許志興

［摘 要］反比例函數(shù)是初中數(shù)學的一類較為重要的函數(shù)，其在中考數(shù)學試卷中頻繁出現(xiàn)。與其他函數(shù)相比，反比例函數(shù)具有一定的特殊性，無論是基礎(chǔ)性質(zhì)，還是相關(guān)圖象，均與眾不同，這使其成為中考數(shù)學考查的熱點。文章結(jié)合實際問題，總結(jié)反比例函數(shù)的基礎(chǔ)概念問題、圖象性質(zhì)問題、面積問題、最值問題及綜合問題等常見題型，旨在幫助學生熟練掌握反比例函數(shù)的常見考點，促使學生有效解答反比例函數(shù)問題。

［關(guān)鍵詞］反比例函數(shù)；常見題型；初中數(shù)學

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）05-0035-03

反比例函數(shù)因具有特殊性質(zhì)而成為中考數(shù)學的常見考點。在實際的考題中，除了對反比例函數(shù)的基礎(chǔ)性質(zhì)進行考查，還會將反比例函數(shù)與一次函數(shù)、三角形、平行四邊形等進行綜合考查。因此，需要掌握的知識點較多，導致學生在解答問題時效率不高。為了幫助學生熟練掌握反比例函數(shù)的常見考點，筆者結(jié)合實際問題對中考中反比例函數(shù)的常見題型進行分析。

一、基礎(chǔ)概念問題

反比例函數(shù)的基礎(chǔ)概念是常見的考點之一，這類考點主要在選擇題及填空題中進行考查。反比例函數(shù)基礎(chǔ)概念問題主要考查學生對反比例函數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握程度，難度較小，需要學生熟練掌握反比例函數(shù)的基本性質(zhì)。

［例1］如圖1所示，平行四邊形[OABC]的頂點[O]為坐標原點，[A]在[x]正半軸，[B、C]在第一象限，反比例函數(shù)[y=1x]的圖象過點[C]，[y=kx（k≠0）]的圖象過點[B]，若[OC=AC]，則[k=]? ? ? ? ? ?。

解析：因為點[C]在反比例函數(shù)[y=1x]圖象上，所以可設(shè)點[C]的坐標為[m，1m]，

因為[OC=AC]，可知[A（2m，0）]，

因為[OABC]為平行四邊形，

所以點[B]的坐標為[3m，1m]。

因為點[B3m，1m]在[y=kx（k≠0）]的圖象上，

所以[k=3m×1m=3]。

評析：本題在求解[y=kx（k≠0）]中[k]的取值時，需要借助反比例函數(shù)[y=1x]上的點[C]，而后根據(jù)平行四邊形[OABC]的性質(zhì)，表示出[y=kx（k≠0）]上點[B]的坐標，進而求得[k=3]。

二、圖象性質(zhì)問題

反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是反比例函數(shù)問題的重要考點，與其他函數(shù)的圖象不同，反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形。對于反比例函數(shù)[y=kx（k≠0）]，其圖象為雙曲線，會無限接近于[x]軸和[y]軸，但不會相交。當[k>0]時，圖像位于一、三象限，[y]隨[x]增大而減小，當[k<0]時則相反。另外，在反比例函數(shù)的圖象上任取一點，向[x]軸和[y]軸作垂線，所構(gòu)成矩形的面積為[k]，這是解答面積問題時常用的方法。在實際的考試中，會有諸多考查反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)的題目，故需要靈活掌握。

［例2］如圖2所示，雙曲線[y=kx]與直線[y=mx]相交于[A、B]兩點，點[B]的坐標為[（-2，-3）]，則點[A]的坐標為（ ）。

A.（-2，-3）? ? ?B.（2，3）? ? ?C.（-2，3）? ? D.（2，-3）

解析：因為雙曲線[y=kx]與直線[y=mx]相交于[A、B]兩點，所以可以畫出關(guān)于原點[（0，0）]對稱的中心對稱圖形，點[B]的坐標為[（-2，-3）]，利用中心對稱特點，可得點[A]的坐標為[（2，3）]，故正確答案為[B]。

