□盛國平 盛勤杰

數(shù)量關(guān)系不僅是解決問題的核心，也是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷在具體情境中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題的過程，并明確提出“分量+分量=總量”這一數(shù)量關(guān)系，為數(shù)量關(guān)系的教學(xué)提供了清晰的方向。

然而，在課堂中存在教學(xué)零碎化和片面性的問題。部分教師過于側(cè)重計(jì)算技能的培養(yǎng)，這在一定程度上削弱了學(xué)生構(gòu)建數(shù)量關(guān)系的能力。如何有效進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的教學(xué)？對(duì)此，不少教師感到迷茫。本文以人教版教材三年級(jí)上冊(cè)“三位數(shù)加三位數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容為例，探討如何借助具體情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，深入理解“分量+分量=總量”這一數(shù)量關(guān)系的形成過程，進(jìn)而培養(yǎng)他們的自主探究能力與數(shù)量關(guān)系的構(gòu)建能力。

一、利用現(xiàn)實(shí)情境，感知數(shù)量關(guān)系模型

教師通過實(shí)物或圖片，為學(xué)生構(gòu)建與生活息息相關(guān)的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生在提取并分析信息的過程中，激活已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，形成新的認(rèn)知沖突。同時(shí)，通過數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)情境，切實(shí)感悟數(shù)量之間的模型關(guān)系。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提取信息

學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解必須建立在具體的情境之上。通過對(duì)具體情境的感知，學(xué)生就能夠從中提取并分析出與數(shù)量關(guān)系緊密相關(guān)的信息。

師：學(xué)校組織同學(xué)們到動(dòng)物園參觀。這些濕地野生動(dòng)物你都了解嗎？

教師用課件出示主題圖（如圖1）。

圖1

師：濕地孕育了豐富多樣的野生動(dòng)物，下面是關(guān)于中國濕地部分動(dòng)物重量的統(tǒng)計(jì)表（如表1），你從中獲得了哪些數(shù)學(xué)信息？

表1

生：濕地動(dòng)物丹頂鶴重13 千克，麋鹿重122 千克，鱷魚重317千克。

師：你們能據(jù)此提出與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題嗎？

生：丹頂鶴和麋鹿一共重多少千克？

生：麋鹿和鱷魚一共重多少千克？

生：丹頂鶴和鱷魚一共重多少千克？

生：麋鹿比丹頂鶴重多少千克？

將生活中的實(shí)例引入數(shù)學(xué)教學(xué)，可以拉近課堂與實(shí)際生活之間的距離，使學(xué)生更易于發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)信息。學(xué)生通過對(duì)這些信息的搜集和分析，可以提升信息搜集與處理能力，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)和實(shí)踐應(yīng)用能力。

（二）找共同點(diǎn)，激活經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是他們學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ)。為此，教師在教學(xué)中要善于找到新舊知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。

師：同學(xué)們剛剛提出了那么多數(shù)學(xué)問題，現(xiàn)在，我們先一起解決“麋鹿和鱷魚一共重多少千克？”的問題。

師：這一題要求我們求麋鹿和鱷魚一共重多少千克。大家回憶一下，我們什么時(shí)候?qū)W過與求“一共”相關(guān)的內(nèi)容？

生：一、二年級(jí)時(shí)學(xué)過。

引導(dǎo)學(xué)生深入探索并發(fā)現(xiàn)和以往知識(shí)的共通點(diǎn)，可以有效激活學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，使他們能夠在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過程中更好地形成知識(shí)體系，并加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系。

（三）借助線段，數(shù)形轉(zhuǎn)化

為了使學(xué)生能夠直觀地感知模型，教師在教學(xué)中需要借助數(shù)形結(jié)合的方式，將抽象的數(shù)學(xué)模型與具體的圖形相結(jié)合，從而幫助學(xué)生更好地理解模型的內(nèi)涵。

學(xué)生選取信息并提出問題后，教師出示問題：麋鹿和鱷魚一共重多少千克？

師：你們能用圖式來表示這些信息和問題嗎？

學(xué)生動(dòng)手操作，畫一畫、擺一擺。

師：我們以前是用畫小方塊或者擺小木棒的方式來表示這類問題中的數(shù)量的，現(xiàn)在你們覺得還合適嗎？

生：不合適，因?yàn)閿?shù)太大了。

師：那該怎么辦呢？

生：我們可以用線段來表示某一個(gè)數(shù)量。

學(xué)生用畫線段圖的方式表示題目中的數(shù)量關(guān)系（如圖2）。

圖2

師：你能說一說這幅線段圖表示什么意思嗎？

生：我先畫一條線段表示鱷魚重317 千克，再在它的后面畫一條線段表示麋鹿重122千克，下面這個(gè)問句就表示這兩種動(dòng)物一共重多少千克。

畫圖的實(shí)質(zhì)是借助圖形表征幫助學(xué)生把抽象問題具體化、直觀化，從而使學(xué)生能通過直觀感知與數(shù)學(xué)抽象的深度融合來理解題意，并分析數(shù)量關(guān)系，尋找到解決問題的突破口，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移。

