陸雨軒

數(shù)學教學既要關注知識的掌握，又要強調能力的提升.教學中，教師應結合教學實際設計一些探究性活動，讓學生在活動中思考，在思考中深化，切實提高學生數(shù)學學習能力.不過，在實際教學中，為了趕進度，很多教師很少提供時間和空間讓學生自主探究，大多延續(xù)著“講授＋練習”的傳統(tǒng)模式，限制了學生發(fā)展.在教學“三角函數(shù)誘導公式”時，筆者以學生已有認知為起點，結合教學內容設計探究活動，讓學生在探究中理解知識，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng).

一、教學過程

1．回顧舊知，引入新課

情境與問題：對稱是圓的重要性質之一，這一性質在三角函數(shù)中有著重要的應用.根據(jù)三角函數(shù)的定義，我們得到了公式一：sin（α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，tan（α+2kπ）=tanα，（其中k∈Z）.也就是說，若角的終邊重合，則其三角函數(shù)值相等.那么除了角的終邊重合外，是否還存在著其他比較特殊的關系呢？

師生活動：教師讓學生獨立思考，有了前面的鋪墊，學生很快想到了“對稱”，于是教師順勢給出今天研究的主題：若角的終邊關于原點或坐標軸對稱，它們的三角函數(shù)值存在怎樣的特殊關系.

設計意圖：通過創(chuàng)設教學情境引導學生將新知與舊知建立聯(lián)系，為新知探究指引方向，增強學生學習信心.在此過程中，教師引導學生從整體視角思考問題，從而使學生的思維變得有序化，有利于提升學生數(shù)學素養(yǎng).

2．自主探究，發(fā)現(xiàn)新知

探究1如圖1，任意角α的終邊與單位圓交于點P1，角β的終邊與單位圓交于點P2，其中P2與P1關于原點對稱點.

（1）角α和角β有什么關系？

（2）角α和角β的三角函數(shù)值有什么關系？

教師先讓學生獨立思考，然后進行適度的引導，接下來呈現(xiàn)學生的思考過程：

（1）如圖1，根據(jù)圖形對稱性可知β=α+π→β=2kπ+（π+α），k∈Z.結合三角函數(shù)的定義最終確定，該問題只要研究π+α和α的關系即可.

（2）設P1（x1，y1），P2（x2，y2），因為P1和P2關于原點對稱，所以有x2=－x1，y2=－y1.故sinα=y1，cosα=x1，tanα=y1x1；sin（π+α）=y2，cos（π+α）=x2，tan（π+α）=y2x2，從而得到公式二：sin（π+α）=－sinα，cos（π+α）=－cosα，tan（π+α）=tanα.

這樣通過經歷觀察、思考、交流、推導等過程，學生得到了角α和角β之間的關系及其所對應三角函數(shù)值之間的關系.在此基礎上，教師可以進一步讓學生思考：公式二中的角α是否對任意角都成立？由此運用一般化思想加強公式的理解.

探究2如圖2、圖3， 任意角α的終邊與單位圓交于點P1，P3與P1關于x軸對稱，P4與P1關

于y軸對稱，試分析三角函數(shù)之間存在怎樣的關系？

問題給出后，教師讓學生獨立探究，有了前面的探究經驗，學生很快得到了答案，由此自主推導出公式三和公式四，即sin（－α）=－sinα，cos（－α）=sinα，tan（－α）=－tanα；sin（π－α）=sinα，cos（π－α）=－cosα，tan（π－α）=－tanα.

探究3在推導以上公式時都是運用的三角函數(shù)的定義，如果換一個角度，能否由公式二和公式三推導出公式四呢？

設計意圖：教師預留時間讓學生推導驗證，探尋公式間的聯(lián)系，為公式的理解與記憶提供幫助.

探究4以上公式有何共同特征嗎？

設計意圖：通過經歷觀察、討論、歸納等活動，讓學生得到“函數(shù)名不變，符號看象限”這一共同特征，為公式的理解與應用提供便利.

3．運用新知，提升素養(yǎng)

例1求下列三角函數(shù)值.（1）sin8π3；（2）tan（－2040°）.

師生活動：學生獨立解答，然后呈現(xiàn)解答過程：對于問題（1），sin8π3=sin（2π+2π3）=sin2π3=sin（π－π3）=sinπ3=32；問題（2）可以變形為tan（－2040°）=－tan2040°=－tan（6×360°－120°）=－tan（－120°）=tan120°=tan（180°－60°）=－tan60°=－3.

從教師呈現(xiàn)解題過程后，指導學生歸納求三角函數(shù)值的一般步驟.（如圖4）

變式求下列三角函數(shù)值.（1）cos225°；（2）sin（－16π3）.

