摘 要：GeoGebra是由數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter設(shè)計的一款動態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，具有幾何、代數(shù)、統(tǒng)計等多種教學(xué)功能，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了廣泛運(yùn)用。建模素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，教師要用多種方式提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。從GeoGebra軟件的優(yōu)勢與功能入手，分析運(yùn)用GeoGebra軟件輔助提升高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的基本原則與教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：GeoGebra軟件；高中數(shù)學(xué)；建模素養(yǎng)

作者簡介：廖昕（1990—），女，甘肅省蘭州市第三中學(xué)。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將數(shù)學(xué)建模納入數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，細(xì)化了實施建?；顒拥木唧w要求，包括實施課時、評價體系、教材編寫建議。GeoGebra是一款集計算、繪圖、動態(tài)演示等功能于一體的數(shù)學(xué)軟件，本文結(jié)合課題實踐，就如何運(yùn)用GeoGebra軟件提升高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)展開研究。

一、GeoGebra的優(yōu)勢與功能

（一）GeoGebra的教學(xué)優(yōu)勢

GeoGebra軟件運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合、操作簡便、開源性強(qiáng)和兼容性強(qiáng)四個方面。就數(shù)形結(jié)合而言，運(yùn)用GeoGebra的數(shù)形結(jié)合優(yōu)勢，既能精確繪制各種幾何圖形、自動執(zhí)行數(shù)值計算和函數(shù)微積分等運(yùn)算，又支持圖表分析和數(shù)據(jù)可視化，使學(xué)生能以直觀的方式理解和解決數(shù)學(xué)問題。就操作簡便性而言，GeoGebra界面設(shè)計簡潔明了，功能清晰易懂，采用了中文命令支持和操作提示，使學(xué)生更容易上手和掌握操作技巧。就開源性而言，任何人都可下載并修改GeoGebra的源代碼，促進(jìn)了軟件的持續(xù)發(fā)展，用戶可根據(jù)實際需求靈活地選擇和運(yùn)用多元的軟件功能和豐富的教學(xué)資源。就兼容性而言，GeoGebra支持多個平臺和操作系統(tǒng)，便于多平臺、跨終端操作，突破了時間與地域限制。

（二）GeoGebra的教學(xué)功能

1.動態(tài)演示功能

為培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)，教師應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，有針對性地運(yùn)用GeoGebra軟件的動態(tài)演示功能。

以二次函數(shù)模型的構(gòu)建為例，運(yùn)用GeoGebra軟件的動態(tài)演示功能時，為了直觀展示二次函數(shù)模型建構(gòu)過程，幫助學(xué)生理解和掌握二次函數(shù)模型的性質(zhì)，教師按照下列流程進(jìn)行動態(tài)演示：導(dǎo)入GeoGebra→輸入二次函數(shù)表達(dá)式→定義常數(shù)→生成圖像→動態(tài)演示。在導(dǎo)入時，打開GeoGebra軟件，在頂部菜單欄中點擊“文件”下拉菜單，選擇“新建”，創(chuàng)建新的GeoGebra工作區(qū)。輸入二次函數(shù)表達(dá)式時，在GeoGebra的輸入框輸入二次函數(shù)的一般形式：f（x）=ax2+bx+c。其中，a、b、c為常數(shù)，即二次函數(shù)系數(shù)。在定義常數(shù)時，在GeoGebra界面點擊“腳本”標(biāo)簽頁，選擇“定義常量”選項，此處定義3個常數(shù)：a=2、b=3、c=1。生成圖像時，在GeoGebra的輸入框中輸入命令graph（ f（x），x），生成二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象，即f（x）=2x2+3x+1。動態(tài)演示時，通過改變參數(shù)的值，實現(xiàn)函數(shù)圖象的動態(tài)變化。例如，在GeoGebra的輸入框輸入命令Slider（a，-5）、Slider（b，35）、Slider（c，-13）后，界面下方生成3個可以動態(tài)改變a、b、c的值的滑動條。隨著滑動條移動，二次函數(shù)圖象實時更新以反映新的參數(shù)值。GeoGebra動態(tài)演示功能的優(yōu)勢之一在于能使學(xué)生實時觀察函數(shù)圖象變化情況，具體詳見圖1。

