羅丹　龍成芳

在新高考、新課標(biāo)和新教材的“三新”背景下，數(shù)學(xué)明確了六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，這六大核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)．本文以數(shù)列為研究對象，通過對高考題、教材的例題和習(xí)題的分析，探究六大核心素養(yǎng)的考查情況，旨在明確高考命題方向．

例２ （２０２０ 年全國Ⅲ 卷理１７，節(jié)選）設(shè)數(shù)列{an}滿足a１ ＝３，an＋１ ＝３an －４n．計(jì)算a２，a３，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明．

解析

因?yàn)閍１ ＝３，an＋１ ＝３an －４n，所以a２ ＝５，a３＝７，由此猜想an ＝２n＋１．下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．

當(dāng)n＝１時(shí)，a１＝２×１＋１＝３，成立．假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，ak ＝２k ＋１ 成立，則當(dāng)n ＝k ＋１ 時(shí)，由an＋１ ＝３an －４n，得ak＋１＝３ak －４k，又因?yàn)閍k ＝２k＋１，所以ak＋１＝３（２k＋１）－４k＝２k＋３＝２（k＋１）＋１，則假設(shè)成立，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an ＝２n＋１．

點(diǎn)評

該題是由已知計(jì)算出a２，a３，然后通過對數(shù)列前三項(xiàng)的分析尋找規(guī)律，由規(guī)律猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是由特殊到一般的推理過程，屬于歸納推理，這就是對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)邏輯推理的考查．該題的結(jié)構(gòu)特征比較明顯，解題的一般思路：首先根據(jù)數(shù)列的遞推公式和首項(xiàng)計(jì)算出從第二項(xiàng)起的前幾項(xiàng)，至于計(jì)算多少項(xiàng)，需要看題目有沒有要求，有要求，則按照要求做，沒有要求，則計(jì)算到規(guī)律呈現(xiàn)為止;其次根據(jù)計(jì)算的前幾項(xiàng)（包括首項(xiàng)）的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到其變化規(guī)律;再次根據(jù)規(guī)律猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式;最后證明猜想成立即可．凡是告知遞推公式的數(shù)列，求通項(xiàng)公式均可按照這種思路進(jìn)行嘗試．

拓展練習(xí) （２０２２ 年北京卷２１）已知Q：a１，a２，…，ak 為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m ，若對任意的n∈{１，２，…，m }，在Q 中存在ai，ai＋１，ai＋２，…，ai＋j（j≥０），使得ai ＋ai＋１＋ai＋２＋…＋ai＋j ＝n，則稱Q 為mＧ連續(xù)可表數(shù)列．

（１）判斷Q：２，１，４是否為５Ｇ連續(xù)可表數(shù)列？ 是否為６Ｇ連續(xù)可表數(shù)列？ 說明理由;

（２）若Q：a１，a２，…，ak 為８Ｇ連續(xù)可表數(shù)列，求證：k 的最小值為４;

（３）若Q：a１，a２，…，ak 為２０Ｇ連續(xù)可表數(shù)列，且a１＋a２＋…＋ak ＜２０，求證：k≥７．

解析

（１）若m ＝５，則對于任意n∈{１，２，３，４，５}，有a２ ＝１，a１ ＝２，a１ ＋a２ ＝３，a３ ＝４，a２ ＋a３＝５，所以Q 是５Ｇ連續(xù)可表數(shù)列．又在Q 中無法找到連續(xù)若干項(xiàng)之和相加為６，所以Q 不是６Ｇ連續(xù)可表數(shù)列．

（２）反證法：假設(shè)k 的值為３，則a１，a２，a３ 最多能表示a１，a２，a３，a１＋a２，a２＋a３，a１＋a２＋a３，共６個(gè)數(shù)，與Q 為８Ｇ連續(xù)可表數(shù)列矛盾，故k≥４．現(xiàn)構(gòu)造Q：４，２，１，５，可以表達(dá)出１，２，３，４，５，６，７，８這８個(gè)數(shù)，即存在k＝４滿足題意，故k 的最小值為４．

（３）先證明k≥６．從５個(gè)正整數(shù)中，取一個(gè)數(shù)只能表示自身，最多可表示５個(gè)數(shù)，取連續(xù)兩個(gè)數(shù)最多能表示４個(gè)數(shù)，取連續(xù)三個(gè)數(shù)最多能表示３個(gè)數(shù)，取連續(xù)四個(gè)數(shù)最多能表示２個(gè)數(shù)，取連續(xù)五個(gè)數(shù)最多能表示１個(gè)數(shù)，所以對任意給定的５個(gè)整數(shù)，最多可以表示５＋４＋３＋２＋１＝１５個(gè)正整數(shù)，不能表示２０個(gè)正整數(shù)，即k≥６．若k＝６，最多可以表示６＋５＋４＋３＋２＋１＝２１個(gè)正整數(shù)，由于Q 為２０Ｇ連續(xù)可表數(shù)列，且a１＋a２＋…＋ak ＜２０，所以至少有一項(xiàng)為負(fù)數(shù)，既然任意５個(gè)正整數(shù)都不可能為２０Ｇ連續(xù)可表數(shù)列，那么中間若插入一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)，更不能連續(xù)表示１～２０的正整數(shù)，所以至少要有６個(gè)正整數(shù)才能連續(xù)表示１～２０的正整數(shù)，則Q 中至少包含６個(gè)正整數(shù)和１個(gè)負(fù)數(shù)，故k≥７．

３ 數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型并解決問題的素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)建模的主要表現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，分析和解決問題．?dāng)?shù)學(xué)建模過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題．

例３ （人教A 版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊３１頁例４）用１００００元購買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年．

（１）若以月利率０.４００％的復(fù)利計(jì)息，１２個(gè)月能獲得多少利息（精確到１元）？

（２）若以季度復(fù)利計(jì)息，存４個(gè)季度，則當(dāng)每季度利率為多少時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到１０－５）？

解析

（１）由已知，以月利率０.４００％的復(fù)利計(jì)息，每月后本息形成一個(gè)以１０ ０００（１＋０.４００％）為首項(xiàng)、１＋０．４００％為公比的等比數(shù)列，所以１２個(gè)月的本息為１００００（１＋０.４００％）１２ ≈１０４９０.７，故１２個(gè)月后的利息為１０４９０.７－１００００≈４９１元．

（２）設(shè)每季度利率為p，則第n 季度以后的本利和構(gòu)成一個(gè)以１００００（１＋p）為首項(xiàng)、１＋p 為公比的等比數(shù)列，設(shè)其為{bn }，則b４＝１００００（１＋p）４，所以以季度復(fù)利計(jì)息，存４ 個(gè)季度后的利息為１００００（１＋p）４－１００００元．要使以季度復(fù)利計(jì)息，存４個(gè)季度，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息，即１００００（１＋p）４－１００００≥４９１，解得p ≥１.２０６％，故當(dāng)每季度利率不小于１.２０６％時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息．