□李國強

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“2022 年版課標”）將“數(shù)量關系”專設為一個學習主題，凸顯對數(shù)量關系的重視。盡管數(shù)量關系是貫穿整個義務教育階段的數(shù)學內容，但在2022年版課標的“課程內容”中，“數(shù)量關系”主題只出現(xiàn)在小學部分。因此，本文討論的內容主要聚焦于小學數(shù)學中的數(shù)量關系。

針對“數(shù)量關系”主題，很多教師存在一些困惑，諸如：何謂數(shù)量關系？數(shù)量關系的內涵是什么？“數(shù)量關系”主題的內容有哪些？學生學習數(shù)量關系有何教育價值？數(shù)量關系的教學策略有哪些？本文基于2022 年版課標中的“數(shù)量關系”主題，對上述問題作深入探討，以幫助教師準確把握課標的理念，深入理解數(shù)量關系的內涵，從而有效開展“數(shù)量關系”主題的教學。

一、2022 年版課標中“數(shù)量關系”主題的教育價值

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學［1］1，數(shù)學的本質表現(xiàn)在數(shù)量的關系之中［2］。因此，數(shù)量關系在數(shù)學中占有重要地位。2022年版課標將原來分散的與問題解決相關的內容進行整合，形成了“數(shù)量關系”主題，這有助于教師整體理解和把握以數(shù)量關系與問題解決為重點的教學內容，充分發(fā)揮數(shù)量關系的教育價值。

（一）數(shù)量關系是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的主要載體

2022 年版課標立足學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。從小學階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的相關表述中可以看出，數(shù)感、符號意識、模型意識、應用意識等都與數(shù)量關系密切相關。例如，數(shù)感主要是指“對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系及運算結果的直觀感悟”，符號意識主要是指“能夠初步運用符號表示數(shù)量、關系和一般規(guī)律”，模型意識主要是指“對數(shù)學模型普適性的初步感悟”，應用意識主要是指“能夠感悟現(xiàn)實生活中蘊含著大量的與數(shù)量和圖形有關的問題，可以用數(shù)學的方法予以解決”。［1］7-102022 年版課標中“數(shù)量關系”主題的內容要求、學業(yè)要求與教學提示，都指向學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。［3］

（二）分析數(shù)量關系是學生解決問題的關鍵

數(shù)學的真諦是問題解決、描述和理解結構與模型。［4］數(shù)量關系就像是學生解決問題的思維支架，有助于學生深入分析問題的基本結構和關鍵要素。如果小學數(shù)學教學不注重數(shù)量關系分析，那么學生就將缺乏對解決問題過程的體驗和對解決問題方法的提煉，這不利于學生形成解題策略、積累解題經驗。因此，分析數(shù)量關系是學生順利解決問題的關鍵，培養(yǎng)學生的問題解決能力必須重視數(shù)量關系教學。

（三）設立“數(shù)量關系”主題有助于減輕學生學業(yè)負擔

數(shù)學中的基本數(shù)量關系是從大量實際問題中抽象與總結出來的，它們深刻揭示了數(shù)量之間的內在聯(lián)系和規(guī)律，為學生解決同類問題提供了思路與策略。理解和掌握這些基本的數(shù)量關系有助于學生舉一反三、觸類旁通，進而提高解題的靈活性和效率。在原來的課標中，數(shù)量關系被分散在不同的領域，呈現(xiàn)零散化和碎片化的特征，導致數(shù)量關系教學被弱化。學生在面對實際問題時，常常因為對數(shù)量關系理解不透、解題思路混亂而感到困惑，由此增加了學業(yè)負擔。2022年版課標優(yōu)化了課程內容結構，設立“數(shù)量關系”主題，能夠有效強化數(shù)量關系教學，提高學生學習效果，減輕學生學業(yè)負擔。

