□張偉明 梁婷婷

一、緣起

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》對“圖形與幾何”領域進行了調整，將《義務教育數學課程標準（2011 年版）》中的“圖形的認識”“圖形的測量”“圖形的運動”“圖形的位置”四個主題，整合為“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”兩個主題。這一變化說明“認識”與“測量”、“位置”與“運動”在教學內容上緊密關聯。比如，圖形特征的刻畫有助于測量方法的掌握，而測量方法的習得又有助于圖形特征的理解。兩者又可以通過圖形運動的視角實現關聯，即在圖形的運動中認識圖形特征，掌握測量方法，實現圖形特征認識與圖形運動之間的一致性，使各主題緊密結合。

那該領域的教學內容應如何展開深入思考與實施呢？對此，筆者參閱吳正憲老師、張秋爽老師關于“以運動視角刻畫圖形特征”和“以運動視角理解圖形測量”的觀點［1］，結合人教版教材六年級下冊“整理和復習”單元中的“立體圖形的體積和表面積”這一內容進行實踐。一方面，作為小學階段“圖形的認識與測量”領域的最后一課，“立體圖形的體積和表面積”的教學需要對立體圖形的體積和表面積進行系統(tǒng)梳理；另一方面，這一復習內容對學生整合所學的有關圖形的零碎知識提出了更高要求（如圖形的特征、圖形之間的關聯、計算公式的由來等）。

二、教學實踐

（一）第一次圖形運動：以圖形特征為焦點，激活知識鏈

對圖形特征的認知主要體現在對圖形的抽象上。為此，學生需經歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程。以圖形的運動為視角，可通過圖形的動態(tài)演繹，使學生對圖形特征的理解變得更為深刻。比如，三維直柱體也可通過二維平面圖形垂直平移得到。由此，學生從運動變化中再次認識點、線、面等特征，以已有的知識點為基礎，激活知識鏈。

在本內容的導入環(huán)節(jié)，教師先以課件的動態(tài)方式演示“點動成線、線動成面、面動成體”的過程，直觀呈現圖形的形成過程：一個點沿一個方向平移，運動后的軌跡是一條線（如線段）。一條線段沿同一個方向平移，運動后的軌跡能形成長方形、正方形、平行四邊形；將這條線段繞著一個端點旋轉一定角度，運動形成的軌跡是圓（或扇形）。將平面圖形平移可形成長方體、正方體、圓柱，旋轉可形成圓柱或圓錐（如圖1）。這一圖形運動過程再現了一維、二維和三維間的轉化，為學生回顧圖形的特征奠定基礎。接著，教師提出核心問題：“看到V=Sh的計算公式，你想到了哪些圖形的體積？你想怎么說明？”通過問題驅動，幫助學生回憶并整理出長方體、正方體、圓柱等立體圖形都能用這一公式計算體積。具體來說，長方體的體積為abh，正方體的體積為a3，圓柱的體積為πr2h。其中，ab、a2、πr2為底面積，h（a）為圖形的高。在運動視角下，學生能快速回憶起各種立體圖形的特征，為形成知識結構奠定基礎。

圖1

（二）第二次圖形運動：貫通圖形測量，構建知識網

圖形的長度、面積、體積計算公式的推導建立在測量基礎上，比如：長方形的面積是以面積單位對“行”和“列”進行測量，從而歸納出長方形的面積公式；長方體的體積是以體積單位對“行”“列”和“層”進行測量，進而歸納出長方體的體積公式。教師應從運動的視角出發(fā)，幫助學生利用測量理解體積的計算公式，發(fā)展空間觀念。

在本內容的展開環(huán)節(jié)，教師可以利用V=Sh的計算公式，求長方體、正方體、圓柱的體積，并引導學生思考：“你如何解釋這些立體圖形的體積都可以用V=Sh來計算？”以此引導學生回歸體積推導的基本圖形——長方體，并由此推理其他立體圖形的體積，豐富學生對測量內涵的理解。

【教學片段1】

師：我們是如何推導長方體的體積公式的？

生：用1 立方厘米的小正方體進行擺放，一行擺a個，擺了b行，有這樣的h層，長方體的體積就用abh來計算。

師：長方體的底面積a×b表示一層中每一行有a個小正方體，共有b行，即一層有幾個體積單位；h是指有這樣的h層。體積單位的個數可以用一層的個數×層數，即Sh來計算。那么，正方體的體積如何計算呢？

生：正方體的一層中，每一行a個小正方體，有a行，有這樣的a層，同樣可以用Sh來計算。

師：那么圓柱呢？

生：一層有πr2個小正方體，有h層。

師：這樣能看出體積單位嗎？

生：將圓柱平均分成16等分，拼成一個近似的長方體。這樣，一層中每一行有πr個小正方體，共有r行，有h層。因此，圓柱的體積也可以用V=Sh來計算。

師：這個S和h究竟代表什么？

生：S就是一層有幾個小正方體，h就是有幾層。

師：有同學提到三棱柱也能用V=Sh計算體積。你知道三棱柱的形狀嗎？你想如何來說明？

生：三棱柱的底部是“一層三角形”，它有幾層這樣的三角形，體積可以用V=Sh來表示。

在運動視角下，引導學生理解S表示平面圖形的面積，h表示平面圖形平移的距離。當平面圖形的面積不變時，運動的距離越長，直柱體的體積越大；反之，運動的距離越短，直柱體的體積越小。由此推導立體圖形的體積=平面圖形的面積×運動的距離。這使得學生體會到各類直柱體體積計算方法的一致性，認識到這些直柱體的體積都能用V=Sh來計算。