2.人機(jī)交互功能

在動態(tài)演示的基礎(chǔ)上，可以運(yùn)用GeoGebra的人機(jī)交互功能，觀察參數(shù)a、b、c的變化對二次函數(shù)圖象的影響以及認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)。在GeoGebra軟件界面移動滑動條a，觀察函數(shù)圖象如何從向上開口變?yōu)橄蛳麻_口；移動滑動條b，觀察圖象在對稱軸上的變化；改變c的值，觀察圖象如何上下移動，深入理解二次函數(shù)的性質(zhì)和特征。學(xué)生通過GeoGebra的交互功能，能夠自主探索參數(shù)改變對二次函數(shù)圖象的影響，而教師借助GeoGebra的實時反饋功能，可以了解學(xué)生的知識掌握情況，及時調(diào)整教學(xué)策略。

運(yùn)用GeoGebra解決問題的教學(xué)策略，旨在引導(dǎo)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和問題解決能力，教師則能及時掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和需求，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

3.概率統(tǒng)計功能

除上述功能外，GeoGebra軟件還有概率統(tǒng)計功能。運(yùn)用GeoGebra進(jìn)行概率統(tǒng)計的基本流程如下。

第一步，定義數(shù)據(jù)。為了統(tǒng)計某組數(shù)據(jù)的概率分布，在這里定義一組隨機(jī)數(shù)作為數(shù)據(jù)：在GeoGebra的輸入框中，輸入命令Random（100），該命令將生成一組范圍在1到100之間的隨機(jī)整數(shù)。第二步，統(tǒng)計概率，如統(tǒng)計這組隨機(jī)數(shù)據(jù)中小于或等于50的數(shù)的個數(shù)。在GeoGebra的輸入框中，輸入命令Count（f（x）≤50）可以統(tǒng)計數(shù)據(jù)中小于或等于50的數(shù)的個數(shù)，輸入命令Count（f（x））可以輸出這組隨機(jī)數(shù)據(jù)的總數(shù)，輸入命令Proportion（f（x）≤50）可以統(tǒng)計小于等于50的數(shù)的出現(xiàn)概率。第三步，計算平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。在GeoGebra輸入框中輸入命令Mean（f（x）），可以計算這組數(shù)據(jù)平均值，輸入命令Standard Deviation（f（x））可以計算該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。第四步，繪制這組數(shù)據(jù)的直方圖。在GeoGebra的輸入框中，輸入命令Histogram（f（x），20），可繪制20個分組的直方圖。第五步，計算中位數(shù)和四分位數(shù)。在GeoGebra的輸入框中輸入命令Mean（f（x））可計算這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，輸入命令Quartile（f（x））可計算這組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)。

GeoGebra的概率統(tǒng)計功能能夠直觀展示概率與統(tǒng)計的基本概念和方法，幫助學(xué)生理解和掌握相關(guān)概念，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)［1］。

二、GeoGebra軟件運(yùn)用的基本原則

（一）主體性原則

在培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的過程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。教師要引導(dǎo)學(xué)生主動參與課堂活動，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。例如，在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時，教師首先出示指數(shù)函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax（a＞0且a≠1），其中x是自變量，y是因變量，再出示y=2x和y=3x的圖象。其次，為了引導(dǎo)學(xué)生探究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，讓學(xué)生利用GeoGebra軟件自主繪制指數(shù)函數(shù)圖象，并觀察圖象的特點，歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。最后讓學(xué)生開展小組合作交流，列出指數(shù)函數(shù)的例子，嘗試描述指數(shù)函數(shù)的特征。

（二）因材施教原則

這一原則要求教師根據(jù)學(xué)生的實際情況展開教學(xué)。例如，將學(xué)生分為學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)者、學(xué)習(xí)探索者、學(xué)習(xí)領(lǐng)導(dǎo)者三種類型。學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)者運(yùn)用GeoGebra自主繪制指數(shù)函數(shù)的圖象，加深對指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)的理解；學(xué)習(xí)探索者運(yùn)用GeoGebra解決一些難度稍高的例題，培養(yǎng)解題能力；學(xué)習(xí)領(lǐng)導(dǎo)者運(yùn)用GeoGebra研究和解決一些實際問題，提高應(yīng)用能力。

（三）有效性原則

有效性原則指結(jié)合學(xué)情，加強(qiáng)對GeoGebra軟件的實踐應(yīng)用，為學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)提供有效支撐。例如，為了理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，教師除了介紹指數(shù)函數(shù)的概念和基本形式y(tǒng)=ax（a>0且a≠1），還要展示輸入函數(shù)表達(dá)式、繪制函數(shù)圖象等GeoGebra軟件的操作方法，引導(dǎo)學(xué)生利用GeoGebra自主探究y=ax的圖象和性質(zhì)，比如分析當(dāng)a>1和當(dāng)0

