汪文

人教版A版必修第二冊第六章《平面向量及其應(yīng)用》第54頁習(xí)題6.4第18題：利用第10題的結(jié)論，證明三角形的面積公式S=12a2sinBsinCsinA.

由正弦定理知asinA=bsinB，從而b=asinBsinA，由第10題結(jié)論S=12absinC易得三角形的面積公式可以表示為S=12a2sinBsinCsinA=12b2sinAsinCsinB=12c2sinAsinBsinC，這個(gè)公式的原理其實(shí)是借助正弦定理將三角形的邊化成對應(yīng)角的正弦值，由普通的兩邊及夾角求面積轉(zhuǎn)化為兩角及夾邊求面積，本文談?wù)勅绾卫迷摴角蠼飧呖碱}.

例1（2023新課標(biāo)全國卷Ⅰ）已知ΔABC中，A+B=3C，2sin（A－C）=sinB.

（1）求sinA；（2）設(shè)AB=5，求AB邊上的高.

解析：（1）由A+B+C=π得，A+B=3Cπ－C=3CC=π4.2sin（A－C）=sinB=sin（A+C）2sinAcosC－2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinCsinAcosC=3cosAsinCtanA=3tanC=3.從而A為銳角，可得sinA=31010.

（2）sinB=sin（A+C）=sin（A+π4）=31010×22+1010×22=255.

由上述公式S=12c2sinAsinBsinC得ΔABC的面積S=12×52×31010×25522=15.設(shè)AB邊上的高為h，則h=2SAB=6.

評注：由第（1）問的結(jié)果可輕松求得各角的正弦值，借助其中一邊長得到面積，進(jìn)而求得邊上的高線長.

例2（2022新課標(biāo)全國卷Ⅱ）記ΔABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S1，S2，S3，已知S1－S2+S3=32，sinB=13.

（1）求ΔABC的面積；（2）若sinAsinC=23， 求b.

解析：（1）由面積公式知S1=34a2，S2=34b2，S3=34c2， ∴S1－S2+S3=34（a2－b2+c2）=32a2－b2+c2=2，∴cosB=a2－b2+c22ac=1ac，由sinB=13cosB=223，∴1ac=223ac=324，從而ΔABC的面積為S=12acsinB=12×324×13=28.

（2）由面積公式S=12b2sinAsinCsinB及（1）中的結(jié)果可得28=b22·2313b2=4，∴b=2.

評注：借助面積公式和第（1）問的結(jié)果，第（2）問可以輕松得到，提高了效率.

例3（2017全國卷Ⅰ）ΔABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知ΔABC的面積為a23sinA.（1） 求sinBsinC; （2）若6cosBcosC=1，a=3，求ΔABC的周長.

解析：（1）由面積公式S=12a2sinBsinCsinA知12a2sinBsinCsinA=a23sinA，從而sinBsinC=23.

（2）cosBcosC=16cosA=－cos（B+C）=sinAsinC－cosBcosC=12，∴A=π3，由題設(shè)知ΔABC的面積S=323sinπ3=23，又S=12bcsinA.從而可得23=12bc32bc=8.由余弦定理知a2=b2+c2－2bccosA，代入可得9=b2+c2－2×8×cosπ3b2+c2=17b+c=b2+c2+2bc=33，從而ΔABC的周長為8+33.

例4（2016·浙江卷）ΔABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b+c=2acosB.（1）證明：A=2B；

（2）已知ΔABC的面積S=a24，求∠A大小.

解析：（1）由正弦定理得b+c=2acosBsinB+sinC=2sinAcosBsinB+sin（A+B）=2sinAcosBsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB

sinB=sin（A－B）B=A－BA=2B，得證.

（2）由面積公式S=12a2sinBsinCsinA及A=2B得a2sinBsinC2sin2B=a24

sinBsinC2sinBcosB=12sinC=cosB=sin（π2±B）C=π2±B，又C=π－A－B，∴π－A－A2=π2±A2A=π4或A=π2.

評注：第（1）問將邊換成正弦合并后即可得證，第（2）借助面積公式二倍角公式和誘導(dǎo)公式求得∠A大小.

例5（2008·全國Ⅱ卷）在ΔABC中，cosB=－513，cosC=45.（1）求sinA的值；

（2）設(shè)△ABC的面積S△ABC=332，求BC的長.

解析：（1）易得sinB=1213，sinC=35，由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=3365.

（2）由面積公式知，S△ABC=a2sinBsinC2sinA=a22×1213×353365=6a211=332，得a2=1214a=112，從而a2=1214a=112.

評注：第（1）問利用兩角和的正弦公式可得，第（2）借助面積公式可快速求出BC的長.

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