二、2022 年版課標中“數(shù)量關系”主題的內涵意蘊

（一）數(shù)量關系的內涵

2022 年版課標將數(shù)量關系定義為：“主要是用符號（包括數(shù)）或含有符號的式子表達數(shù)量之間的關系或規(guī)律?！保?］18盡管“數(shù)量關系”主題屬于小學“數(shù)與代數(shù)”領域，但它同樣存在于“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”領域。例如，長方形面積與其長和寬的關系、平均數(shù)與樣本數(shù)據(jù)的關系以及植樹問題中的路長與間隔和棵數(shù)的關系等，都屬于數(shù)量關系的范疇。為了深入理解數(shù)量關系，有必要對其內涵作進一步的認識。

1.數(shù)量關系是一種圖式

圖式，作為認知心理學中的一個概念，是指人腦中的一種認知結構。其表征了對某個主題的綜合性知識，反映了某種事物或現(xiàn)象的基本特征和關系。以購物為例，當人們想到購物時，腦海中會浮現(xiàn)超市、貨架、售貨員、顧客、收銀臺等相關信息，并預想自己購物時的情境。從數(shù)學角度來看，這種圖式集中體現(xiàn)為購物過程中存在的數(shù)量關系，簡化為關系式即付出的錢-購物的錢=找回的錢。［5］

2.數(shù)量關系的本質是數(shù)學模型

數(shù)學是研究模式的科學，而數(shù)學模型則是將現(xiàn)實情境用數(shù)學語言表達，從數(shù)量關系上對現(xiàn)實情境進行的描述與刻畫。數(shù)學模型通過去除非本質信息，使數(shù)學問題得以簡化。分析實際情境中的數(shù)量關系，運用恰當?shù)哪Ｐ徒鉀Q問題是數(shù)量關系作為學習主題的核心。［6］史寧中教授從數(shù)學模型的角度，將小學階段中的數(shù)量關系歸納為加法模型和乘法模型兩類，并提出小學數(shù)學教學中應重點關注的四個數(shù)量關系：總量模型、路程模型、植樹模型和工程模型。

3.數(shù)量關系源于問題解決，根植于四則運算

小學數(shù)學中的所有數(shù)量關系都源于現(xiàn)實生活問題。沒有實際問題，數(shù)量關系便失去了存在的意義。實際上，數(shù)量關系就是在解決問題的過程中，通過對現(xiàn)象的分析和比較，在把握其本質的基礎上進行抽象和概括得到的。運算的意義是抽象概括數(shù)量關系的依據(jù)。在小學階段，無論數(shù)量關系以何種形式出現(xiàn)，都離不開加、減、乘、除四則運算的意義。簡而言之，小學階段的數(shù)量關系主要體現(xiàn)為加減關系、乘除關系以及復合關系。

（二）“數(shù)量關系”主題的內容

在2022 年版課標中，“數(shù)量關系”主題出現(xiàn)在小學部分的“數(shù)與代數(shù)”領域。這一主題具體涉及哪些內容？這些內容中的數(shù)量關系包括哪些類型？這里分別進行梳理與分析。

1.“數(shù)量關系”主題的內容要求

研讀2022 年版課標中的“課程內容”可以發(fā)現(xiàn)，小學數(shù)學中的數(shù)量關系主要針對生活情境、實際情境等，具體包括以下幾方面內容：（1）用數(shù)或字母表示數(shù)量之間的關系和變化規(guī)律；（2）常見的數(shù)量關系，如加法模型、乘法模型等；（3）等式的性質；（4）具體情境或實際問題中的估算；（5）比和比例；（6）利用數(shù)量關系解決簡單的實際問題。