三、GeoGebra軟件運(yùn)用策略

為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，本文以湘教版高中數(shù)學(xué)第一冊中指數(shù)函數(shù)的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容為例，分析如何幫助學(xué)生通過建立函數(shù)模型來解決實際問題。

（一）精心計劃

基于函數(shù)模型解決實際問題的教學(xué)，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，使其形成良好的建模素養(yǎng)。在計劃階段，教師應(yīng)高度重視學(xué)情分析，因為學(xué)生通過前期學(xué)習(xí)，已經(jīng)具備了一定的知識基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，具有較強(qiáng)的協(xié)作意識，但是結(jié)合現(xiàn)實情境進(jìn)行自主建模的能力還有待加強(qiáng)。為引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用GeoGebra軟件掌握數(shù)學(xué)建模的知識與技能，學(xué)會如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，教師可以采取小組合作的方式，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)建模的一般流程，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，增強(qiáng)其抽象概括能力。

例如，明確探究活動主題：構(gòu)建指數(shù)函數(shù)模型，了解茶水水溫隨時間變化的規(guī)律，為泡茶愛好者提供關(guān)于泡茶最佳時長的建議。

教學(xué)目標(biāo)：理解指數(shù)函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用方法，增強(qiáng)數(shù)據(jù)分析和處理能力，培養(yǎng)抽象概括能力，提高數(shù)學(xué)建模實踐水平。

制訂數(shù)學(xué)建模活動計劃如下：（1）數(shù)據(jù)收集與整理。通過查閱相關(guān)資料或咨詢專業(yè)人士，搜集泡茶熱水的初始溫度、最佳泡茶溫度、泡茶時長等數(shù)據(jù)，并對收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選和處理，確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和有效性。（2）建立模型與數(shù)據(jù)擬合。根據(jù)泡茶水溫度隨時間變化的規(guī)律，選擇合適的指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行擬合，并使用GeoGebra的函數(shù)圖象工具進(jìn)行圖象繪制。將收集到的數(shù)據(jù)導(dǎo)入GeoGebra軟件，然后對模型進(jìn)行擬合，調(diào)整初始溫度和降溫速率，使圖象與數(shù)據(jù)盡可能接近。（3）計算和分析數(shù)據(jù)。根據(jù)擬合結(jié)果，計算出最佳泡茶時長，探究泡茶最佳時長與初始溫度、降溫速率等因素之間的關(guān)系［3］。

（二）積極行動

仍以“茶水水溫隨時間變化的規(guī)律”的探究活動為例，運(yùn)用GeoGebra軟件進(jìn)行建模教學(xué)的過程如下：根據(jù)活動計劃，給學(xué)生布置課前任務(wù)，讓學(xué)生結(jié)合日常生活中的泡茶場景，觀察泡茶時茶水溫度隨時間變化的情況，利用秒表、溫度計等工具收集有關(guān)數(shù)據(jù)。比如，將茶水剛泡好的時間記為0時，在一定時間間隔后記錄茶水水溫，如每隔一分鐘記錄一次?；诖?，教師提出引導(dǎo)問題：用85℃的熱水泡制茶水，當(dāng)茶水溫度下降到60℃時的飲用口感最佳，那么在25℃的室溫下，剛泡制好的茶水需要放置多久才能獲得最佳飲用口感？

為了解決這一引導(dǎo)問題，學(xué)生按照以下步驟建立模型進(jìn)行求解。

步驟1：采取分組交流的方式分析數(shù)據(jù)，運(yùn)用GeoGebra繪制針對上述實際問題的散點圖（如圖2所示）。

步驟2：結(jié)合函數(shù)知識進(jìn)行建模，每個小組派出代表展示本組所建模型，教師引導(dǎo)學(xué)生思考和討論如何選出最貼切的數(shù)學(xué)模型，以及應(yīng)采用什么解析式來說明茶水溫度的變化，從而達(dá)到用數(shù)學(xué)語言描述變化規(guī)律的目的。

步驟3：學(xué)生對每個小組所建模型進(jìn)行討論后，提出本組的看法，最終選定的數(shù)學(xué)模型為：y=kax+25（k∈R，0

步驟4：進(jìn)入拓展交流環(huán)節(jié)，學(xué)生思考如何驗證所得函數(shù)模型與茶水溫度隨時間變化規(guī)律是否相符，檢驗?zāi)Ｐ偷耐晟菩?。在討論中，有的學(xué)生認(rèn)為可以用GeoGebra畫出模型的函數(shù)圖像，與之前的散點圖進(jìn)行對比，即通過幾何法判斷；有的學(xué)生認(rèn)為可以代入其他數(shù)據(jù)，對比計算所得y值與實際情況是否相符，采用代數(shù)法檢驗?zāi)Ｐ臀呛隙取?/p>

