常麗娜 魏玲 彭超林

摘要 屬性約簡(jiǎn)作為形式概念分析中非常重要的一個(gè)研究分支，在三支概念分析中也同樣重要。基于對(duì)象導(dǎo)出三支概念格，提出了保持決策形式背景OE-協(xié)調(diào)性的屬性約簡(jiǎn)理論，豐富了三支概念分析的約簡(jiǎn)理論。首先，定義了決策形式背景的OE-協(xié)調(diào)集和OE-約簡(jiǎn)，并將屬性按其特征分為3類。其次，指出OE-約簡(jiǎn)的本質(zhì)就是極小OE-協(xié)調(diào)集，給出了OE-協(xié)調(diào)集的幾個(gè)判定定理，通過(guò)研究OE-協(xié)調(diào)集的充要條件，獲取OE-約簡(jiǎn)的判定定理。最后，給出OE-差別矩陣和OE-差別函數(shù)的定義，并給出了利用OE-差別矩陣和OE-差別函數(shù)計(jì)算OE-約簡(jiǎn)的方法。

關(guān)鍵詞 三支概念分析;屬性約簡(jiǎn);OE-協(xié)調(diào)性;決策形式背景;對(duì)象導(dǎo)出三支概念格

Attribute reduction in formal decision contextsbased on OE-consistency

Abstract Attribute reduction， as a very important branch of formal concept analysis， is equally important in the three-way concept analysis. Based on object-induced concept lattices， attribute reduction theory which preserve OE-consistency of formal decision contexts is proposed， which enriches the reduction theory of three-way concept analysis. Firstly， OE-consistent set and OE-reduct of formal decision contexts are defined， and the attributes are classified into three categories according to their characteristics. Then， it is pointed out the essence of OE-reduct is minimal OE-consistent set， and several judgement theorems of OE-consistent set are given. By studying the necessary and sufficient conditions of OE-consistent set， judgement theorem of OE-reduct is obtained. Finally， the definition of OE-discernibility matrix and OE-discernibility function are given， and the method of calculating OE-reduct by using OE-discernibility matrix and OE-discernibility function is given.

Keywords three-way concept analysis; attribute reduction; OE-consistency; formal decision contexts; object-induced three-way concept lattices

形式概念分析［1-2］（formal concept analysis， FCA）作為數(shù)據(jù)分析與知識(shí)發(fā)現(xiàn)的有力工具， 是由德國(guó)數(shù)學(xué)家Wille于1982年提出的， 并被廣泛應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)、沖突分析等很多領(lǐng)域［3］。

在經(jīng)典形式概念分析的基礎(chǔ)上， Qi等結(jié)合三支決策理論［4］（three-way decision， 3WD）于2014年提出了三支概念分析［5-6］（three-way concept analysis， 3WCA）， 既體現(xiàn)了三支決策的思想和應(yīng)用價(jià)值， 也是經(jīng)典形式概念分析的一種擴(kuò)展， 能同時(shí)反映“共同具有”和“共同不具有”兩種信息。目前， 三支概念分析已經(jīng)得到了很多學(xué)者的關(guān)注和認(rèn)可， 研究成果也越來(lái)越豐富。Ren等研究了兩類三支概念格的4種屬性約簡(jiǎn)問(wèn)題， 并討論了它們之間的關(guān)系［7］。Yu等通過(guò)考慮三支概念格（三支粗概念格）的原子、不可約元和補(bǔ)的性質(zhì)， 研究了三支概念格（三支粗概念格）的性質(zhì)，在具有這些特殊性質(zhì)的完備格與三支概念格（三支粗概念格）之間建立了一個(gè)同構(gòu)映射［8］。Zhi等提出了三支對(duì)偶概念格， 探討了三支對(duì)偶概念格與經(jīng)典對(duì)偶概念格的關(guān)系， 研究了三支概念格、三支對(duì)偶概念格、三支面向?qū)ο蟾拍罡窈腿嫦驅(qū)傩愿拍罡?種類型的三支概念分析模型之間的關(guān)系［9］。Yang等引入一對(duì)組合算子， 提出了一種構(gòu)造屬性誘導(dǎo)三支概念格和對(duì)象誘導(dǎo)三支概念格的新方法［10］。Zhao等對(duì)三支算子的性質(zhì)重新表述，研究了不同類型的三支概念格之間的關(guān)系［11］。