評析：本題主要考查雙曲線圖象的中心對稱特點，當雙曲線[y=kx]與直線[y=mx]相交于[A、B]兩點時，[A、B]兩點關(guān)于原點中心對稱，即點[B]的坐標為（-2，-3）時，點[A]的坐標為[（2，3）]。

三、面積問題

反比例函數(shù)面積問題的題型較為靈活。在實際解題中，常用的解題方法有數(shù)形結(jié)合法、求[k]值法、割補法等。如常用解題方法“割補法”，在面積問題中可以通過分割或者補充，將原本不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，進而解答問題。

［例3］如圖3所示，點[P（m，1）]，[Q（-2，n）]在反比例函數(shù)[y=4x]的圖象上，過點[P]分別向[x]軸和[y]軸作垂線，垂足分別為[M、N]，連接[OP]、[OQ]、[PQ]，若四邊形[OMPN]面積為[S1]，[△POQ]的面積為[S2]，則（ ）。

A. [S1]∶[S2=2]∶[3]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. [S1]∶[S2=1]∶[1]

C. [S1]∶[S2=4]∶[3]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D. [S1]∶[S2=5]∶[3]

解析：因為點[P（m，1）]、[Q（-2，n）]在反比例函數(shù)[y=4x]的圖象上，所以[m×1=-2n=4]，

所以[m=4]，[n=-2]，所以[P（4，1）]、[Q（-2-2）]，

因為過點[P]分別向[x]軸和[y]軸作垂線，垂足分別為[M、N]，

所以[S1=4]。

如圖4所示，作[QK⊥PN]，交[PN]延長線于點[K]，

則[PN=4]，[ON=1]，[PK=6]，[KQ=3]，

所以[S2=S△PQK-S△PON-S梯形ONKQ=12×6×3-12×4×1-12×（1+3）×2=3]，

所以[S1]∶[S2=4]∶[3]，故正確選項為[C]。

評析：在本題中出現(xiàn)了“斜三角形”這一元素，但其邊沒有落在坐標軸上。因此，可以借助割補法進行解題。將斜三角形轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯侨切巍⒅苯翘菪蔚?，進而求解。計算可得[S1=4]，將[S2]轉(zhuǎn)化為[S△PQK-S△PON-S梯形ONKQ]進行解答。

四、最值問題

在函數(shù)的應用中，最值問題是一類常見的問題，最值問題在反比例函數(shù)中也是頻繁出現(xiàn)。在解答最值問題時，常用的方法有模型法、函數(shù)法、圖形法及性質(zhì)法等。雖然有較多的解題方法，但是在實際的解題中還需要學生結(jié)合實際問題，根據(jù)題目信息，靈活選擇合適的解題方法，進而提高解題效率。其中，最短路徑模型是解答最值問題的常用方法，即通過兩點間直線距離最短，確定取得最值時的點，進而求解。

［例4］已知[A、B]為反比例函數(shù)[y=-4x]圖象上的兩點，橫坐標分別為[-1]，[-2]。點[P]為[y=x]上一動點，當[PA+PB]最小時，點[P]的坐標為（ ）。

A. [12，12]? ? ? ? ? ? ? ? ? B. [23，23]

C. [（1，1）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D. [32，32]

解析：因為[A]、[B]在[y=-4x]的圖象上，橫坐標為[-1]，[-2]，所以[A（-1，4）]，[B（-2，2）]，作點[B]關(guān)于[y=x]的對稱點[C]。

由反比例函數(shù)性質(zhì)可知，[B]、[C]關(guān)于原點對稱，則C（2，-2）。

如圖5所示，連接[AC]和[y=x]交于點[P]，此時[PA+PB=PA+PC=AC]最小。

設(shè)直線[AC]的方程為[y=kx+b]，

將[A、C]的坐標代入可得[k=-2]，[b=2]，

則直線[AC]的方程為[y=-2x+2]，

將其與[y=x]聯(lián)立可得[x=y=23]，

即點[P]的坐標為[23，23]，故正確答案為[B]。

評析：在本題中，根據(jù)[A]、[B]在[y=-4x]的圖象上，橫坐標為[-1]，[-2]，則可得[A（-1，4）]，[B（-2，2）]，此時可以畫出相應的圖象。由反比例函數(shù)性質(zhì)可知C（2，-2）。連接[AC]和[y=x]交于點[P]，此時[PA+PB=PA+PC=AC]最小。故此時可確定點[P]的位置，進而結(jié)合直線方程進行求解即可。