二、利用遷移類比，提煉數(shù)量關(guān)系模型

為使學(xué)生更好地掌握數(shù)量關(guān)系，教師需要引導(dǎo)他們回顧已有的相關(guān)知識(shí)，并運(yùn)用類比推理的方式，逐步從已知的關(guān)系中抽象概括出具有普遍意義的數(shù)學(xué)模型。

（一）運(yùn)用語言描述，初步抽象規(guī)律

用自然、生動(dòng)的語言來描述規(guī)律，是學(xué)生學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)規(guī)律的初步階段。通過語言描述，學(xué)生能夠初步感知規(guī)律的存在和形式，從而建立起對(duì)規(guī)律的基本認(rèn)識(shí)。

師（出示圖2）：鱷魚的重量和麋鹿的重量合并起來就是一共重多少千克。你能模仿老師的方法說一說嗎？

小組合作后交流。

生：丹頂鶴的重量和鱷魚的重量合并起來就是一共重多少千克。

生：丹頂鶴的重量和麋鹿的重量合并起來就是一共重多少千克。

教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系運(yùn)算的意義，在充分理解問題的基礎(chǔ)上，用自己的語言表達(dá)量與量之間的關(guān)系。如學(xué)生可以使用“……和……合并起來就是……”“……和……就可以求出……”等表達(dá)方式。這種語言描述方式不僅能夠幫助學(xué)生將觀察到的現(xiàn)象進(jìn)行系統(tǒng)化整理，而且為他們學(xué)習(xí)如何將具體現(xiàn)象抽象為數(shù)學(xué)模型打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。通過這種方式，學(xué)生不僅能夠提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，還能夠提升邏輯思維和抽象思維能力，為未來的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

（二）積累學(xué)習(xí)材料，進(jìn)行類比分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)中對(duì)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是一個(gè)漸進(jìn)的、積累性的過程。只有不斷積累學(xué)習(xí)材料，他們對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)才能逐漸變得清晰和深入。

教師出示學(xué)習(xí)單（如表2）。

表2

要求：先填一填題目中已知什么、求什么，再列式解答。

教師利用列表的方式呈現(xiàn)三個(gè)題目的解決過程。通過討論、比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這三道題目的相似之處，即它們都是將描述兩種動(dòng)物的重量的數(shù)進(jìn)行合并。通過對(duì)學(xué)習(xí)材料的積累與整理，學(xué)生獲得了豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并經(jīng)過類比推理，發(fā)現(xiàn)這些題目本質(zhì)上具有一致性，即都符合“分量+分量=總量”這一數(shù)量關(guān)系。

（三）通過已有經(jīng)驗(yàn)，得出基本模型

在日常生活中，許多學(xué)生都有過與天平接觸的生活經(jīng)驗(yàn)。作為一種稱重工具，天平的顯性功能在于衡量物體的重量。同時(shí)，它還是數(shù)學(xué)中“表示兩邊相等”的基本模型。

教師出示天平圖（如圖3）。

圖3

師：這幅圖中的物品是天平，它有什么特點(diǎn)？

生：左右兩邊平衡，就表示左右兩邊相等。

師：現(xiàn)在，如果老師讓你將之前提到的動(dòng)物放到天平上，你會(huì)怎么放？

（小組討論）

師：想象這里有一個(gè)超級(jí)大的天平，左邊托盤上站著重317 千克的鱷魚和重122 千克的麋鹿，右邊托盤上放多重的物體，天平才會(huì)平衡呢？

生：放重量為439千克的物體，即317+122=439（千克）。

師：如果左邊托盤上換成重317千克的鱷魚和重13千克的丹頂鶴呢？

生：右邊托盤上放重量為330 千克的物體，天平會(huì)再次平衡，即317+13=330（千克）。

師：那如果左邊托盤上換成丹頂鶴和麋鹿呢？

生：右邊托盤上放重量為135 千克的物體，天平會(huì)再次平衡，即13+122=135（千克）。

師：天平右邊的數(shù)和左邊的數(shù)有什么關(guān)系？

生：右邊是總量，左邊的兩個(gè)量相加就是右邊的量。

師：如果左邊的量稱為分量，那右邊的量可以稱作什么呢？

生：總量。

師：我們可以把它們的關(guān)系概括為：分量+分量=總量。

天平是數(shù)學(xué)上表示兩個(gè)數(shù)量關(guān)系的直觀模型，能夠?yàn)閷W(xué)生理解相等數(shù)量關(guān)系提供幫助。