決策形式背景［12］這一概念是由魏玲提出的， 隨之決策形式背景的知識(shí)發(fā)現(xiàn)成為FCA的研究熱點(diǎn)。決策形式背景只有在滿足一定的協(xié)調(diào)意義下， 對(duì)其的知識(shí)發(fā)現(xiàn)才更具合理性。Wei等定義了決策形式背景的強(qiáng)、弱協(xié)調(diào)性， 并在此基礎(chǔ)上研究了兩種協(xié)調(diào)意義下的屬性約簡(jiǎn)［13］。Li等對(duì)決策形式背景的屬性約簡(jiǎn)與規(guī)則獲取進(jìn)行了較為系統(tǒng)深入的研究［14-15］。Chen等研究了大規(guī)模決策形式背景的屬性約簡(jiǎn)問(wèn)題，提出了一種計(jì)算決策形式背景差別矩陣簡(jiǎn)單有效的方法［16］。作為形式概念分析的擴(kuò)展， 決策形式背景的知識(shí)發(fā)現(xiàn)在三支概念分析中同樣重要。陳雪等基于AE-概念格， 研究了決策形式背景的保持非冗余規(guī)則信息不變的屬性約簡(jiǎn)問(wèn)題［17］。林洪等研究了三支粒協(xié)調(diào)決策形式背景的粒約簡(jiǎn)問(wèn)題［18］。劉琳等基于AE-概念格研究了決策背景的規(guī)則提取問(wèn)題［19-20］。Wei等基于兩類三支概念格定義了決策形式背景的OE-協(xié)調(diào)性和AE-協(xié)調(diào)性， 研究了三支規(guī)則提取問(wèn)題［21］。Long等基于三支概念格研究了不完備決策背景的規(guī)則獲取問(wèn)題［22］。

決策形式背景在滿足一定的協(xié)調(diào)意義下，其知識(shí)發(fā)現(xiàn)才更具合理性和可解釋性，因此，研究決策形式背景不同的協(xié)調(diào)性，可以挖掘出一個(gè)決策背景更多的信息與細(xì)節(jié)。本文根據(jù)文獻(xiàn)［20］提出的決策形式背景的OE-協(xié)調(diào)性的定義， 基于對(duì)象導(dǎo)出三支概念格，研究決策形式背景保持OE-協(xié)調(diào)性的屬性約簡(jiǎn)理論， 并通過(guò)實(shí)例表明協(xié)調(diào)集判定定理及約簡(jiǎn)計(jì)算方法的有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 形式概念分析

將形式背景（G，M，I）的概念的全體記為L(zhǎng)（G，M，I），對(duì)于任意的（X1，A1），（X2，A2）∈L（G，M，I）， 它們的偏序關(guān)系為

進(jìn)一步， 定義任意兩個(gè)概念的下確界和上確界為

則L（G，M，I）形成一個(gè)完備格，稱為概念格。

1.2 三支概念分析

下面給出三支算子的概念。

記形式背景（G，M，I）的所有OE-概念構(gòu)成的集合為OEL（G，M，I），所有OE-概念外延構(gòu)成的集合為OELE（G，M，I）。對(duì)于任意的（X1，（A1，B1）），（X2，（A2，B2））∈OEL（G，M，I）， 定義它們的偏序關(guān)系為

如果（X1，（A1，B1））≤（X2，（A2，B2））且（X1，（A1，B1））≠（X2，（A2，B2））， 則記為（X1，（A1，B1））<（X2，（A2，B2））。如果（X1，（A1，B1））<（X2，（A2，B2））， 且不存在OE-概念（X，（A，B））使得（X1，（A1，B1））<（X，（A，B））<（X2，（A2，B2））成立， 則稱（X1，（A1，B1））是（X2，（A2，B2））的子概念， （X2，（A2，B2））是（X1，（A1，B1））的父概念， 記作（X1，（A1，B1））（X2，（A2，B2））。其中，任意兩個(gè)OE-概念的下確界和上確界為