五、綜合問題

一些復雜的反比例函數(shù)題目會將反比例函數(shù)與幾何圖形、其他函數(shù)等知識點進行綜合考查。這類問題涉及的知識點較多，通常較為復雜。在實際的解題中，需要學生結(jié)合實際問題進行靈活分析，其中最為基礎(chǔ)的是熟練掌握反比例函數(shù)及其他相關(guān)知識。

［例5］如圖6所示，直線[y=-2x+4]與[y]軸、[x]軸分別相交于[A]、[B]兩點，將射線[AB]繞點[B]順時針旋轉(zhuǎn)到[BC]，使得[∠ABC=∠ABO]，反比例函數(shù)[y=kx（x>0）]的圖象經(jīng)過點[C]，[CD⊥OB]于點[D]，且[S△BCD=32]，則[k=]? ? ? ? ? ? ? ? 。

解析：因為直線[y=-2x+4]與[y]軸、[x]軸交于[A]、[B]兩點，所以[A（0，4）]，[B（2，0）]，

所以[OA=4]，[OB=2]，

在[BC]中截取[BP]，使[BP=OB]，如圖7所示，連接[OP]交[AB]于點[Q]，

因為[∠ABC=∠ABO]，

所以[OP⊥AB]，[OQ=QP]，

因為直線[AB]的方程為[y=-2x+4]，且[OP⊥AB]，

因為[kOP·kAB=-1]，

所以直線[OP]的方程為[y=12x]，

聯(lián)立[y=-2x+4]與[y=12x]可得，

[x=85]，[y=45]，

所以[Q85，45]，[P165，85]，

設(shè)直線[BC]的方程為[y=kx+b]，

將[B（2，0）]，[P165，85]

代入得[2k+b=0，165k+b=85，]解得[k=43，b=-83。]

所以直線[BC]的方程為[y=43x-83]，

設(shè)[CD=h]，

因為[S△BCD=32]，所以[12BD·CD=32]，[BD=3h]，[OD=2+3h]，

所以將[C2+3h，h]代入[y=43x-83]，得[h1=2]或[h2=-2]（舍去）。

所以[C72，2]，因為反比例函數(shù)[y=kx（x>0）]的圖象經(jīng)過點[C]，所以[k=72×2=7]，故[k=7]。

評析：在本題中，通過直線方程可得[OA=4]，[OB=2]，在[BC]中截取[BP]，使[BP=OB]，連接[OP]交[AB]于點[Q]，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得直線[OP]的方程為[y=12x]，通過聯(lián)立方程可得[P165，85]。由待定系數(shù)法可得直線[BC]的方程為[y=43x-83]。在此基礎(chǔ)上，設(shè)[CD=h]，將[C2+3h，h]代入[y=43x-83]，得[h1=2]。由[C72，2]在[y=kx（x>0）]的圖象上，可得[k=7]。

綜上所述，反比例函數(shù)是中考數(shù)學的常見考點，本文結(jié)合實際問題，總結(jié)了中考數(shù)學中反比例函數(shù)的常見題型，即反比例函數(shù)基礎(chǔ)概念問題、圖象性質(zhì)問題、面積問題、最值問題及綜合問題，并分析相關(guān)問題的解題方法。這就要求學生要結(jié)合常見問題，總結(jié)解題規(guī)律，以期在考試中能夠快速解答問題。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 林藝彬.利用反比例函數(shù)圖像對稱性巧解題［J］.數(shù)理化解題研究，2022（35）：23-25.

［2］? 徐魯璐.解反比例函數(shù)綜合題的兩種方法［J］.初中生必讀，2023（6）：32-34.

［3］? 丁慧.反比例函數(shù)的三種常見考點［J］.現(xiàn)代中學生（初中版），2023（6）：41-42.

（責任編輯 黃春香）