三、開展拓展訓(xùn)練，應(yīng)用數(shù)量關(guān)系模型

開展拓展訓(xùn)練是促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化數(shù)量關(guān)系模型的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。通過多樣化的實(shí)踐應(yīng)用，學(xué)生可以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)量關(guān)系模型的理解，并逐漸將其內(nèi)化為自己的思維方式。

（一）拓展運(yùn)用，鞏固模型

●題目：菜場(chǎng)運(yùn)來白菜112筐，青菜32筐，_________？

師：你能把題目補(bǔ)充完整嗎？

生：一共運(yùn)來多少筐蔬菜？

師：你能用“分量+分量=總量”來分析一下嗎？

生：分量是白菜的筐數(shù)和青菜的筐數(shù)，總量是蔬菜的總筐數(shù)，因此白菜的筐數(shù)+青菜的筐數(shù)=蔬菜的總筐數(shù)。

生：112+32=144（筐）。

加法模型“分量+分量=總量”是數(shù)學(xué)中一種基本且重要的概念，它描述了一個(gè)整體由兩個(gè)或多個(gè)部分合并組成的情況。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考、討論分量和總量各自所代表的含義，幫助學(xué)生將加法模型抽象化，從而加深對(duì)“分量+分量=總量”模型的理解和應(yīng)用。

（二）運(yùn)用變式，內(nèi)化模型

●題目：媽媽把32個(gè)蘋果放在兩個(gè)盤子里，一個(gè)盤子里放了8個(gè)蘋果，____？

師：你們能補(bǔ)充一個(gè)問題嗎？

生：另一個(gè)盤子里有幾個(gè)蘋果？

師：你們能找一下這一題的分量和總量嗎？

生：32個(gè)蘋果是總量，8個(gè)蘋果是分量，要求的也是分量。所以這一題應(yīng)該是用“總量-分量=分量”解決。

生：32-8=24（個(gè)）。

加法模型的變式可以表達(dá)為“總量-分量=分量”。這是對(duì)“分量+分量=總量”這一數(shù)量關(guān)系模型的逆向運(yùn)用，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)化遷移，從而加深學(xué)生對(duì)加法模型概念的理解。這樣的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生形成網(wǎng)狀知識(shí)結(jié)構(gòu)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生逐漸形成數(shù)學(xué)思想方法。

●題目：小紅今年18歲，比小明大了2歲，________？

師：請(qǐng)補(bǔ)充問題。

生：小明多少歲？

師：你能用今天學(xué)習(xí)的數(shù)量關(guān)系對(duì)題目進(jìn)行具體分析嗎？

生：小紅的年齡是總量，小明的年齡和相差的2歲都可以看成分量。

生：小明的年齡+2歲=小紅的年齡。

在理解數(shù)量關(guān)系的過程中，學(xué)生應(yīng)認(rèn)識(shí)到合并關(guān)系可以進(jìn)一步拓展為增加關(guān)系。除了掌握這些基本的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生還需深入理解“又來了”“多了”“增加了”“走掉了”“用去了”等詞語的內(nèi)涵。教師要通過這樣的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生掌握分析問題的方法，提高他們的審題能力和分析能力，從而提升他們解決問題的能力。

（三）流程分析，深化模型

分析法和綜合法是兩種常用的思維方法，在解決問題中發(fā)揮著重要作用。同時(shí)，它們?cè)谏罨Ｐ屠斫夥矫嬉簿哂兄匾饬x，能夠幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，提升分析能力。

●題目：宏光小學(xué)三年級(jí)有男生186 人，女生174 人，已經(jīng)體檢的有328 人，沒有體檢的有多少人？

綜合法：從條件入手，找出中間問題，再解決所求問題（如圖4）。

圖4

根據(jù)男生186人和女生174人可以求出三年級(jí)一共有360 人。然后用360 人減去已經(jīng)體檢的328人，就可以求出沒有體檢的有32人。

分析法：從問題入手，尋求解決問題的條件，逐漸向已知條件靠攏，最后利用已知條件解決問題（如圖5）。

圖5

要求三年級(jí)沒有體檢的有多少人，必須要知道三年級(jí)一共有多少人，再減去已經(jīng)體檢的人數(shù)。因?yàn)橐呀?jīng)體檢了328人是已知的，而三年級(jí)的總?cè)藬?shù)未知，所以要求三年級(jí)的總?cè)藬?shù)必須要知道三年級(jí)男生和女生各自的人數(shù)。

總之，通過自主建構(gòu)加法意義的數(shù)量關(guān)系模型，即分量+分量=總量，學(xué)生能夠更好地理解并掌握這一數(shù)量關(guān)系，這將為他們今后構(gòu)建其他數(shù)量關(guān)系模型打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。