則OEL（G，M，I）是一個(gè)完備格，稱為對(duì)象導(dǎo)出三支概念格，簡(jiǎn)記為OE-概念格。

2 決策形式背景的屬性約簡(jiǎn)

2.1 OE-協(xié)調(diào)性與屬性約簡(jiǎn)的相關(guān)定義

本節(jié)首先介紹決策形式背景OE-協(xié)調(diào)性的定義， 然后給出保持決策形式背景OE-協(xié)調(diào)性的協(xié)調(diào)集和約簡(jiǎn)的定義。

定義4［20］ ?如果（G，M，I）和（G，N，J）是形式背景， M∩N=， 則稱五元組（G，M，I，N，J）為一個(gè)決策形式背景， 其中M稱為條件屬性集， N稱為決策屬性集。背景（G，M，I）的對(duì)象導(dǎo)出三支概念格記為OEL（G，M，I）， 背景（G，N，J）的對(duì)象導(dǎo)出三支概念格記為OEL（G，N，J）。如果對(duì)于任意（Y，（E，F(xiàn)））∈OEL（G，N，J）， 總存在（X，（A，B））∈OEL（G，M，I）， 使得X=Y，則稱OEL（G，M，I）細(xì)于OEL（G，N，J）， 記作OEL（G，M，I）≤OEL（G，N，J）， 且稱決策形式背景（G，M，I，N，J）是對(duì)象導(dǎo)出三支協(xié)調(diào)的， 簡(jiǎn)稱為OE-協(xié)調(diào)的。

定義6 設(shè)OE-協(xié)調(diào)的決策形式背景（G，M，I，N，J）的所有OE-約簡(jiǎn)為｛Di|Di是約簡(jiǎn)，i∈τ｝（τ為一個(gè)指標(biāo)集）， 則條件屬性集M中的屬性可分為以下3類：

定理1 設(shè)決策形式背景（G，M，I，N，J）是OE-協(xié)調(diào)的， 則其OE-約簡(jiǎn)一定存在。

證明 因?yàn)椋℅，M，I，N，J）是OE-協(xié)調(diào)的， 故M是OE-協(xié)調(diào)集， 若m∈M， 都有（G，M-｛m｝，IM-m，N，J）不是OE-協(xié)調(diào)的， 則M就是OE-約簡(jiǎn)。若m∈M， 使得（G，M-｛m｝，IM-m，N，J）是OE-協(xié)調(diào)的， 令M1=M-｛m｝， 則M1是OE-協(xié)調(diào)集， 若m1∈M1， 都有（G，M1-｛m1｝，IM1-m1，N，J）不是OE-協(xié)調(diào)的， 則M1是OE-約簡(jiǎn);否則， 再進(jìn)一步研究M1-｛m1｝。重復(fù)上述過(guò)程， 由于M是有限集， 所以至少可以找到?jīng)Q策形式背景（G，M，I，N，J）的一個(gè)OE-約簡(jiǎn)， 故OE-約簡(jiǎn)必存在。

例1 表1給出了一個(gè)決策形式背景（G，M，I，N，J）。其中對(duì)象集G=｛1，2，3，4｝， 條件屬性集為M=｛a，b，c，d，e，f｝， 決策屬性集為N=｛g，h，i｝。

背景（G，M，I）共有13個(gè)對(duì)象導(dǎo)出三支概念， 分別標(biāo)為TCi（i=1，2，…，13）， 其對(duì)象導(dǎo)出三支概念格OEL（G，M，I）如圖1所示;背景（G，N，J）共有10個(gè)對(duì)象導(dǎo)出三支概念， 其對(duì)象導(dǎo)出三支概念格OEL（G，N，J）如圖2所示。

容易判斷，OEL（G，M，I）≤OEL（G，N，J）， 所以該決策形式背景是OE-協(xié)調(diào)的。它的OE-約簡(jiǎn)共有4個(gè)， 分別是D1=｛a，b，e｝， D2=｛a，c，e｝， D3=｛b，d，e｝， D4=｛c，d，e｝。其中OE-核心屬性為e， OE-相對(duì)必要屬性為a，b，c，d， 絕對(duì)不必要屬性為f。