步驟5：設(shè)置課后探究內(nèi)容，學(xué)生結(jié)合學(xué)習(xí)過程開展數(shù)學(xué)建模活動。例如，開展“乒乓球下落高度與第一次反彈高度間的關(guān)系”的課后探究活動，學(xué)生認(rèn)真記錄實驗過程，在墻上量取10 cm、20 cm、30 cm……140 cm、150 cm，做好標(biāo)記，分別讓乒乓球從相應(yīng)位置自由下落，記錄其第一次回彈高度。學(xué)生在數(shù)學(xué)建模報告中體現(xiàn)乒乓球下落高度、第一次回彈高度、反彈比例等要素，達(dá)到進(jìn)一步培養(yǎng)建模素養(yǎng)的目的［4］。

（三）觀察探究

在觀察探究環(huán)節(jié)，學(xué)生需要經(jīng)歷觀察現(xiàn)實情境、建立模型與求解、模型檢驗與完善三個階段。教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的研究課題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察與探究。

以“乒乓球下落高度及其第一次反彈高度間的關(guān)系”的建?；顒訛槔?，在觀察現(xiàn)實情境階段，教師先讓學(xué)生親自開展實驗活動，觀察乒乓球下落和反彈的過程，記錄有關(guān)數(shù)據(jù)。接著，引導(dǎo)學(xué)生思考乒乓球下落高度和反彈高度之間是否存在某種函數(shù)關(guān)系，并提出問題，例如：“乒乓球下落和反彈的高度是否相等？”“乒乓球反彈的高度是否與其下落高度有關(guān)？”

在建立模型與求解階段，教師定義乒乓球下落高度為h，反彈高度為b，讓學(xué)生運(yùn)用GeoGebra軟件建立數(shù)學(xué)模型來描述乒乓球下落高度和反彈高度之間的關(guān)系，并利用公式或函數(shù)來表示這種關(guān)系。學(xué)生利用先前的實驗數(shù)據(jù)來分析乒乓球下落和反彈高度之間的關(guān)系，根據(jù)數(shù)據(jù)分析結(jié)果來求模型的解，得出反彈高度的表達(dá)式或比例關(guān)系。

在模型檢驗與完善階段，教師先要求學(xué)生根據(jù)實際情況對所建立的模型進(jìn)行驗證，比較模型預(yù)測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)的差異，分析原因并進(jìn)行修正。再提供一些與乒乓球下落和反彈高度關(guān)系相關(guān)的探究內(nèi)容，例如研究不同材質(zhì)的乒乓球的下落和反彈效果、探究乒乓球下落和反彈過程中的能量轉(zhuǎn)化等，讓學(xué)生進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)。最后，讓學(xué)生對整個觀察探究過程進(jìn)行總結(jié)和評價，思考自己的表現(xiàn)和收獲，找出自己在解決問題過程中需要提高的地方［5］。

結(jié)語

綜上所述，GeoGebra軟件具有數(shù)形結(jié)合功能強(qiáng)大、操作簡便易學(xué)、開源性強(qiáng)和資源豐富等優(yōu)勢，是培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的有效工具。教師在利用GeoGebra軟件輔助教學(xué)時，既要加強(qiáng)對教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情的分析，以確定教學(xué)目標(biāo)與重難點，又要積極推送學(xué)習(xí)資源，為營造良好的學(xué)習(xí)環(huán)境提供資源支撐，通過交互探究和學(xué)習(xí)實踐提升學(xué)生的實踐能力與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

［參考文獻(xiàn)］

韓曉娟.新課改背景下基于GeoGebra軟件的高中生空間想象能力培養(yǎng)策略［J］.甘肅教育研究，2023（8）：133-135.

胡碩芳.基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的高中函數(shù)教學(xué)設(shè)計研究［D］.重慶：西南大學(xué)，2023.

凌翔.GeoGebra軟件輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐研究［D］.阜陽：阜陽師范大學(xué)，2023.

陳丁怡.基于GeoGebra培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的立體幾何教學(xué)實踐研究［D］.重慶：西南大學(xué)，2023.

劉建玉.基于GeoGebra高中生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)策略研究［D］.阜陽：阜陽師范大學(xué)，2023.