2.數(shù)量關系分類

從復雜程度來看，小學階段數(shù)量關系主要包括簡單數(shù)量關系、復合數(shù)量關系以及特殊數(shù)量關系。簡單數(shù)量關系可進一步細分為分合關系和比較關系，其中分合關系涉及部總關系和份總關系，比較關系則包括相差關系和倍數(shù)關系。復合數(shù)量關系則由上述四種簡單數(shù)量關系組合而成。特殊數(shù)量關系主要出現(xiàn)在購物、工程和行程等特殊情境之中，如單價×數(shù)量=總價、工作效率×工作時間=工作總量、速度×時間=路程等。從模型角度來看，常見的數(shù)量關系主要包括加法模型和乘法模型。此外，根據(jù)數(shù)量關系的表述形式，數(shù)量關系可分為直述數(shù)量關系和隱含數(shù)量關系。［7］直述數(shù)量關系是指題目直接呈現(xiàn)數(shù)量關系，而隱含數(shù)量關系則是題目中未直接給出但學生早已學過的公式或常識性的數(shù)量關系，如長方形的面積=長×寬、1 時=60 分、鴨的腳數(shù)=2×只數(shù)等。

三、小學數(shù)學中“數(shù)量關系”主題的教學策略

（一）創(chuàng)設多元化問題情境，為理解數(shù)量關系奠定基礎

數(shù)學實際問題主要由情境描述與數(shù)量關系構成。在日常生活中，學生常常遇到購物類問題，對其有充足的經驗。但對于工程、生產、科技等方面的問題，由于與學生的生活距離較遠，他們理解起來相對困難。解決問題的關鍵在于理解題意，并在已知條件與問題目標之間建立正確的情境表征。存在情境障礙的學生，往往難以準確把握題目中的數(shù)量關系。

為培養(yǎng)學生的情境構建能力，教師需要借助多元化的教學手段，如講述故事、閱讀數(shù)學繪本、模擬實際活動場景、播放科普視頻等，呈現(xiàn)豐富多樣的問題情境，為學生接觸并理解更廣泛的情境提供有力的支持。學生利用這些間接性經歷，能逐步消除認知的模糊性，理解情境問題的本質，進而增強對數(shù)量關系的把握，為提升問題解決能力奠定基礎。隨著學生積累的情境不斷增加，他們將逐漸感悟到各類數(shù)量關系的核心要點。例如：合并、增加、移入等都可采用加法運算；減少、剩余、比多、比少等則可采用減法運算；等量組聚集、長方形面積計算、配對問題等都可采用乘法運算；平均分、包含、比分等則都可采用除法運算。

（二）利用直觀圖形，實現(xiàn)數(shù)量關系的具象化

小學生的認知水平尚處在從直觀感知到理性理解過渡的階段，他們往往難以準確捕捉數(shù)學問題中的數(shù)學信息并理解復雜的數(shù)量關系。而幾何圖形具有直觀形象的特點，可以讓數(shù)量關系的分析更清晰、合理、全面、深入。［8］因此，教師在教學過程中應充分利用幾何圖形的直觀性特點，通過示意圖、列表、線段圖等工具，幫助學生理解數(shù)量關系，解決數(shù)學問題。

畫示意圖法指的是用“圓圈”“方框”等簡單圖形來代表題目中的事物，以揭示事物之間的數(shù)量關系。如“苗族旅游長桌宴”問題：1 張桌子可以坐4人，2 張桌子可以坐6 人，3 張桌子可以坐8 人。照這樣計算，如果旅游團有40 人，需要擺多少張桌子？解決此問題可引導學生畫出示意圖（如圖1）。觀察示意圖不難看出：每增加1 張桌子，就多坐2人。進而得出數(shù)量關系：總人數(shù)=桌數(shù)×2+2。

圖1

列表法則通過在表格中一一列舉出已知量和未知量及其關系，將復雜的關系清晰化、條理化，便于學生找到其中隱含的數(shù)量關系。例如，在“烙餅問題”中，借助列表，可以清晰、直觀地顯示出不同情況下的烙餅方法及餅數(shù)、烙的次數(shù)和所需時間之間的關系（如表1）。分析歸納后可以發(fā)現(xiàn)：烙餅最短時間=3×餅數(shù)（餅數(shù)≥2）（當餅數(shù)=1 時，烙餅最短時間=6分鐘）。

