楊莉

【摘要】向量數(shù)量積問題一直是高中數(shù)學(xué)炙手可熱的一類題型，求解時(shí)常用的基本方法有基底法、坐標(biāo)法、圖形法等，這些方法的運(yùn)用具有各自的特點(diǎn)和局限性.有時(shí)解答一些選擇或填空題，常常會因?yàn)橥度脒^多時(shí)間和精力導(dǎo)致效率不高，造成得不償失的結(jié)果.選擇一些向量定理或二級結(jié)論解題，以極化恒等式為例，靈活運(yùn)用公式AB·AC=14AB+AC2－AB－AC2解答向量數(shù)量積問題，不僅能快速找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)，還能提高解題的效率.本文主要對極化恒等式解答兩類不同向量數(shù)量積問題的運(yùn)用進(jìn)行分析，加強(qiáng)對極化恒等式的認(rèn)識和理解，從而幫助學(xué)生快速高效地解題.

【關(guān)鍵詞】極化恒等式；向量數(shù)量積；解題

面對向量數(shù)量積問題時(shí)，極化恒等式往往能為學(xué)生提供一種富有洞察力的解決方案.特別是在平面幾何、立體幾何，以及圓錐曲線等復(fù)雜的問題中的運(yùn)用，極化恒等式可以引導(dǎo)學(xué)生理解如何以更直觀、更立體的方式思考這些問題.

1? 平面幾何類數(shù)量積問題

平面幾何中關(guān)于向量數(shù)量積問題的解答，運(yùn)用極化恒等式時(shí)應(yīng)將所求向量轉(zhuǎn)化成有公共點(diǎn)的向量乘積形式，進(jìn)而對問題做出具體的解答.運(yùn)用極化恒等式求解平面幾何類向量數(shù)量積問題時(shí)，常見的解答思路為：（1）根據(jù)矢量加法原則，將問題所求向量轉(zhuǎn)化為具有公共點(diǎn)的向量組乘積形式；（2）根據(jù)極化恒等式公式，得到具體的向量關(guān)系等式；（3）找出轉(zhuǎn)化后的向量在平面幾何中對應(yīng)的具體位置，憑借幾何圖形性質(zhì)和等量關(guān)系，代入具體值運(yùn)算求出數(shù)量積大小.

例1? 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，則MA·MD=（? ）

（A）1.? （B）2.? （C）3.? （D）4.

圖1

分析? 由于問題所求向量組有公共點(diǎn)M，故直接結(jié)合極化恒等式，將其轉(zhuǎn)化為具體的向量關(guān)系等式4MA·MD=MA+MD2－MA－MD2，根據(jù)向量矢量原則，MA+MD和MA－MD都能找到具體對應(yīng)的向量，最后結(jié)合梯形的圖形特點(diǎn)和所給條件，代入關(guān)系式中運(yùn)算得到具體數(shù)量積大小.

解析? 如圖1所示，運(yùn)用極化恒等式，

可得4MA·MD=MA+MD2－MA－MD2

=2MO2－DA2

=4×322－1=8.

所以MA·MD=2.

故正確答案為選項(xiàng)（B）.

2? 立體幾何類數(shù)量積問題

與立體幾何有關(guān)的向量數(shù)量積問題，極化恒等式的運(yùn)用也是高效解題的手段之一，根據(jù)空間結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分析具體極化恒等式表達(dá)式的向量特點(diǎn)，結(jié)合已知條件求出具體值，進(jìn)一步求出數(shù)量積的值.極化恒等式在立體幾何中對于向量數(shù)量積問題的解答，具體解題思路可表現(xiàn)為：（1）根據(jù)極化恒等式公式，將問題所求向量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，得到與另一組向量有關(guān)的表達(dá)式；（2）在幾何體空間結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，結(jié)合所給條件判斷轉(zhuǎn)化后的向量的對應(yīng)值；（3）把所求值代入表達(dá)式中，運(yùn)算得到數(shù)量積大小.

例2? 正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，MN是正方體的內(nèi)切球面的任意線段，點(diǎn)P是正方體表面的動點(diǎn)，當(dāng)線段MN最長時(shí)，PM·PN的最小值為.

圖2

分析? 首先根據(jù)極化恒等式，問題所求向量可等價(jià)轉(zhuǎn)化為PQ2－14MN2，其次在正方體和其內(nèi)接球的空間基礎(chǔ)上，對向量PQ，MN作出具體分析，由題意易知MN等價(jià)于內(nèi)接球直徑，則PQ的最小值情況需要推導(dǎo)判斷，只要求出PQ的最小值，問題所求數(shù)量積也將迎刃而解.

解析? 當(dāng)線段MN最大時(shí)，等價(jià)于內(nèi)接球的直徑，假設(shè)MN的中點(diǎn)為Q，由極化恒等式可得

PM·PN=PQ2－14MN2，

當(dāng)PQ最小時(shí)，PM·PN有最小值，

因?yàn)辄c(diǎn)P在正方體表面，點(diǎn)Q是內(nèi)接球球心，

所以PQmin=12×2=1，

PM·PN=PQ2－14MN2≥1－1=0，

故PM·PN的最小值為0.

圖3

變式? 如圖3，在三棱錐S－ABC中，SA，SB，SC兩兩垂直且SA=SB=SC=2，點(diǎn)M為三棱錐S－ABC外接球上任意一點(diǎn)，則MA·MB的最大值為.

分析? 首先結(jié)合極化恒等式使MA·MB轉(zhuǎn)化為MO12－14AB2，AB是定值，問題所求轉(zhuǎn)化為求MO1的最大值.其次結(jié)合三棱錐的空間結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及外接球性質(zhì)，判斷MO1最大值成立的具體情況，并根據(jù)勾股定理求出對應(yīng)值大小，即可得到問題所求向量數(shù)量積的最大值.

解? 取AB的中點(diǎn)O1，外接球球心為O，

因?yàn)镾A⊥SB，SA=SB=2，

所以AB=SA2+SB2=22，

由極化恒等式可得

MA·MB=MO12－14AB2=MO12－2，

因?yàn)辄c(diǎn)M，A，B都在外接球上，當(dāng)M，A，B共圓，球心O，O1，M點(diǎn)共線時(shí)MO1有最大值，

因?yàn)橥饨忧虬霃絉=OM=3，

OO1=R2－12AB2=1，

所以MO1max=3+1，

所以MA·MB=MO12－14AB2=MO12－2≤23+2，

故MA·MB的最大值為23+2.

3? 結(jié)語

通過上述例題的分析，可以發(fā)現(xiàn)在平面幾何中，極化恒等式需要結(jié)合平面圖形性質(zhì)對向量數(shù)量積作出分析；在立體幾何中，極化恒等式的運(yùn)用離不開空間點(diǎn)、線、面之間位置的綜合分析極化恒等式是求解向量數(shù)量積問題的有效手段，在不同類型問題中需要結(jié)合相對應(yīng)方面的知識做出分析，從而求解得到數(shù)量積的具體值.學(xué)生們應(yīng)熟練掌握極化恒等式的公式與應(yīng)用思路，今后更加高效地解答向量數(shù)量積問題.

參考文獻(xiàn)：

［1］楊蒼洲.例談極化恒等式的應(yīng)用［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（10）：52-53.