錢偉風 劉瑞美

一、問題的提出

隨著2017年版2020年修訂的普通高中數(shù)學課程標準的全面實施，普通高中數(shù)學新課標教材應運而生.新課標教材依據(jù)新課程標準，根據(jù)新時代高中生的認知特點并結合數(shù)學教育承載著落實立德樹人、發(fā)展素質教育的功能，刪減了部分老舊邊緣的知識點，修訂了部分知識點，增加了與航海、航空、統(tǒng)計、人工智能等有關的知識點.本文對新增知識點進行梳理，以期對一線教師能有所幫助.

二、新增的知識點

1．百分位數(shù)：在統(tǒng)計中增加了百分位數(shù)的概念和應用.一般地，當總體是連續(xù)變量時，給定一個百分位數(shù)p∈（0，1），總體的p分位數(shù)有這樣的特點，總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是p.總體的p分位數(shù)通常是未知的，生活中人們用樣本的p分位數(shù)來估計它，樣本容量越大，其估計就越準確.

計算一組n個數(shù)據(jù)的p分位數(shù)的一般步驟為：

第一步，將n個數(shù)據(jù)按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第二步，計算i=np；第三步，若i不是整數(shù)，大于i的最小正整數(shù)為j，則p分位數(shù)為j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則p分位數(shù)為第i項與第（i+1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

2.分層抽樣的方差：設樣本中不同層的平均數(shù)分別為1，2，…，n，方差分別為，相應的權重分別為w1，w2，…，wn，則這個樣本方差為s2 = ∑ni = 1wi ［si 2 + （i -）2］，其中為這個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3.投影向量：已知兩個非零向量，，作OA=，OB=，過點A向直線OB作垂線，垂足為A′，得到在上的投影向量=OA′，稱為在上的投影向量.如圖1，cos，稱為投影向量的數(shù)量，也稱為向量

在向量方向上的投影數(shù)量，可以表示為·.因此向量在方向的投影向量可以簡單的表示為在方向上的投影數(shù)量與在其方向上單位向量的乘積.即在方向上的投影向量為cosθ·=···=·2·.

投影數(shù)量是向量數(shù)量積的特殊情況，由向量投影的定義，可以得到向量數(shù)量積·的幾何意義：的長度與在方向上的投影數(shù)量cosθ的乘積（如圖2）

或的長度與在方向上的投影數(shù)量cosθ的乘積.

4.空間點到直線的距離：新課標教材中，在學習完空間向量后，增加了用空間向量方法求空間點到直線的距離公式，只要對向量的有關概念和運算掌握地比較好，這個公式實際上可以理解為勾股定理的一個應用.

設是直線l的一個單位方向向量，A是直線l上任意一點，點P是直線l外任意一點，設PA=，則點P到直線l的距離d=2－（·）2.如圖3所示.

5.全概率公式：設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，且A1∪A2∪…∪An=Ω，P（Ai）>0，i=1，2，…，n，如圖4，對于任意事件BΩ，有P（B）=∑ni=1P（Ai）P（B｜Ai），這就是全概率公式.它為我們計算復雜事件的概率提供了方便.

6.貝葉斯公式：設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，且A1∪A2∪…∪An=Ω，P（Ai）>0，i=1，2，…，n，對于任意事件BΩ，有P（AiB）=P（Ai）P（B｜Ai）P（B）=P（Ai）P（B｜Ai）∑nk=1P（Ak）P（B｜Ak）.貝葉斯公式在統(tǒng)計學中被廣泛應用，并且具有重要的意義.

三、價值分析

依據(jù)普通高中數(shù)學新課程標準，從大力培養(yǎng)學生六大數(shù)學核心素養(yǎng)出發(fā)，新課標教材增加的六個知識點，與當代的工程建設、航空、航天、航海和人工智能等聯(lián)系緊密，而高中數(shù)學應實現(xiàn)大眾化教育，讓人人都學到有用的數(shù)學知識，為他們將來進入高校進一步學習和走上工作崗位打好基礎.如在統(tǒng)計中增加的p分位數(shù)，就讓學生了解到百分數(shù)在現(xiàn)代統(tǒng)計學的應用.向量是當代數(shù)學研究中的有力工具，在研究兩向量數(shù)量積中，學習了一個向量在另一個向量上投影的概念，在此基礎上，新教材中增加了投影向量的概念，為用向量法解決問題提供了方便.

例1在△ABC中，AB=3，AC=4，點O是△ABC的外心，則OA·BC=．

解：過點O作AB的垂線，垂足為D，則AO在向量AB上的投影向量為AD，因為點O是△ABC的外心，所以D為AB的中點，AD=12AB，于是AO·AB=12AB2=92.

同理AO·AC=12AC2=8，故OA·BC=－AO·（AC－AB）=AO·AB－AO·AC=－72.

在上面的解題過程中就利用到投影向量的概念，充分體現(xiàn)了向量的工具性，使得問題解決過程簡潔.

又如，在空間向量中，新教材中增加了用向量的方法解決空間點到直線距離問題，在高中階段沒有學習空間解析幾何的條件下，研究點到直線的距離公式，教材上利用投影和投影向量的概念，結合勾股定理，進而求出空間點到直線的距離.實際上還可以先求出直線l外一點P在直線l上射影點的坐標，再利用向量的模來求解.

例2Rt△ABC的兩條直角邊BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=2，則點P到直線AB的距離是.

解：以C為坐標原點，CA，CB，CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖5所示的空間直角坐標系．則A（4，0，0），B（0，3，0），P（0，0，2），則AB=（－4，3，0），AP=（－4，0，2），PB=（0，3，－2），取=AP=（－4，0，2），=ABAB=（－45，35，0）， 則點P到直線AB的距離d=2－（·）2=20－25625=2615.

另解：設點P在直線AB上的射影點D（x，y，0），由PD·AB=0，得－4x+3y=0，再設AD=λAB，于是有（x－4，y，0）=λ（－4，3，0）x=4－4λ，y=3λ，所以x=3625，y=4825，PD=（3625，4825，－2），故PD=（3625）2+（4825）2+4=2615.

從上面的兩種求解方法中可以看出，一個體現(xiàn)投影數(shù)量和投影向量概念的應用，另一個體現(xiàn)了垂直向量和共線向量的應用，過程簡單，既培養(yǎng)了學生的空間想象能力，又提升了他們的數(shù)學運算素養(yǎng).

新課標選擇性必修教材中，在學習條件概率和概率乘法公式的基礎上，又增加了全概率公式和貝葉斯公式的應用，它是解決復雜事件概率的前提和基礎.全概率公式體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想，即采用化整為零的方式，把各塊的概率分別求出，再相加求和即可．

貝葉斯公式的思想也被稱為貝葉斯方法，它在人工智能等方面有著廣泛的應用，隨著信息技術的不斷發(fā)展，人類社會已經(jīng)進入人工智能的新信息技術時代，其特征就是大數(shù)據(jù)、大計算、大決策，三位一體，增加貝葉斯公式及其應用，對促進我國高科技領域的快速發(fā)展極具重要.