(xué)生對(duì)圖形特征有了直觀(guān)的認(rèn)識(shí)，構(gòu)建了合理的測(cè)量方法，并拓展了對(duì)類(lèi)化圖形結(jié)構(gòu)的理解，從而推動(dòng)了學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

［1］吳正憲，張秋爽.從運(yùn)動(dòng)的視角審視“圖形與幾何”領(lǐng)域兩個(gè)主題之間的關(guān)聯(lián)［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2023（5）：4-5.

［2］張偉明.點(diǎn)·鏈·網(wǎng)，復(fù)習(xí)課的價(jià)值構(gòu)建：人教版“多邊形的面積復(fù)習(xí)”例談［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2019（12）：32-34.

（浙江省杭州市余杭區(qū)良渚古墩路小學(xué)）