王東海

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0091-05

第Ⅰ卷（選擇題）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.學(xué)校組織班級知識競賽，某班的8名學(xué)生的成績（單位：分）分別是：68，63，77，76，82，88，92，93，則這8名學(xué)生成績的75%分位數(shù)是（? ）.

A.88分 B.89分 C.90分 D.92分

3.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1=2，其中公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中項，則S18=（? ）.

A. 398 B. 388 C. 189 D. 199

4.已知α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題錯誤的是（? ）.

B.如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n

C.如果m∥n，m⊥α，那么n⊥α

D.如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β

5.甲、乙、丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票.若甲、乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（? ）.

A. 240? B. 192? C. 96? D. 48

6.已知點P是圓M：x2+y2-8x-6y+21=0上的動點，直線l：2x+3y-6=0與x軸、y軸分別交于A，B兩點，當(dāng)∠PAB最小時，|PA|=（? ）.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)f（x）=sin 2x-2sin2x，給出下列結(jié)論，正確的是（? ）.

A.函數(shù)f（x）的最小正周期是π

10.已知z1，z2，z3∈C，且z3≠0，下列說法正確的是（? ）．

A.若z1z3=z2z3，則z1=z2

B.若z21>z22，則|z1|>|z2|

第Ⅱ卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

13.在四面體P-ABC中，BP⊥PC，∠BAC=60°，若BC=2，則四面體P-ABC體積的最大值是，它的外接球表面積的最小值為．

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

（1）求a，b的值；

（1）求考生甲至少正確完成2道題的概率；

（2）求考生乙能通過筆試進(jìn)入面試的概率；

（3）記所抽取的三道題中考生乙能正確完成的題數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

17.（本小題15分）如圖2，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．

（1）證明：AB⊥A1C；

（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．

（1）求C1，C2的方程；

19.（本小題17分）設(shè)m，n∈N*，已知由自然數(shù)組成的集合S={a1，a2，…，an}（a1

設(shè)d（ai）=xi1+xi2+…+xim（i=1，2，…，n），令d（S）是d（a1），d（a2），…d（an）中的最大值．

（2）若S={1，2，…，n}，集合S1，S2，…，Sn中的元素個數(shù)均相同，若d（S）=3，求n的最小值；

（3）若m=7，S={1，2，…，7}，集合S1，S2，…，S7中的元素個數(shù)均為3，且Si∩Sj≠（1≤i

參考答案

1.C ?2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A

8.A 9.AB 10.ACD ?11.ACD

由題意得：f ′（1）=1-b=-1，f（1）=a+b=1，解得a=-1，b=2.

列表如下：

17. （1）取AB中點O，連接OC，OA1，

因為CA=CB，所以O(shè)C⊥AB.

因為AB=A1A，∠BAA1=60°，

所以△BAA1是正三角形，所以O(shè)A1⊥AB.

因為OC∩OA1=O，

OC，OA1平面OCA1，

所以AB⊥平面OCA1.

故不存在直線滿足條件．

（2）設(shè)ai∈S使d（ai）=d（S）=3，則d（ai）=xi1+xi2+…+xim≤m，所以m≥3.所以S={1，2，…，n}至少有3個元素個數(shù)相同的非空子集，

當(dāng)n=1時，S={1}，其非空子集只有自身，不符題意；

當(dāng)n=2時，S={1，2}，其非空子集有1，2，1，2，不符題意；

當(dāng)n=3時，S={1，2，3}，其非空子集有1，2，3，1，2，1，3，2，3，{1，2，3}，

當(dāng){S1，S2，S3}={{1}，{2}，{3}}時，d（1）=d（2）=d（3）=1，不符題意；

當(dāng){S1，S2，S3}={{1，2}，2，3，{1，3}}時，d（1）=d（2）=d（3）=2，不符題意；

所以d（S）的最小值為3．