表1

此外，畫線段圖也是解決復合問題的常用方法，尤其在工程問題、行程問題、年齡問題等中更為常見。例如，在“年齡問題”中，甲對乙說：“當我像你這么大歲數(shù)時，你剛好4歲?！币覍渍f：“當我長成你這么大歲數(shù)時，你就61歲了?！奔?、乙今年各是多少歲？通過畫線段圖（如圖2），學生可以清晰、直觀地看出其中的數(shù)量關系：4+3×甲乙年齡差=61。據(jù)此可以求出甲乙年齡差=19，得到甲、乙年齡分別為42歲和23歲。

圖2

總的來說，直觀感知是構建數(shù)學模型的關鍵。因此，教師在教學中應根據(jù)問題情境和學生的認知特點，選擇合適的直觀圖形，幫助學生理解題意，找到解決問題的突破口，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系，最終解決問題。

（三）重視問題基本結構分析，加深對數(shù)量關系的理解

數(shù)學問題由已知條件和問題組成。學生必須厘清題目中條件與條件之間及條件與問題之間的關系，才有可能做出正確解答。為幫助學生更好地理解問題的結構，教師可采用補題、改題、編題等方式，加深學生對數(shù)量關系的認識與運用。

1.補題

題目：鳳凰小學二年級有學生165 人，，五年級有多少學生？請在橫線處補充條件。

本題要求利用已知的二年級學生人數(shù)，求出五年級學生人數(shù)。增加的條件必須是體現(xiàn)五年級與二年級學生人數(shù)關系的語句，如“五年級學生人數(shù)比二年級學生人數(shù)多33人”“五年級學生人數(shù)比二年級學生人數(shù)多20%”等。通過補題，學生可以加深對題目中數(shù)量之間相互依存關系的理解。

2.改題

題目：王叔叔從縣城出發(fā)去王莊送化肥，速度是40千米/時，路上用了3個小時，從縣城到王莊有多遠？

學生完成此題后，教師可將題目改為：王叔叔從縣城出發(fā)去王莊送化肥，速度是40千米/時，路上用了3個小時，原路返回用了2小時，返回時平均每小時行多少千米？當然也可以由學生自主改題。改變題目的條件和問題，有助于加深學生對“路程=速度×時間”這一數(shù)量關系的理解。

3.編題

教師可以要求學生就某一主題（如購物），按照單價、數(shù)量、總價的關系編題。通過這種方式，不僅可以鍛煉學生的數(shù)學思維和解題能力，還可以提高他們的信息收集能力和數(shù)學語言表達能力。在指導學生編題時，教師應遵循目的性、科學性、教育性的原則，使學生在理解數(shù)量關系的同時，形成正確價值觀、必備品格及關鍵能力。

（四）體驗數(shù)量關系建構過程，提高解決問題的能力

多數(shù)小學生在數(shù)學問題解題中出錯，其重要原因往往在于未能建立正確的數(shù)量關系，而非計算失誤。［10］復雜的數(shù)學問題由若干個基本的數(shù)量關系組成，因此，正確構建數(shù)量關系成為解決問題的關鍵。

學生在構建數(shù)量關系時，通常會經歷“具體事件—情境問題—情境模型—數(shù)學模型”這一過程。例如，當學生面對題目“小紅從杭州乘高鐵去北京旅游，用了4.5 個小時，高鐵每小時行300 千米，杭州到北京有多少千米？”時，他們首先會識別出小紅（不是小明，也不是小剛）乘高鐵這一具體事件。隨后，學生可能會遇到類似的問題：“小剛每天放學騎自行車回家，每分鐘行225米，10分鐘到家，學校離家有多遠？”或“司機叔叔開車送貨，每小時行70千米，4 小時行多少千米？”通過對這些問題的分析，學生逐漸從關注具體人物和場景轉向關注更普遍的路程、速度和時間之間的關系。他們將這些情境問題中的共同本質屬性提煉出來，形成如“路程=速度×時間”這樣的情境模型。在此基礎上，與幾個同類的不同情境模型進行對比，如購物問題中的“單價×數(shù)量=總價”或工程問題中的“工作效率×工作時間=工程量”等，最終提煉出更為抽象化的數(shù)量關系“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”，實現(xiàn)數(shù)學模型的構建。