由例1可知OE-協(xié)調(diào)的決策形式背景的OE-約簡(jiǎn)未必是唯一的。

利用上述定義和定理，得到以下推論。

推論1 OE-核心是OE-約簡(jiǎn)OE-約簡(jiǎn)唯一。

證明 。（反證法）假設(shè)若OE-核心是OE-約簡(jiǎn)， 則OE-約簡(jiǎn)不唯一。不妨設(shè)Dj，Dk均為OE-約簡(jiǎn)， 且Dj≠Dk。那么OE-核心∩i∈τDiDj∩DkDj， 由于Dj是OE-約簡(jiǎn)， 而∩i∈τDiDj， 即∩i∈τDi是Dj的真子集， 所以O(shè)E-核心∩i∈τDi不可能是OE-約簡(jiǎn)， 與已知條件矛盾， 故假設(shè)不成立。因此， 如果OE-核心是OE-約簡(jiǎn)， 則OE-約簡(jiǎn)唯一。

顯然成立。

推論2 m∈M是OE-不必要屬性M-｛m｝是OE-協(xié)調(diào)集。

推論3 m∈M是OE-核心屬性M-｛m｝不是OE-協(xié)調(diào)集。

2.2 OE-協(xié)調(diào)集判定定理

因?yàn)闆Q策形式背景上的OE-約簡(jiǎn)D滿足以下兩個(gè)條件：首先， D是OE-協(xié)調(diào)集;其次， 對(duì)于任意的d∈D，D-｛d｝不是OE-協(xié)調(diào)集。即OE-約簡(jiǎn)的本質(zhì)就是極小OE-協(xié)調(diào)集。因此， 只要對(duì)OE-協(xié)調(diào)集的充要條件研究透徹， 就能獲得OE-約簡(jiǎn)的判定方法。下面給出OE-協(xié)調(diào)集的幾個(gè)充要條件， 即OE-協(xié)調(diào)集判定定理。

證明 必要性。由定理2必要性的證明可得。

證明 必要性。由定理3可證。

定理5 （OE-協(xié)調(diào)集判定定理4）設(shè)（G，M，

證明 必要性。由定理2可證。

上面給出了4個(gè)關(guān)于決策形式背景（G，M，I，N，J）的OE-協(xié)調(diào)集等價(jià)命題（定理2～5）， 均可作為一個(gè)條件屬性子集D是否為決策背景的OE-協(xié)調(diào)集的判定方法。但是對(duì)于具體決策形式背景而言， 定理2、3的理論意義更強(qiáng)， 定理4、5的可操作性更強(qiáng)。由于只考慮決策屬性集N×N中的元素， 因此，實(shí)際判斷時(shí)多選用定理5。

由定理5及OE-約簡(jiǎn)的定義易得OE-約簡(jiǎn)的判定方法。

例2 （續(xù)例1）針對(duì)表1所示的決策形式背景（G，M，I，N，J）， 下面根據(jù)定理5對(duì)任意選取的條件屬性子集是否為OE-協(xié)調(diào)集進(jìn)行判斷，若條件屬性子集為OE-協(xié)調(diào)集，進(jìn)一步利用定理6判斷其是否為OE-約簡(jiǎn)。

設(shè)D=｛a，b，e，f｝， 已知N=｛g，h，i｝， 由于

其中，D滿足定理5， 所以D是OE-協(xié)調(diào)集。進(jìn)一步， D1=D-｛f｝=｛a，b，e｝也是OE-協(xié)調(diào)集， 所以D不是OE-約簡(jiǎn)。而D1的所有真子集｛a， b｝， ｛a， e｝， ｛b， e｝均不是OE-協(xié)調(diào)集， 所以D1是OE-約簡(jiǎn)。同理， 可判定D2=｛a，c，e｝， D3=｛b，d，e｝， D4=｛c，d，e｝均為OE-約簡(jiǎn)， 與例1所得結(jié)果一致。

定理7 （OE-協(xié)調(diào)集判定定理5）設(shè)（G，M，I，N，J）為OE-協(xié)調(diào)的決策形式背景， 則D是OE-協(xié)調(diào)集的充要條件是