【教學片段2】

師：一層的高最小是不是1 厘米？如果將1 厘米繼續(xù)縮減下去，你能想象此時的形狀嗎？

生：高為1毫米的一層。

師：這時用于度量的體積單位是什么？

生：1立方毫米。

師：高還能再小下去嗎？

生：1微米、1納米……

師：你能想象出這個圖形的形狀嗎？

生：很薄很薄的一片。

師：那么S表示什么？h又表示什么呢？

生：S表示平面圖形的面積，h表示平面圖形平移的距離。

師：是的，因此立體圖形的體積=平面圖形的面積×運動的距離。我們將這種可以通過平面圖形平移得到的立體圖形稱為直柱體。

教師從立體圖形體積的計算過渡到表面積的整理。如沿圓柱的一條高剪開，可得到兩個圓形的底面和一個長方形的側面；對于長方體、正方體、三棱柱等圖形，沿一條高剪開，也可得到兩個底面和一個長方形的側面。這些立體圖形的側面都是長方形，其面積均由底面周長C平移h這一距離得到（如圖2），因此這些立體圖形的側面積也能用底面周長×運動距離來計算。教師通過板書（如圖3）整理相關知識，讓學生體會到在運動視角下，體積和表面積的計算方法更具有一般性和一致性。

圖2

圖3

（三）第三次圖形運動：類化圖形結構，實現知識遷移

圖形的運動不僅是具體的學習內容，也是一種思維方式。通過圖形的運動，學生可以深化對圖形的認識與測量，這有利于他們用數學的眼光觀察圖形世界，體會圖形在現實生活中的廣泛應用，進而認識到數學的價值。

在本內容的練習環(huán)節(jié)，教師出示了9個封閉的立體圖形（如圖4），要求學生根據提供的數據找一找9個圖形容積之間的關系。在之前的展開環(huán)節(jié)，學生已經探究出立體圖形體積與平面圖形及運動距離之間的關系。因此，學生能夠迅速發(fā)現②號、④號、⑤號、⑨號立體圖形的容積相等。這一過程促使學生理解在直柱體中，底面圖形可以從原來的正方形、長方形、圓、三角形擴展到平行四邊形、梯形、圓環(huán)，甚至任意的平面圖形。

圖4

【教學片段3】

師：大家說的平行四邊形、梯形、圓環(huán)……都是平面圖形的形狀，那么平移的方向呢？

生：可以上下、左右平移。

生：還可以斜著平移。

師：是的，就是這里的④號棱柱。那你是怎么理解它的高的？

（根據學生的比畫，將三本數學書疊在一起進行演示，讓學生理解斜棱柱的高是面與面之間垂直線段的長度）

師：你還能發(fā)現其他關系嗎？

生：②號圖形的體積是⑦號圖形體積的2 倍。⑦號圖形的底面是直角三角形，兩個完全一樣的直角三角形可以拼成一個長方形。

（根據學生回答將兩個三棱柱拼成長方體）

生：我知道了，平移距離相等，平面圖形的面積就成為決定體積的關鍵要素。因此，平面圖形面積推導中使用的倍拼法，同樣可以用于推導立體圖形的體積。

生：我還發(fā)現①號圓柱體的體積是⑥號圓錐體體積的3倍。

生：我覺得②號長方體與⑧號四棱錐的體積之間也存在3倍關系。

師：你們會如何驗證這一猜想？

生：制作等底等高的長方體容器和四棱錐容器，將四棱錐容器倒?jié)M水，再倒入長方體容器中，重復這個過程，看看是否需要3次。

師：這是很好的想法！

在本內容的總結環(huán)節(jié)，教師帶領學生梳理并回顧“正三角形—正方形—正五邊形—正六邊形—正十八邊形”的形成過程。隨著正多邊形邊數的增加，其形狀無限趨近于圓形，直至完全變?yōu)閳A形。教師提問：“這些正多邊形可以通過垂直平移得到相應的直柱體，那么這些直柱體的體積應如何計算呢？”借助在運動變化中特征保持一致的圖形，幫助學生得出“棱柱體積都可以用底面積×高計算”的結論。而圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的據此可引導學生推導出棱錐體積也應是與之等底等高棱柱體積的（如圖5）。由此，學生解決問題的思維從靜態(tài)地分析基本圖形的組成，提升至基于關系分析圖形特征和等積變化，實現了知識的關聯和結構化。

圖5

總之，在運動視角下進行的“立體圖形體積和表面積”的教學實踐，在激發(fā)學生的討論、互動及思維發(fā)展方面取得了令人滿意的成果。通過三次圖形的運動過程，將“立體圖形體積和表面積”的復習融入知識鏈激活、知識網構建以及知識遷移應用的過程中，使學生對圖形特征有了直觀的認識，構建了合理的測量方法，并拓展了對類化圖形結構的理解，從而推動了學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。