通過這樣的抽象概括過程，學生不僅實現(xiàn)了數(shù)量關系的結構化遷移和提升，為日后解決同類問題提供了方法和策略，還為學習更為復雜的數(shù)學問題奠定了堅實基礎。更重要的是，這種抽象和概括的能力有利于學生打通不同數(shù)量關系之間的關系，感到數(shù)量關系越學越簡單，從而減輕學生的學業(yè)負擔，提高其學習興趣。

（五）全程貫穿、循序漸進，實現(xiàn)數(shù)量關系學習進階

小學階段的數(shù)量關系主要包括簡單數(shù)量關系、復合數(shù)量關系以及特殊數(shù)量關系。2022年版課標中的“數(shù)量關系”主題貫穿三個學段：第一學段主要是運用四則運算意義解決實際問題，第二學段主要學習和運用常見數(shù)量關系，第三學段主要學習用字母表示數(shù)量之間的關系或規(guī)律。

2022 年版課標在小學各學段“數(shù)量關系”主題的“學業(yè)要求”中都給出了明確的學習目標。教師需要根據(jù)各學段學生的認知特點，遵循循序漸進的原則，按學段目標實施“數(shù)量關系”主題教學。在第一學段，重視四則運算意義，有意識地讓學生體會數(shù)量關系。四則運算的意義是運用數(shù)量關系解決問題的基礎，是最基本的數(shù)量關系模型，對后續(xù)學習有深遠影響。第二學段重點關注復合數(shù)量關系和特殊數(shù)量關系的教學。復合數(shù)量關系問題涉及兩個或多個數(shù)量關系的綜合應用，因此，需要學生具備分析、思考運算順序和解題策略的能力。而特殊數(shù)量關系不僅是對四則運算意義的運用，也是解決更復雜問題的基礎。第三學段需要重點引導學生理解含字母的數(shù)量關系，解決較復雜的實際問題。教學中，應引導學生感受字母的一般性，滲透函數(shù)思想，培養(yǎng)初步的代數(shù)思維。較復雜問題由于涉及不同現(xiàn)實情境，數(shù)量關系較為復雜，是整個小學階段數(shù)量關系教學的重難點。總而言之，小學階段數(shù)量關系的教學是一個由具體到抽象、由感性到理性、由定量到變量的過程。在這一過程中，教師應注重低段的啟蒙、中段的鞏固以及高段的提升，確保學生在整個學習過程中全程參與，循序漸進地實現(xiàn)數(shù)量關系學習的進階。

2022 年版課標單獨設立“數(shù)量關系”主題，凸顯數(shù)量關系的教學意義。然而，這并不意味著數(shù)量關系應被過分推崇，更不能退回到以前的做法：教師根據(jù)數(shù)量關系將實際問題細分為多種類型，然后要求學生記憶題型、套用公式，并通過題海戰(zhàn)術，訓練學生的解題速度和所謂的“解題技巧”。這種做法會限制學生的思維能力，加重他們的學業(yè)壓力，甚至導致學生厭學。事實上，指向問題解決的教學應將重點聚焦于指導學生認真審題，分析條件與問題之間的內在聯(lián)系，引導學生在經歷構建數(shù)量關系模型的抽象過程中，提高問題解決能力及思維品質，形成應用意識、模型意識等核心素養(yǎng)。為此，數(shù)學教師須準確把握2022年版課標中“數(shù)量關系”主題的教育價值，深入理解“數(shù)量關系”主題的內涵意蘊，積極探討“數(shù)量關系”主題教學的有效策略，真正落實課標理念，切實提高教學質量，促進學生發(fā)展和自身專業(yè)提升。