所以有

故

2.3 約簡(jiǎn)方法

下面介紹差別矩陣和差別函數(shù)的定義，通過(guò)差別矩陣和差別函數(shù)的方法可以得到OE-協(xié)調(diào)決策形式背景的OE-約簡(jiǎn)。

定義7 設(shè)（G，M，I，N，J）為OE-協(xié)調(diào)決策形式背景， （Xi，（Ai，Bi）），（Xj，（Aj，Bj））∈OEL（G，M，I）， 稱

為（Xi，（Ai，Bi））與（Xj，（Aj，Bj））的OE-差別屬性集。稱

ΛOEL=（DISOE（（Xi，（Ai，Bi）），

（Xj，（Aj，Bj））），（Xi，（Ai，Bi）），

（Xj，（Aj，Bj））∈OEL（G，M，I）

為該OE-協(xié)調(diào)決策形式背景的OE-差別矩陣。

例3 （續(xù)例1）根據(jù)定義7， 表2給出了例1中決策形式背景（G，M，I，N，J）的OE-差別矩陣ΛOEL。其中， 矩陣第i行第j列代表的是OE-條件概念TCi與TCj的差別屬性集DISOEL（TCi， TCj）。

為敘述方便，將OE-差別矩陣中的元素稍作變換， 若DISOEL（（X，（A，B）），（Y，（C，D）））=（E，F(xiàn)）， 則重新記DISOEL（（X，（A，B）），（Y，（C，D）））為H=E∪F， 依然用ΛOEL來(lái)表示決策背景（G，M，I，N，J）的OE-差別矩陣。

定理8表明， OE-協(xié)調(diào)的決策形式背景的協(xié)調(diào)集與差別矩陣的每個(gè)元素相交都非空， 而約簡(jiǎn)就是找滿足這些條件的協(xié)調(diào)集中的極小集合。

定義8 設(shè)（G，M，I，N，J）為OE-協(xié)調(diào)決策形式背景， 則其OE-差別函數(shù)為

根據(jù)∧，∨的運(yùn)算律， 差別函數(shù)f可以變換為最小析取范式， 這個(gè)最小范式的所有合取式就是OE-協(xié)調(diào)的決策形式背景（G，M，I，N，J）的全部OE-約簡(jiǎn)。

例4 （續(xù)例1）求例1中決策形式背景（G，M，I，N，J）的OE-差別函數(shù)。

決策形式背景（G，M，I，N，J）共有4個(gè)約簡(jiǎn)，分別是D1=｛a，b，e｝，D2=｛a，c，e｝，D3=｛b，d，e｝，D4=｛c，d，e｝， 與例1所得結(jié)果相同。

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于對(duì)象導(dǎo)出三支概念格， 在OE-協(xié)調(diào)的決策形式背景下， 首先定義了OE-協(xié)調(diào)集和OE-約簡(jiǎn)； 其次，給出了OE-協(xié)調(diào)集的幾個(gè)判定定理和OE-約簡(jiǎn)的判定定理； 最后，給出了利用差別矩陣和差別函數(shù)求OE-約簡(jiǎn)的計(jì)算方法。對(duì)于OE-協(xié)調(diào)的決策形式背景， OE-約簡(jiǎn)也是保持OE-非冗余規(guī)則信息不丟失的約簡(jiǎn)， 所以本文提出的OE-協(xié)調(diào)集的判定定理也是保持OE-非冗余規(guī)則信息不丟失的協(xié)調(diào)集判定定理， 豐富了三支概念分析的內(nèi)容。

研究決策形式背景的屬性約簡(jiǎn)理論是十分有意義的， 在約簡(jiǎn)后的決策背景上進(jìn)行知識(shí)的更新與獲取， 既能保證知識(shí)的完整性， 也更加精煉。本文是從對(duì)象導(dǎo)出三支概念格出發(fā)，研究了決策形式背景保持OE-協(xié)調(diào)性的屬性約簡(jiǎn)問(wèn)題，下一步還可從屬性導(dǎo)出三支概念格出發(fā)來(lái)研究決策屬性背景的保持AE-協(xié)調(diào)性的約簡(jiǎn)問(wèn)題。

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