焦隨強

【摘要】在講解一元二次不等式模塊的內(nèi)容時，很多學(xué)生反映雖然能夠聽懂課堂上教師所講授的知識要點，但在具體解題過程中卻存在問題，對難度較高的一元二次不等式習(xí)題感到無從下手.本文主要從該模塊的簡單解法入手，帶領(lǐng)學(xué)生共同分析高次不等式、分式不等式以及絕對值不等式的常見解答方式，并對如何解答含參的一元二次不等式試題進(jìn)行探究，以期能夠提高職業(yè)院校學(xué)生的數(shù)學(xué)解題技能.

【關(guān)鍵詞】不等式;二次函數(shù);一元二次方程

在職業(yè)院校數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，授課教師應(yīng)當(dāng)著重為學(xué)生講解一元二次不等式試題的不同解法，該模塊是整個數(shù)學(xué)學(xué)科中的一大重難點內(nèi)容，學(xué)生需要緊密結(jié)合二次函數(shù)、二次方程與二次不等式等內(nèi)容進(jìn)行解答.必要時還需要充分運用方程函數(shù)、分類轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想［1-3］.

1? 探析一元二次不等式與一元二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系

例1? 解答以下三道一元二次不等式：

（1）2x2+4x+3<0；

（2）－3x2－2x+8≤0；

（3）8x－1≥16x2.

解? （1）由于Δ=42－4×2×3=16－24=－8<0，

所以方程2x2+4x+3=0沒有實根.

因此2x2+4x+3<0的解集為.

（2）將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?x2+2x-8≥0，

即（x+2）（3x－4）≥0，

解得x≤-2或x≥43.

因此不等式－3x2－2x+8≤0的解集是

-∞，-2∪43，+∞.

（3）將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?6x2－8x+1≤0，

即（4x－1）2≤0，

因此當(dāng)且僅當(dāng)4x－1=0，即x=14時這一不等式才成立，

因此不等式8x－1≥16x2的解集是14.

注? 在解答ax2+bx+c>0（<0）（a≠0）這種類型的一元二次不等式時，可遵循四大解題流程：

（1）將不等式中的二次項系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)；

（2）判斷不等式中判別式Δ的符號是正是負(fù)；

（3）如果根存在，求出不等式相應(yīng)一元二次方程的根；

（4）最終結(jié)合一元二次方程的根和二次函數(shù)圖象求解不等式的解集.

2? 與一元二次不等式相關(guān)的其余類型不等式的解法

2.1? 如何解答含絕對值的不等式

例2? 解答以下兩道不等式：

（1）x2－3>2x；

（2）x+2>x－1－3.

（1）解法1? 運用定義法將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

x2－3≥0，x2－3>2x，或x2－3<0，-（x2－3）>2x.

最終解得x>3或x≤－3或-3

因此這一不等式的解集是{x|x>3或x<1}.

解法2? 運用圖象法來進(jìn)行解答，

令y1=x2－3，y2=2x，能夠發(fā)現(xiàn)交點處坐標(biāo)是1，2和3，6.

因此滿足y1>y2的不等式的解集是

xx>3

或x<1.

（2）令 x+2=0，x－1=0，

解得x=-2與x=1.

將這一不等式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

x<－2，－（x+2）>－（x－1）－3，

或－2≤x<1，x+2>－（x－1）－3，

或x≥1，x+2>x－1－3，

最終解得這一不等式解集是

x－2

或x≥1，

即xx>－2.

注? 在解答含有絕對值的不等式試題時，需要把握解題關(guān)鍵，學(xué)會分析去掉絕對值后的符號，一般會用到零點分段、平方法以及定義法解答，還可能直接運用函數(shù)圖像求出答案.

2.2? 如何解答分式不等式

例3? 解答不等式x2－4x+13x2－7x+2<1.

解? 我們能夠?qū)⑦@一不等式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

－2x2+3x－13x2－7x+2<0，

將不等式左邊進(jìn)行整合后能夠發(fā)現(xiàn)：

（2x－1）（x－1）（3x－1）（x－2）>0，

運用數(shù)軸標(biāo)根法，能夠繪制出圖1.

圖1

因此這一不等式的解集是

xx<13或12

注? 在解答分式不等式試題時，需要格外注意同解原理，且不能隨便去除分母，可先把不等式的一邊進(jìn)行化零，不等式的另一邊進(jìn)行因式分解，通過在數(shù)軸上標(biāo)出各因式為零的根，之后依據(jù)不同因式在各個區(qū)間上的正負(fù)情況來解出不等式的解集.如果不等式的分子或分母中含有公因式，需注意不能隨意約去.

3? 如何解答含參一元二次不等式

例4? 求解關(guān)于x的不等式ax2－（a+1）x+1<0（a>0）.

解? 將這一不等式轉(zhuǎn)變?yōu)椋海▁－1）（ax－1）<0.

由于（x－1）（ax－1）=0的根為x1=1，x2=1a.

①當(dāng)01，

可以得出1

②當(dāng)a=1時，1a=1，可以將原不等式轉(zhuǎn)變成：（x－1）2<0，最終發(fā)現(xiàn)該不等式無解.

③ 當(dāng)a>1時，0<1a<1，

可以得出1a

注? 不等式的解集形式會受到方程根大小的影響，因此我們在解答中可以根據(jù)方程根的大小來對問題進(jìn)行分類討論，換句話說，對應(yīng)方程的根就是一元二次不等式解集的臨界值.

參考文獻(xiàn)：

［1］嚴(yán)保靜.回歸教學(xué)起點，追尋高效課堂——以《一元二次不等式的解法》為例［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，37（01）：26-28.

［2］李建業(yè).數(shù)學(xué)問題式教學(xué)設(shè)計的實踐探索——以“一元二次不等式的解法”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（18）：12-13.

［3］嚴(yán)曉春.教學(xué)轉(zhuǎn)型背景下一元二次不等式及其解法探析［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（19）：154-155.