設計意圖：通過對例1的探究，求三角函數(shù)值的一般步驟已經形成，在此基礎上，通過變式練習加強對求三角函數(shù)值的一般步驟的理解，提升學生解題技能.同時，通過應用讓學生發(fā)現(xiàn)，求未知角的三角函數(shù)值其實質就是通過誘導公式將其等價轉化為熟悉的銳角，這樣認清問題本質，即可迎刃而解.

例2化簡cos（180°+α）sin（α+360°）tan（－α－180°）cos（－180°+α）.

師生活動：學生思考可發(fā)現(xiàn)，對于cos（180°+α）和sin（α+360°），可直接應用公式化簡，即cos（180°+α）=－cosα，sin（α+360°）=sinα，而tan（－α－180°）和cos（－180°+α）不能直接用公式化簡，需進一步轉化，如tan（－α－180°）=tan［－（180°+α）］=－tan（180°+α）=－tanα，cos（－180°+α）=cos［－（180°－α）］=cos（180°－α）=－cosα，這樣通過變形逐漸向公式轉化，問題迎刃而解.問題獲解后，教師啟發(fā)學生對解題過程進行歸納總結，形成解題的一般思路，體會整體思想的應用，提升數(shù)學素養(yǎng).

變式化簡：（1）sin（－α－180°）cos（－α）sin（－α+180°）；

（2）cos3（－α）sin（2π+α）tan3（－α－π）.

設計意圖：通過適度練習進一步鞏固誘導公式，幫助學生積累豐富的解題經驗，提升學生解題技能.

4．課堂小結，提煉方法

課堂小結是課堂教學的重要組成部分，該環(huán)節(jié)教師應將主動權交給學生，先讓學生獨立歸納，然后進行組內交流，接下來呈現(xiàn)各組交流成果，最后對學生交流結果進行歸納總結，形成知識網絡圖.

設計意圖：教學中，教師提供時間和空間讓學生對本課內容進行歸納總結，在深化相關知識理解的同時，提煉研究問題的思想方法，歸納解決問題的一般步驟，建構個體完善的知識體系.

5．分層作業(yè)，提升能力

在“雙減”政策的推動下，教師基于基本學情設計分層作業(yè)，提供時間讓學生對所學內容進行反思回顧，以此確保“減負增效”教學目標的順利落實.課末，教師提出這樣的問題：若給定角的終邊關于直線y=x對稱，那么它們的三角函數(shù)值有什么關系？

設計意圖：作業(yè)作為課堂教學的延續(xù)，是幫助學生鞏固本課所學知識，檢測教學效果的重要途徑.教師在設計作業(yè)時要避免簡單的“一刀切”，切實從教學實際出發(fā)，設計符合本班實際學情的作業(yè).課后思考題的設計，是本課內容的一個延伸和拓展，啟發(fā)學生從整體的角度去思考問題，建構知識體系，提升數(shù)學思維能力.

二、教學思考

1．認真研究教材，準確把握教材設計意圖

在本課教學中，認真研究教材不難發(fā)現(xiàn)，教材中突出了單位圓的作用，利用圓的對稱性來研究三角函數(shù)的對稱性.基于此，教師以對稱性為主線，引導學生分別探究兩個角的終邊關于原點對稱、關于坐標軸對稱會得到怎樣的關系，由此自然得到相應的誘導公式.這樣利用圓的對稱性研究三角函數(shù)的對稱性，使誘導公式變得更加直觀化、形象化，有利于學生理解和記憶.

2．創(chuàng)設有效情境，激發(fā)學生數(shù)學探究積極性

高中數(shù)學是比較抽象且復雜的，教師在教學中應重視創(chuàng)設有效的教學情境，進而將抽象的、復雜的知識向直觀化、簡單化轉化，激發(fā)學生學習積極性.如在推導公式二時，通過創(chuàng)設情境引導學生進行探究性學習，這樣不僅提高了課堂效率，而且促進了學生自主探究能力的發(fā)展和提升.

3．鼓勵合作交流，培養(yǎng)學生自主探究能力

本章涉及的公式眾多，若不能認清其本質，僅靠死記硬背，將很難到達預期效果.因此，在實際教學中，教師應結合教學實際創(chuàng)設一些探究性活動，引導學生經歷知識生成過程，以此促進知識的理解，培養(yǎng)學生自主探究能力.

4．滲透數(shù)學思想，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學思想方法是數(shù)學教學是精髓，其貫穿于數(shù)學教學的始終.例如在本課教學中，滲透了數(shù)形結合、轉化化歸、類比歸納、特殊與一般等思想方法.在實際教學中，教師要有意識地進行數(shù)學思想方法的滲透，以此揭示數(shù)學的本質，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng).